江门市名校2023-2024学年高一下学期第一次质量检测
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边上有一点P的坐标是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若是等边三角形，则
C．若，则 D．平行四边形中，一定有
5．已知，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．
D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
10．已知边长为的正边形.若集合且，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
11．已知，下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．化简： .
13．已知平面向量满足，，且与不共线.若与互相垂直，则实数 .
14．已知函数是R上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）已知向量和，且,, 求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)与的夹角θ的余弦值．
16．（本小题15分）
（1）已知都是锐角，若，求的值；
（2）已知，，求的值．
17．（本小题15分）如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示和；
(2)用向量与表示
(3)求出的值.
18．（本小题17分）若的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式，在上恒成立，求实数a的取值范围.
19．（本小题17分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.江门市名校2023-2024学年高一下学期第一次质量检测
数学科 参考答案
一、单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B A A C A
二、多选题:
9．BD 10．ACD 11．BCD
三、填空题:
12． 13． 14．1
客观题解析：
5．A 【详解】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
7．C 【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径，
则，又，则为正三角形，
则有，
向量在向量上的投影向量，
8．A 【详解】因为，
所以，
所以，所以，
所以
.
10．ACD
【详解】对于A选项，当时，如下图所示：
则，，，
同理可得，，，
故时，，A对；
对于B选项，当时，如图所示：
，，
，此时，，B错；
对于C选项，当时，取的中点，连接，则，如图所示：
易知正五边形的每个内角都为，则，故，
则，
由平面向量数量积的定义可得，
故当时，，C对；
对于D选项，当时，设正六边形的中心为，如图所示：
易知正六边形的每个内角都为，则，
故，所以，，
，则，
由正六边形的几何性质可得，则，
则，结合图形可知，故，
因此，当时，，D对. 故选：ACD.
11．BCD 【详解】对于A，因为，即，
将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故A错误；
对于B，令，则，
将其代入，得，
整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故B正确；
对于C，因为，令，
所以由，得 ，即，
两边平方，得，解得，故C正确；
对于D，令，则，
将其代入，得，
整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，
所以，解得，故D正确； 故选：BCD.
14．1 【详解】因为图像关于点对称，所以.
又因为函数是R上的偶函数，所以，所以，
则. 故函数的周期为4.
所以，又，
所以
. 故答案为：1
四、解答题:
15．（本小题13分）
（1）∵ ,, . ∴ ； -----3分
（2）∵,
∴ ； -----8分
（3）∵,
∴ -----13分
16．（本小题15分）
（1）已知都是锐角，．
，
. -----7分
（2）由和可得，故
故
因此
，
故 -----15分
17．（本小题15分）
（1）是中点，，
；-----5分
（2），则，
； -----10分
（3）方法一：设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得． -----15分
方法二：过点作交于
因为是中点，所以是中点，所以
因为，所以，又，所以
所以， 所以 -----15分
18．（本小题17分）
（1）解：因为
，
即，
因为，所以，
所以 -----8分
（2）解：由（1）可知，
不等式可化为
，
令，因为，
所以，所以，
所以，则.
所以不等式在上恒成立，
可化为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
当且仅当时等号成立，所以 -----17分
19．（本小题17分）
（1）由已知可得，，，
所以，，
所以，. -----4分
（2）.
证明如下：
左边，
右边. 所以，左边=右边，
所以，. -----10分
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，所以，.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，即
所以，即. -----17分
