天津市第七中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（pdf版，含解析）

2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
一、选择题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 A. B. C. D.
1.设复数 ，则复数 的模为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分。
2.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
10.已知复数 满足 ，则 ．
A. ， B. ，
11.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 ．
C. ， D. ，
12.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
3.若复数 满足 ，则 的虚部为( )
13.平面内给定三个向量 ， ， ，若 ，则实数 等
A. B. C. D.
于 ．
4.在 中，若 ，则 ( )
14. 的角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，则
A. B. C. D.
．
5.已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为( )
15.图 1 是一个正六边形蜂窝状置物架，它设计简约、美化空间，深受大众喜爱，图 2 是从置物架图中抽象出
A. B. C. D.
来的几何图形的示意图．如图 2，若 AF AD AH , ( , R) 则 的值为 ；若正六边
6.海上有 ， 两个小岛相距 海里，从 岛望 岛和 岛成 的视角，从 岛望 岛和 岛成 的
形的边长均为 2, P 是折线 ABCDEFGHIJKL 上的动点（含端点），则 AP AB的取值范围为 ．
视角，则 岛与 岛间的距离为 ( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7.在 中， ， ， ，若 ，则点 在 ( )
A. 平分线所在的直线上 B.线段 垂直平分线上
C. 边所在直线上 D. 边的中线上
8. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 的最大值
图 1 图 2
为 ( )
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
A. B. C. D.
16. 本小题 分
9.在 中， ， ， 为线段 上的动点 不包括端点 ， 已知复数 ，根据以下条件分别求实数 的值或取值范围．
是纯虚数；
且 ，则 的最小值为 ( )
对应的点在复平面的第三象限．
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
17. 本小题 分
已知向量 与 ， ， ． 20. 本小题 分
如图，设 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 为 边上的中线，已知 ，
求 ；
设 ， 的夹角为 ，求 的值； ， ．
若向量 与 互相平行，求 的值．
求边 、 的长度；
18. 本小题 分 求 的面积；
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ： ： ： ： ， ． 点 为 上一点， ，过点 的直线与边 、 不含端点 分别交于 、 若
求 的值；
，求 的值．
求 的值；
求 的值．
19. 本小题 分
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
求角 的大小；
若 的面积为 ,求 的值．
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
答案和解析 【解答】
解：若 ，
1.【答案】 所以 ，
【解析】解： ， 由于 ，
则 ． 所以 ．
故选： ． 故选： ．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 5.【答案】
本题主要考查复数模公式，属于基础题． 【解析】【分析】
2.【答案】 本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
【解析】解：由题意知， 选项中 ， ， 选项中两个向量均共线，都不符合基底条件， 由题设可知 ，继而得到 ，由此即可解出 点坐标．
故选： ．
【解答】
根据基底的定义可解．
解：由题意知， 与 的长度相等，方向相反，
本题考查基底的定义，属于基础题．
，又因为 ，
3.【答案】
【解析】【分析】 设 ，则 ，
本题主要考查了复数的运算以及概念，属于基础题． 解得
由题意利用复数的乘法和除法运算求出 ，再求出 ，即可求出 的虚部．
故点 的坐标为 ．
【解答】
故选 A．
解：由题意得： ， 6.【答案】
所以 ， 【解析】【分析】
本题主要考查解三角形的实际应用，属基础题．
所以 的虚部为 ，
先根据 和 求出 ，进而根据正弦定理求得
故选 C．
【解答】
4.【答案】
解：由题意可得， ， ， ，
【解析】【分析】
根据正弦定理可得， ，
本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题．
直接利用余弦定理的应用求出结果．
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
【解答】
，
解： ，
则 岛与 岛间的距离为 海里．
，又 ，
故选 C
7.【答案】 则 ， ，
【解析】【分析】 由余弦定理及 ，
本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义．
得 ，
利用 和 是 中边 、 上的单位向量，可知 在 平分线线上，
，
故 也在 平分线线上． 又 ，得 ，当且仅当 时取等号，
【解答】 的面积 ．
解： ， ， ， 当 时， 的面积 有最大值 ，
故选 D
且 ，
9.【答案】
【解析】【分析】
和 是 中边 、 上的单位向量，
本题考查了三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的应用，三点共线，以及利用基本不等式求最值，是
难题．
在 平分线线上，
先利用已知条件解出 ， ， 的大小，由平面向量共线定理得到 与 的关系等式，再由基本不等式解题．
则点 一定在 平分线线上， 【解答】
故选 A． 解： ， ，
8.【答案】
因为 ，由正弦定理可得： ，
【解析】【分析】
再由余弦定理可得： ，
本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及利用基本不等式求最值问题，考查化简、
所以 ，三角形为直角三角形，角 为直角，
变形能力，属于较难题．
因为 ，
由正弦定理和条件得 ，由余弦定理及基本不等式得到 ，根据面积公式求出面积的最大值．
由三角形面积公式 ，所以 ，
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
由余弦定理可得 化简得： ， 13.【答案】
所以可得 ， ， ， 【解析】解：三个向量 ， ， ，
，因为 ， ， 三点共线，所以 ，且 ， ，
，
所以 ，当且仅当 时取等号，
，
故本题选 A．
10.【答案】 可得： ，可得 ．
【解析】【分析】 故答案为： ．
本题考查了复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．
求出向量 ， ，通过斜率共线的充要条件求解即可．
利用复数的四则运算法则得 ，再结合共轭复数的概念计算即可．
本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
【解答】
14.【答案】
解： ．
【解析】解： 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，
故答案为： ．
由正弦定理可得 ，
11.【答案】
由余弦定理可得 ，
【解析】解：在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
联立 解得 ，
若 ， ， ，则 ．
则 ．
故答案为： ．
故答案为： ．
由已知直接利用余弦定理求解 的值．
利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
本题考查余弦定理的应用，是基础题．
本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，属于基础题．
12.【答案】
15.【答案】 :[-2,12]
【解析】解：由题意可得： ，
16.【答案】解： 因为 是纯虚数，
所以 在 方向上的投影向量为 ．
所以 ；
故答案为： ．
因为 对应的点在复平面的第三象限，
先根据向量的坐标运算求 ，进而求投影向量．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
又 ，则 ，
所以 ，
， ，
因此实数 的取值范围为 ．
【解析】 根据纯虚数的定义进行求解即可； 则 ．
根据复数对应的点在复平面的特征进行求解即可． 【解析】本题主要考查正、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式，属于基
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题． 础题．
17.【答案】解： 因为 ， ， 由题意利用正弦定理，求得 的值．
由题意利用余弦定理计算求得结果．
所以 ；
先用二倍角公式求得 的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得 的值．
Ⅱ ， 19.【答案】解： 因为 ，由正弦定理可知
，
， ，
化简得 ，
由题意可得， ，
因为 ，所以 ，
整理可得， ，
解可得， ． 因为 ，所以 ；
【解析】 结合向量减法的坐标表示即可求解； 由 及余弦定理可知 ，
结合向量夹角公式的坐标表示即可求解； 又 ， ，
结合向量平行的坐标表示即可求解．
联立可得 ， 或 ， 舍去 ；
本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，向量夹角公式及平行的坐标表示，属于基础试题．
由正弦定理可知 ， ，
18.【答案】解： 在 中，
： ： ： ： ， 因为 ， ， ，所以 ，
： ： ： ： ， 所以 ，
，
由 可知 ，
， ．
在 中， ， ， ， 所以 ，
由余弦定理可得 ． 故 ．
由 可知 ， 【解析】 利用正弦定理及三角恒等变换计算即可；
利用余弦定理及三角形面积公式计算可求 ， ；利用三角恒等变换计算可求 ．
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2024 年 3 月天津七中高一数学月考试卷
班级： 姓名：
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理，倍角公式，两角和与差的三角函数公式的应用，考查了学生 设 ，则 ，所以， ，
的运算求解能力，属于中档题．
因为 、 不共线，则 ，即 ，
20.【答案】解： 因为 ，
由 ，得 ，
所以， ，即 ，
又 ，
所以， ，即 ，即 ．
又因为 ，所以 ， ． 所以 ，
设 ，因为 为 边上的中线， 即 ，
所以， ，
又因为 ，
则
所以， ，所以， ，解得 ，
，
所以： ， ，
，
所以 ．
，
整理得 ，即 ，
得 或 ，
由 ，得 ，所以， ，则 ，
故 ，
因此， ．
由 知， ， 为 的中点，则 ．
设 ， ，其中 、 ．
所以 ，得 ．
又 、 、 三点共线，则 、 共线，
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