下关一中高二下学期段考一数学试题
满分：150 分 用时：120 分钟
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.）
1.已知全集U R，集合 A x | x 1 B x | x2， 2x 3 0 ，则阴影部分表示的集合为
（ ）
A． x | 3 x 1 B． x | 3 x 1 C． x | 3 x 1 D． x | 3 x 1
2 i
2.若复数 z ，则 z （ ）
1 i
A 10．1 B． C 10． D． 10
2 4
3.已知 Sn是各项均为正数的等比数列 an 的前 n项和，若 a2 a4 81，S3 13，则 a6 （ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
4.设直三棱柱 ABC - A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为 20π，
AB BC AC 3，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1 B．2 C． 2 2 D．4
5. A C : x
2 y2
已知点 ， B是椭圆 1上关于原点对称的两点， F1， F2分别是椭圆C的左、9 4
右焦点，若 AF1 2，则 BF1 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6.在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，且满足 (b c)2 a2 bc，若 a 3，则
ABC外接圆的半径长为（ ）
A． 3 B．1 C D
1
． 2 ． 2
2sin2
π
1 4 7. 已知 sin cos ，则 π π （ ）3 cos2 2 sin4
4
2 1 8 1
A. B. C. D.
3 9 9 8
|x| 2
8.已知函数 f x e x ，若 a f ln 4 ，b f ln
1
2 ，c f 21.1 ，则 a,b,c的大小关系 e
{#{QQABaQIAogCgAIJAABhCQQGSCEAQkAAACIoOQEAEMAAASBFABAA=}#}
为（ ）
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题所给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选、有选错得 0 分）
9.已知平面向量 a 2,1 ，b 4,2 ， c 2, t ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 a//c，则 t 1
B．若b c，则 t 4
C．若 t 1
3
，则向量 a在 c上的投影向量为 c5
D．若 t 4，则向量b与 c的夹角为锐角
3
10.已知函数 f x sin2x sin2x 1 ，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A. 函数 f x 的最小正周期为
B. 函数 f x 的图象的一条对称轴方程为 x
6
C. 函数 f x 的图象可由 y sin2x的图象向左平移 个单位长度得到
12
D. 函数 f x 在区间 0, 上单调递增
3
11.某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列
说法正确的有（ ）
A．病人甲体温的极差为0.3 C
B．病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C．病人乙体温的众数、中位数与平均数都为36.4 C
D．病人甲体温的上四分位数为36.4 C
12.点 P是直线 y 3上的一个动点，A， B是圆 x2 y2 4上的两点．则（ ）
{#{QQABaQIAogCgAIJAABhCQQGSCEAQkAAACIoOQEAEMAAASBFABAA=}#}
A．存在 P，A， B，使得 APB 90
B．若 PA， PB均与圆O相切，则弦长 AB 4 5的最小值为
3
C．若 PA， PB均与圆O相切，则直线 AB经过一个定点
7
D．若存在A， B，使得 cos APB ，则 P点的横坐标的取值范围是[ 3 3,3 3]
9
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.如图，直线 l是曲线 y f x 在 x 5处的切线，则
f 5 f 5 _________.
14.设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为 2m ，
则车厢的最大容积是_______ m3
15.设 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 a7 5， S5 55，则 nSn的最小值为______.
2 2
16. x y如图，已知斜率为 2的直线与双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的右支交于 A，B两点，点a b
A关于坐标原点 O对称的点为 C，且 ABC=45 ，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数 f (x) x 3 4x 2 5x 4 .
(1)求函数 f (x)在点 P 2，f 2 处的切线方程；
(2)求函数 f x 的极值．
2
18.如图，在四边形 ABCD中， AB 2， AC 7 ， AD 2 7， CAD CBA ．3
(1)求 sin BCA； (2)求 BD．
{#{QQABaQIAogCgAIJAABhCQQGSCEAQkAAACIoOQEAEMAAASBFABAA=}#}
19.如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD是菱形， DAB 60 ，AB 2，平面 FBC
平面 ABCD， BF CF 2， ED 平面 ABCD.
(1)证明：DF BC .
(2)若DE 3，求直线 EF与平面 AEB所成角的正弦值.
20.记数列 an 的前 n项和为 Sn .已知 a1 1，且满足___________.
S
从①记b nn ，且有bn 1 bn 1；② Sn nan 1 n n 1 ；③an 2 an 4中选出一个能确定n
an 的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求 an 的通项公式；
(2) n若 cn 2 ，求数列 ancn 的前 n项和Tn .
1
21. 2已知抛物线C1 : y px p 0 的焦点为 F1，抛物线C2 : y2 2px的焦点为 F2，且 F1F2 ．2
(1)求 p的值；
(2)若直线 l与C1交于 M，N两点，与C2交于 P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四
MN
象限，且 MP 2 NQ ，证明： PQ 为定值．
22.己知函数 f (x) ln x ax(x 1), x (1, ) ．
(1)若不等式 f (x) 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(2)判断函数 f (x)的零点的个数
{#{QQABaQIAogCgAIJAABhCQQGSCEAQkAAACIoOQEAEMAAASBFABAA=}#}下关一中教育集团2023~2024学年高二年级下学期段考（一)
数学参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
y
6
7
8
答案
A
夕
D
B
D
D
【解析】
1.由题知图中阴影部分表示的集合为(CA)∩B,又B={xx2+2x-3<0},得
B={x-3故选A.
2.由1z12+i=50
1N2,放选B
3.a·a=a=81,因为a>0,所以q>0,a=9,又S=13,故a+a2=4,设公比是q,
则Q+q)=4,两武相除得：。=g,解得：q=3或q=-4（舍去)，故选C
aq=9,
4.如图1，设△ABC外接圆得圆心为O,半径为r,直三棱柱ABC-ABC
的高为h,直三棱柱ABC-ABC,外接球的球心为O,半径为R,则
O0=)h,且O01平面ABC,由正弦定理得2r=5
=2,所以
sin60°
r=1,因为4πR2=20π，所以R=V5,所以O0=√R2-r2=2,所以
图1
h=4,即直三棱柱ABC-ABC的高为4，故选D.
5.如图2，因为OA曰OB|,IOF曰OF2I,所以四边形AFBF2是
平行四边形，所以IBF曰AF2|·由椭圆的定义得
|AF2=2×3-|AF=6-2=4,所以|BF=4,故选C.
图2
高二数学XG参考答案·第1页（共10页）
6.由(b-c)2-a2=-bc可得b2+c2-a2=bc,再由余弦定理可得：
A-纸-故A-子国为a-5,所议R品
2bc
sinA 3
=2,则R=1,
2
故选B.
7.方法一：，sina-cosa=
(ina-cosa)2sinacosa
1
g,即sn2a=8
2sna-
1-co2a-引
1-sim2a1-8
91
sin2a88,故选D.
9
方法a-oa=ma-即m-引怎，2-引
引e-o-
2sin2
91
-sin a-4)
88
故选D.
8.因为f()=e-(-x2=e-x=f(X),可得函数f()为偶函数，当x≥0时，则
f(X)=e-x2,可得f'(xX)=e-2x,构建p(x)=f'(X),则p'(x)=e-2,令p'(x)<0,解
得0≤×0,解得X>ln2；所以p(X)在[0，ln2)上单调递减，在(ln2,+o)
上单调递增，可得p(X)≥pln2)=21-ln2)>0,即f'(X)>0在[0，+o)上恒成立，故f()
在+上单调递增，又因为b=f司)1(-2=f阳，且2”>2>n40,所以
f(2)>f(2)>f(n4),即c>b>a,故选D,
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
题号
9
10
11
12
答案
AB
ABC
BC
BCD
【解析】
9.对于A,若a/c,则-2t-2=0,解得t=-1,故A正确；对于B,若61c,可得b.c=0,
即4×2+2t=0,解得t=-4,故B正确：对于C,若t=1,c=(2,1),则向量a在c上
高二数学XG参考答案·第2页（共10页）
