专题05 平面向量基本定理（八大题型+跟踪训练）
目录：
题型1：基底的概念及辨析
题型2：用基底表示向量
题型3：平面向量基本定理的应用
题型4：利用平面向量基本定理求参数
题型5：平面向量基本定理的推论
题型6：最值问题
题型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
题型8：平面向量的基本定理综合解答题
题型1：基底的概念及辨析
1．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.
【解析】对于A，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，，
和共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令，则，不存在，，不共线，可以作为基底，D错误.
故选：C.
2．下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念进行判断.
【解析】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确；
由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确.
故选：B
3．已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断选项中的两个向量是否平行，即可判断选项.
【解析】若两向量平行，则不可以作为基底，
由选项可知，ABD中的两个向量都不共线，可以作为基底，
C中的向量，满足，向量，不能作为基底.
故选：C
题型2：用基底表示向量
4．在平行四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【解析】,
故选：B
5．已知在中，点在边上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
【解析】在中，，又点在边上，且，
则，
故选：A.
6．如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得，求出，从而得出答案.
【解析】因为，,
所以，
即，
又，
所以，故.
故选：A.
7．如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用，表示，计算即可得到结果．
【解析】平行四边形，，，，，
可得，
是线段的中点，
可得，
；
，
则
．
故选：C
题型3：平面向量基本定理的应用
8．在梯形中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量基本定理进行求解.
【解析】.
故选：A
9．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】依题意可得，设，根据平面向量基本定理得到方程组，即可得解.
【解析】∵向量与不共线，∴向量与可以作为平面内的一组基底，
∵，，三点共线，∴，设，即，
则，∴.
故选C.
10．如图所示，，，M为AB的中点，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的加法列式作答.
【解析】，，M为AB的中点，
所以.
故选：B
11．已知，是两个不共线的向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【解析】因为，是两个不共线的向量，设，
则，
即，解得，
所以.
故选：C
12．如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
【答案】B
【分析】设，得到，结合向量共线定理的推论得到，求出，求出答案.
【解析】因为为的中线，所以，
设，则，
故，所以，
因为，所以，
因为三点共线，可设，则，
故，
故，相加得，
解得，故.
故选：B
题型4：利用平面向量基本定理求参数
13．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.
【解析】由，则，则，
，
故、，故.
故选：A.
14．已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为 ．
【答案】16
【分析】根据已知结合图形可得出，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【解析】
由已知可得，共线，
所以，，使得，
所以有，
整理可得，.
又，不共线，
所以有，则有.
显然，
所以，，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为16.
故答案为：16.
15．已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出图形根据向量定比分点设出，构造方程组可解得，可得结果.
【解析】如下图所示：
设，则.
设，
则，
.
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
16．如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则 ，若，则 ．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算即可得解.
【解析】连接DF，
因为分别为的中点，所以是△ABC的中位线，所以，
则
，
所以，所以；
因为，
所以，
故
.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于注意到点是的重心，从而利用中位数定理得到，进而利用平面向量的相关运算即可得解.
题型5：平面向量基本定理的推论
17．在中，是边上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量共线定理的推理假设，再利用向量数量积的运算法则即可得解.
【解析】因为是边上一点，故可设，
则，
因为，
则，，
又，于是，解得，
因此.
故选：C．
18．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.
【解析】设的中点分别为，连接，则，
可得，
同理可得，
因为在线段上，设，
则
，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；
2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.
19．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定，得到，根据计算得到答案.
【解析】，故，则，
又是上一点，所以，解得.
故选：A.
题型6：最值问题
20．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【答案】D
【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.
【解析】AB选项，因为，所以，
故，
因为三点共线，设，即，
故，
令，故，
为正实数，由基本不等式得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误；
CD选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确.
故选：D
21．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果．
【解析】
如图，设，，设P是直线EF上一点，
令，则，
，又，所以
因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，
设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，
连接MP，连接并延长使之与EF交于点，
过M作，垂足为N，
因为，设，则，
，
则，由，得，
故的最大值为．
故选：D．
22．在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故选：D.
23．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【解析】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
题型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
24．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】B
【分析】根据外心在AB上的射影是AB的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A正确；利用向量的数量积的运算法则可以即，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定与垂直，从而说明D正确.
【解析】如图，设AB中点为M，则，，
，故A正确；
等价于等价于，即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故B错误；
设的中点为，
则，
∵E，F，G三点共线，，即，故C正确；
，
与垂直，又，
∴与共线，故D正确.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大.
25．已知三角形， ， ， ，点为三角形的内心，记， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点为三角形的内心有，再将分别用为基底，利用数量积的公式与余弦定理求解再判断大小即可.
【解析】∵三角形，，，，点为三角形的内心
∴
∴，即，故
，即，故，
即.
∴.
.
.
又根据余弦定理可得：，
∴，
∴，，.
∴
故选：A
26．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得，外接圆的半径，设，，，根据，结合和
三点共线，得到，进而求得，利用基本不等式和函数的性质，即可求得取值范围.
【解析】因为中，，
由余弦定理可得，
即，且，
设，
则，，
所以，
同理可得，，
解得，所以，
又因为，，所以，
因为三点共线，可得，
因为，所以，所以，
同理可得，所以
所以，
设，可得，
令，可得，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为；
又由，，可得，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是.
故选：B.
27．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，，分别是边，的对角.有以下五个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则，的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误．
【解析】①当动点P满足时，则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，而，表示点A到边的距离，
设为，所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，因此的重心一定在满足条件的P点集合中，
所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
正确答案序号为②③．
故选：C
题型8：平面向量的基本定理综合解答题
28．在平行四边形ABCD中，，.
(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用分别表示；
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）均根据向量的线性运算直接表示即可；
【解析】（1）当E、F分别是BC，DC的中点时，
，
.
（2）∵O是AC与BD的交点，G是DO的中点，
所以,
.
29．如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示；
(2)若，求和的值.
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）利用向量的线性运算求解；
（2）设，利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解.
【解析】（1）.
（2）因为，所以．设，
，
因为三点共线，
所以，解得，所以.
因为，
，
所以，即.
30．如图所示，是边长为2的正三角形，点，，四等分线段BC．
(1)求的值；
(2)若点Q是线段上一点，且，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用转化的方法，结合向量数量积运算求得的值.
（2）根据向量共线列方程，从而求得的值.
【解析】（1）因为点，，四等分线段，
所以，，，
，
（2）∵点Q在线段上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
因此所求实数m的值为.
31．如图，在直角三角形ABC中，，．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）以为基底表示，结合求解即可；
（2）以为基底表示求解即可.
【解析】（1）.
因为，，故，
故，又，故.
（2）由题意，，若则，即，
故，
即，解得.
32．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；
（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；
（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．
【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得，①
，②
因为M为线段中点，则，
联立①②得：，
整理得：．
（2）由AM与BD交于点N，得，
由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．
所以，即．
（3）由题意，可设，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因为，所以，．
在单调递增，
则当时，，当时，，
所以，的取值范围为．
一、单选题
1．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证.
【解析】，是平面内所有向量的一组基底.
对于A：和不共线，可以作为平面的一组基底.
对于B：和不共线，可以作为平面的一组基底.
对于C：和不共线，可以作为平面的一组基底.
对于D：因为，所以和共线，所以不能作为平面的一组基底.
故选：D
2．已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可.
【解析】依题意，，，
，即，
，解得．
故选：B．
3．已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】将，设为基底，表示出，，运用数量积定义解决问题.
【解析】解：
.
故答案选：A.
4．在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用向量的分解和加减运算即可得出结果.
【解析】解析：
．
故选：C．
5．若则等于（ ）
A． B．
C． D．＋
【答案】D
【分析】将改为起点为的向量后再转化可求解.
【解析】∵，
∴，∴，
∴.
故选：D
6．已知，，的平分线交于点M，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量加法的平行四边形法则知，向量和与，同向的单位向量之和共线，
【解析】由向量加法的平行四边形法则知，向量和与，同向的单位向量之和共线，与同向的单位向量即，与同向的单位向量即，所以可表示为．
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则，属于基础题。
7．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】B
【分析】应用向量的可分解性质，将分解到，所在直线上，结合图形判断参数的符号.
【解析】如图所示，利用平行四边形法则，将分解到，上，有，
∴=m=n，
显然方向相同，则m>0；方向相反，则n<0．
故选：B
8．已知，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若是的重心，则 B．若是的内心，则
C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则
【答案】B
【分析】根据三角形各心的性质求出对应的之间的比值，即可得出答案.
【解析】如图，设，直线与直线交于点，因为，
所以，则，即，
过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得，
同理，所以；
若是的重心，则为的中点，所以，故A正确；
若是的内心，则直线平分，而，，
所以分的比，故B不正确；
若是的垂心，如图，则点与点重合，则，故C正确；
若是的外心，
因为，所以线段AB的中垂线的斜率为，且AB的中点为，
所以线段AB的中垂线的方程为，即，
又线段BC的中垂线为，
联立，解得，所以，
，由于，，所以，则，故D正确，
故选：B.
二、多选题
9．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【解析】解：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.
故选:AB.
10．如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据图形利用向量的线性运算一一判断即可.
【解析】对A，由题意得，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确.
故选：BCD.
11．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数 B．的值可以为：
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】作出图形，由可得出，根据三点共线的结论得出，由此判断A，B，结合基本不等式可判断CD.
【解析】如下图所示：
由，可得，
，
若，，，
则，，
，
、、三点共线，
，，
故A正确；
当，时， ，所以B错误；
，
当且仅当时，等号成立，C正确；
的面积，的面积，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以的最小值为，D正确；
故选：ACD.
12．在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．点，，三点共线
B．若，则
C．
D．，为平行四边形的面积
【答案】ACD
【分析】根据向量的线性运算，将需要的向量都用来表示，设，，利用平面向量基本定理构造等式，可确定点的位置，依次判定选项.
【解析】如图所示:
平行四边形中，因为点为上靠近点的三等分点，
所以,,
所以,
设,
所以，又有公共点，所以点三点共线，故A选项正确；
设,
，
故，
所以，故B选项错误；
,
因为，所以，
故，C选项正确；
因为，，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：此题主要是点M，点N在线段BE上的位置未给，所以通过平面向量基本定理构造求解，设，，利用，将所有向量用表示，求出的值.
三、填空题
13．在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
【答案】4
【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析可得结果.
【解析】由题意可得：
,
故答案为：4.
14．已知、是平面内两个不共线的向量，，，，用向量和表示 .
【答案】
【解析】设，根据平面向量基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出关于、的表达式.
【解析】设，则，
则有，解得，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，根据题意建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
15．如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是 ；当时，y的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，得到x的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到y的取值范围.
【解析】解：如图，,点在射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以的反向延长线为相邻两边，
故x的取值范围是；
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，,
故y的取值范围是：.
【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.
16．在平行四边形中，，点分别为的中点，与交于点，则 ．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，连接，交于点，根据相似得到和的关系，设，根据三点共线得到的值即可求出.
【解析】如图，连接，交于点，
由题意易知，所以，
所以，设，
因为点为的中点，所以，
所以，
又三点共线，所以，
从而，
则，
所以
．
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在中，是边上的中线，为的中点．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）根据图形，利用向量的线性运算即可.
【解析】（1）因为是边上的中线，
所以.
（2）因为为的中点，
所以.
18．在梯形中，，，中，分别是DA，BC的中点，且．设，，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，．
【答案】；；
【分析】根据给定的梯形，利用梯形的性质，结合向量共线及线性运算求解作答．
【解析】如图，由，且，则，
又，且，
则.
因为，
则．
【点睛】
19．如图，在中，，E是AD的中点，设，．
(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【解析】（1）因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
（2）因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
20．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；
（2）由，将用表示，利用三点共线即得.
【解析】（1）因，
所以，
又因为的中点，
所以，
所以，又，
所以；
（2）因，，，，
所以，，又因，
所以，
又因，，三点共线，
所以，即.
21．已知内一点满足，若的面积与的面积之比为，的面积与的面积之比为，求实数的值.
【答案】,
【分析】因为，又由平行四边形法则有向量，所以，，只需求出，即可。根据平面几何知识，将三角形面积之比转化为边之比，可求出，，从而求出。
【解析】如图，过点作，则，所以.
作于点，于点.
因为，所以.
又因为，所以，
即，所以，同理.
【点睛】本题主要考查向量共线定理、平面向量基本定理以及平行四边形法则的应用，涉及到平面几何知识的运用，意在考查学生的转化与化归能力以及数学建模能力。
22．如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
【答案】（1） ；（2） 证明见解析．
【分析】（1）设，由、、三点共线以及、、三点共线可得出关于与的方程组，解出这两个未知数，即可得出关于、的表达式；
（2）根据条件，结合可建立等式，利用三点共线，可得出结论.
【解析】（1）解：由A，M，D三点共线可知，存在实数使得
．
由B，M，C三点共线可知，存在实数使得
．
由平面向量基本定理知．
解得，所以．
（2）证明：若，，则．
又因为E，M，F三点共线，所以．
23．在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交点．设，．
(1)用，表示，；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平面向量基本定理及线性运算，表达出，；（2）利用向量共线定理得推论得到方程组，求出，进而求出的值.
【解析】（1）因为，所以，
则，
因为，所以，
因为，所以，
则．
（2）因为E，P，F三点共线，所以．
因为C，P，D三点共线，所以．
则 解得：．
所以，
故．
24．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
(1)延长交于点Q（图1），求的值；
(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值；
（2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可.
【解析】（1）依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）（i）根据题意,
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
（ii）根据题意，，
，
所以，
由（i）可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时.专题05 平面向量基本定理
目录：
题型1：基底的概念及辨析
题型2：用基底表示向量
题型3：平面向量基本定理的应用
题型4：利用平面向量基本定理求参数
题型5：平面向量基本定理的推论
题型6：最值问题
题型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
题型8：平面向量的基本定理综合解答题
题型1：基底的概念及辨析
1．设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
题型2：用基底表示向量
4．在平行四边形中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在中，点在边上，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
7．如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型3：平面向量基本定理的应用
8．在梯形中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量与不共线，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
10．如图所示，，，M为AB的中点，则为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，是两个不共线的向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，中线AD、BE、CF相交于点G，点G称为的重心，那么是（ ）
A．3∶2 B．2∶1 C．3∶1 D．4∶3
题型4：利用平面向量基本定理求参数
13．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知△ABC中，M为BC边上一个动点，若，则的最小值为 ．
15．已知平行四边形，若点是边的中点，，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
16．如图．在中，，分别为的中点，P为AD与BF的交点，且．若，则 ，若，则 ．
题型5：平面向量基本定理的推论
17．在中，是边上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
18．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型6：最值问题
20．中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为1
C．的最大值为16 D．的最小值为4
21．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
22．在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
23．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型7：平面向量的基本定理在三角形的“心”模型中的应用
24．对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
25．已知三角形， ， ， ，点为三角形的内心，记， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
26．在中，，，过的外心O的直线(不经过点)分别交线段于，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
27．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，，分别是边，的对角.有以下五个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则，的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型8：平面向量的基本定理综合解答题
28．在平行四边形ABCD中，，.
(1)如图1，如果E、F分别是BC，DC的中点，试用分别表示；
(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.
29．如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交于点.
(1)用向量与表示；
(2)若，求和的值.
30．如图所示，是边长为2的正三角形，点，，四等分线段BC．
(1)求的值；
(2)若点Q是线段上一点，且，求实数m的值．
31．如图，在直角三角形ABC中，，．点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
32．如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)设，求的取值范围．
一、单选题
1．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
2．已知向量与不平行，记，，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A． B． C． D．0
4．在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若则等于（ ）
A． B．
C． D．＋
6．已知，，的平分线交于点M，则向量可表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设=m+n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
8．已知，，，，则下列结论错误的是（ ）
A．若是的重心，则 B．若是的内心，则
C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则
二、多选题
9．已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
10．如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点在过点的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为常数 B．的值可以为：
C．的最小值为3 D．的最小值为
12．在平行四边形中，点为边中点，点为边上靠近点的三等分点，连接，交于点，连接，点为上靠近点的三等分点，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．点，，三点共线
B．若，则
C．
D．，为平行四边形的面积
三、填空题
13．在平行四边形 中， 点E满足且， 则实数 ．
14．已知、是平面内两个不共线的向量，，，，用向量和表示 .
15．如图,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且，则x的取值范围是 ；当时，y的取值范围是 .
16．在平行四边形中，，点分别为的中点，与交于点，则 ．
四、解答题
17．如图，在中，是边上的中线，为的中点．
(1)用，表示；
(2)用，表示．
18．在梯形中，，，中，分别是DA，BC的中点，且．设，，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，．
19．如图，在中，，E是AD的中点，设，．
(1)试用，表示，；
(2)若，与的夹角为，求．
20．如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，，求的值；
21．已知内一点满足，若的面积与的面积之比为，的面积与的面积之比为，求实数的值.
22．如图，在中，，，与相交于点M，设，，
（1）试用，表示向量：
（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．
23．在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且，，，P是CD，EF的交点．设，．
(1)用，表示，；
(2)求的值．
24．如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．
(1)延长交于点Q（图1），求的值；
(2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．
（i）求证为定值；
（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．专题05 平面向量基本定理（知识梳理）
知识点 平面向量的基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_不共线__向量，那么对于这一平面内的_任一__向量a，_有且只有一对__实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 .
2．基底：若e1，e2_不共线__，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_所有__向量的一个基底．
想一想：
1．基底有哪两个特性？
2．若λ1e1＋λ2e2＝0，则实数λ1，λ2一定都为0吗？
3．当基底{e1，e2}给定时，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的吗？
提示：1.①不共线；②不唯一．不共线的两个向量都可作为基底．
2．不一定，只有当e1与e2不共线时，才有λ1＝λ2＝0.
3．是，λ1，λ2是唯一确定的．
[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义．
(2)模型
坐知识点梳理
条件
多个向量首尾相接，并且最后一个向
量的终点与第一个向量的起，点重合
模型
结
这些向量的和为零向量，其中任意
一个向量可用其他向量表示
条件
△ABC中，D为BC的中点
模型二
结论
AD
=2(A府+ad)
