第11章 解三角形 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【解析】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
2．中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】
利用余弦定理计算可得.
【解析】在中，，，，
由余弦定理，
即，解得或（舍去）.
故选：A
3．在中，若，则=（ ）
A．90° B．30°
C．120° D．150°
【答案】B
【分析】利用余弦定理解三角形即可求得.
【解析】因为，所以，
由余弦定理可得，，所以.
故选：B．
4．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【解析】
，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
5．在中，，则等于（ ）
A． B． C．9 D．16
【答案】C
【分析】利用正弦定理可得，进而得到与夹角的余弦值，代入数量积公式即可求解.
【解析】在中，由正弦定理可得，
所以， 即，
令与的夹角为，则，
所以，
故选：C
6．已知边长为等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用余弦定理求出，从而求出，即可判断A、B，再由正弦定理判断C，利用余弦定理求出，，即可判断D.
【解析】依题意，，，且，
由余弦定理，
即，解得或，
当时，符合题意，
当时，不符合题意，
所以，则，
所以，，故A错误，B正确；
又，，
所以，所以，故C错误；
又，
所以，故D错误.
故选：B
7．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，求得，，结合“三斜求积术”的公式，代入即可求解.
【解析】因为，由正弦定理得，所以，
又因为，由余弦定理得，
可得，
所以.
故选：B．
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【解析】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
二、多选题
9．在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理分析判断即可.
【解析】在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以AC错误，BD正确，
故选：BD
10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
【答案】AC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【解析】在中，由已知得，，
则，由正弦定理得，
所以A处与D处之间的距离为，故A正确；
在中，由余弦定理得，
又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误；
，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确；
灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误；
故选：AC
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A．， ， B．，，
C．，， D．，，
【答案】AB
【分析】根据正弦定理、余弦定理的知识确定正确选项.
【解析】A选项，，，
所以有两个解，A选项正确.
B选项，为锐角，
，，
，所以有两个解，B选项正确.
C选项，由余弦定理得，
所以有唯一解.
D选项，，
，所以有唯一解.
故选：AB
12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．四边形面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；
B选项：由题意得的范围，即可得到的范围；
C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可；
D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可.
【解析】在中，由余弦定理得，A正确；
，则
，所以，B错误；
易得当时，取最大值，C正确；
，其中，D正确．
故选：ACD.
三、填空题
13．在中，已知，则 .
【答案】2
【分析】根据余弦定理计算即可求解.
【解析】由余弦定理，得.
故答案为：2
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据面积公式直径运算求解即可.
【解析】由题意可得的面积为.
故答案为：.
15．如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为 ．
【答案】4
【分析】由锐角的面积求出，得，中由余弦定理求，由余弦定理和基本不等式，求的最大值.
【解析】因为锐角的面积为，即，
解得，所以．
中由余弦定理得，解得．
在中，，，由余弦定理得，
即，
所以，当且仅当时等号成立，解得，
所以的最大值为4．
故答案为：4
16．在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为
【答案】
【分析】要求的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE2，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF2，然后可得BE与CF的平方比，分离常数变形后，由A为三角形的内角得到A的范围，求出比值的范围，进而可得到的取值范围．
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
∵，
∴，
又E,F分别是AC,AB的中点，
∴．
在中，由余弦定理得
，
在中，由余弦定理得
，
∴，
∴．
令，
则在上单调递减，
∴，即.
又恒成立，
∴，
∴实数的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题涉及的知识点较多、难度较大，以考查最值为载体考查了解三角形的知识，通过余弦定理得到所求的两线段的比值，然后再转化成三角函数的最值的问题处理．解题时要注意，为了应用余弦定理，首先要将条件进行整合，转化到同一三角形中，再利用解三角形的知识求解．
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由余弦定理结合同角关系即可求解.
【解析】（1）由已知及正弦定理得，
又，．
（2）由余弦定理可得．
．
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a．
【答案】(1)2
(2)
【分析】
（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.
【解析】（1）因为，，所以，
由正弦定理，可得.
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
19．在中，角，，对应的边长为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求，.
【答案】(1)
(2)或，
【分析】
（1）由已知将原式变形，利用正弦定理将角的正弦转化为边，再结合余弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理将角的正弦转化为边，求解关于边的一元二次方程，得到，的关系，再结合余弦定理求，即可得.
【解析】（1）
依题意得，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）可化为，
即，
所以，
因为，所以，
即，则，即，
解得或，即或，.
20．如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.
(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理计算可得；
（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得.
【解析】（1）依题意可得，，，
在中由余弦定理，
即，即，
解得（舍去）或，
所以线段的长度约为.
（2）在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
∴
．
又，
在中由正弦定理，
即，解得，
所以线段的长度约为.
21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到；
（2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.
【解析】（1），所以，
所以，
又，所以，
因为，所以．
（2）由（1）可知，．
则．
因为锐角三角形，所以，整理得．
因为，所以．
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，
故的取值范围为.
22．在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．
(1)若，求的长度；
(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由关系，结合面积公式列方程求解；
（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论.
【解析】（1）因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，则，
又，所以，又，则.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，于是，
则，所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等变换得到，再利用三角函数的性质得到其值域，则得到周长的范围.
23．在面积为的中，内角所对的边分别为，且．
(1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；
(2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由结合三角形面积公式，正弦定理和余弦定理得，由为锐角三角形得出，由是关于的方程的解，整理得，根据正切函数的单调性及的范围即可求出的取值范围；
（2）由和得出为正三角形，由的外接圆的直径为8得出，则，设，，在BDE和ADF中，由正弦定理表示出和，进而表示出，代入，化简整理，由基本不等式即可得出最小值．
【解析】（1）在中，由三角形面积公式得，
由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得：，
又，故，
因为为锐角三角形，
所以，，所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
故．
（2）由，得，
所以，
由（1）得，
所以为正三角形，
所以，
因为为边的中点，
所以，
设，，
在BDE和ADF中，
由正弦定理得，，
化简得，，
，
因为
，
所以，
则
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值为．
第11章 解三角形 单元综合检测（重点）
一、单选题
1．在中，，，，则角B的值为（ ）
A． B． C． D．
2．中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．4
3．在中，若，则=（ ）
A．90° B．30°
C．120° D．150°
4．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．在中，，则等于（ ）
A． B． C．9 D．16
6．已知边长为等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（ ）
A． B． C． D．
7．秦九韶（1208年~1268年），字道古，祖籍鲁郡（今河南省范县），出生于普州（今四川安岳县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.1247年秦九韶完成了著作《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理）、三斜求积术和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献．设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，秦九韶提出的“三斜求积术”公式为，若，，则由“三斜求积术”公式可得的面积为（ ）
A． B． C． D．1
8．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．在中，下列关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是
B．灯塔与处之间的距离是
C．灯塔在处的西偏南
D．在灯塔的北偏西
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ）
A．， ， B．，，
C．，， D．，，
12．如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．四边形面积的最大值为
三、填空题
13．在中，已知，则 .
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
15．如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为 ．
16．在△ABC中，E,F分别是AC,AB的中点，且3AB=2AC，若恒成立，则的最小值为
四、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a．
19．在中，角，，对应的边长为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求，.
20．如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.
(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；
(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.
21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
(1)求角A；
(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．
22．在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．
(1)若，求的长度；
(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．
23．在面积为的中，内角所对的边分别为，且．
(1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；
(2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．
