2023-2024学年数学七年级平行线的有关证明单元测试试题（鲁教版（五四制））提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级平行线的有关证明（鲁教版（五四制））
单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在中，，过点作于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，已知直线，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，把一张长方形纸条沿A折叠，使D落在处，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，，，平分，则（ ）

A． B． C． D．
5．（本题3分）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，若平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，中，，，平分，于点E，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在中，，E是角平分线延长线上一动点（不与F的重合），过E点作于D点，当E点运动时的度数（ ）
A．随E点运动而变化，离F点越近，度数越大；
B．随E点运动而变化，离F点越远，度数远大；
C．度数不变，为；
D．度数不变，为．
8．（本题3分）已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）在中，，是的高，将沿折叠，点C的对应点为E，当时，满足的条件是（　　）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法：
存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，已知，，则．完成下面的说理过程（填空）．
解：将的邻补角记作，则
＝ （ ）．
又∵，
∴（ ）．
又∵，
∴ ＝ （等量代换），
∴（ ）．
12．（本题3分）如图，是的高，平分交于点．若，，则的度数为 ．

13．（本题3分）如图，，若，则 °．

14．（本题3分）两块三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与的直角三角板的直角边重合，则的度数为 ．

15．（本题3分）如图，是的高，平分交于点．若，则的度数为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ．
17．（本题3分）如图，在中，、的平分线、相交于点，，则 ．
18．（本题3分）一副三角板按如图所示的位置放置，过点A 作直线，平分，、交于点F．已知，，，．下列结论正确的是 ．
①；②平分；③；④．

三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，点G在上，已知，平分，平分，图中有哪些直线平行，并说明理由
20．（本题8分）小明在研究：三角形的内角和为．这个命题时进行了以下操作，请你根据他的思路填写证明过程．
证明：过A点作______
∵（已知）
∴______，______（ ）
∵______（ ）
∴
∴______（ ）
21．（本题10分）如图，已知，，，求的度数．

22．（本题10分）如图，在中，是的平分线，在同一条直线上， ，．求的度数．
23．（本题10分）如图，于点D，点E在延长线上，于点C，交于点F，．求证：平分．
证明：如图，
∵，，
________________（垂直的定义）
（_______________________________）
（_________________________________）
（_________________________________）
（已知），
________（___________________________）
平分（角平分线的定义）．
24．（本题10分）如图，已知，点E在直线与之间．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，和的平分线交于点F，若比大，求的度数．
(3)如图3，，连接，过点E作于点H，和的平分线分别交和于M，N．若，，请直接写出的大小_________．
25．（本题10分）如图1，已知，是延长线上一点，射线．
(1)求证：；
(2)如图，过点作交于点，连接交于点，平分，平分，若，求的度数；
(3)如图，点为线段上一点，的两边分别交线段延长线于点，交射线于点，连接，其中，，则与的数量关系是_______．
参考答案：
1．A
【分析】
本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余等知识，在中求出，再由互余定义得到的度数，熟记直角三角形两锐角互余等知识是解决问题的关键．
【详解】
解：，
，
，
，
在中，，则，
故选：A．
2．C
【分析】
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．由平行线的性质推出，由三角形外角的性质求出，即可得到．
【详解】解：如图，
∵直线，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再由折叠的性质可得，求出，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得，，由邻补角的性质可得，由角平分线的定义可得，再由邻补角的性质即可求解．
【详解】，，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
5．D
【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角的性质，根据直角三角板的性质，由角平分线的性质得出，即可求解，熟知直角三角板的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由直角三角板的性质可知，，
∴
故选：D．
6．C
【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出，则可求出答案．
【详解】
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：C
7．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，先求出，根据角平分线的定义得出，得出，过点作，得出，得出当E点运动时的度数不变，为16°．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴当E点运动时的度数不变，为；
故选：C．
8．C
【分析】
本题主要考查了规律探究，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键．根据外角的性质和角平分线的定义，结合三角形内角和定理求出，，得出，从而得出．
【详解】
解：是的平分线，是的平分线，
，，
又，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
故选：C．
9．B
【分析】设中点为，当与重合时，此时由折叠的性质得，由等边三角形的定义得为等边三角形，由，在的左侧，①当在线段上（不与、重合），，即可求解；②当与重合时，由等腰三角形的性质；③在的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得，从而可得，即可求解．
【详解】解：设中点为，
如图，当与重合时，
此时
由折叠得，
，
为等边三角形，
，
，
，
在的左侧，
①如图，当在线段上（不与、重合）

，
由折叠得，
，
，
，
，
，
②如图，当与重合时

此时，
；
③如图，在的延长线上时，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
综上所述：，
；
故选：B.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例．
【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等，
举出正例：选择进行“加括号操作”得到，
与原多项式相等，故说法正确；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为，
∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的，
∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的，
∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果，
举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
结果大于四种，故说法错误；
故选：．
11．180；平角的定义；同角的补角相等；，；同位角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定，即可求解，
本题考查了平行线的判定，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】
解：将的邻补角记作，则
（平角的定义）．
又∵，
∴（同角的补角相等）．
又∵，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：180；平角的定义；同角的补角相等；，；同位角相等，两直线平行．
12．/52度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的高和角平分线的定义．由是的高，可得，结合可得，由角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和，即可求解．
【详解】是的高，
，
又，
，
平分，
，
，
故答案为：．
13．120
【分析】
本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义求解即可．
【详解】
解：如图：

∵，
∴，
∴，
故答案为：120．
14．/75度
【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由题意得到，再利用三角形的外角，即可求出的度数．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
15．/52度
【分析】
本题考查三角形中求角度，涉及高的定义、直角三角形性质、角平分线定义及三角形内角和定理等知识，由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案，熟练掌握直角三角形性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】
解：是的高，
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：．
16．①③④
【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：①∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，故②不符合题意；
③在中，，
∵平分的外角，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
④∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故答案是：①③④．
17．
【分析】
本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
根据角平分线的定义可得出、，再根据内角和定理结合即可求出的度数．
【详解】
解：、的平分线、相交于点，
，，
，
，
．
故答案为：．
18．①②③④
【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，邻补角的含义，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质进行求解是解本题的关键；由平行线的性质可判断①，由邻补角的含义结合角平分线的定义可判断②，由三角形的内角和与角平分线的定义可判断③，由角的和差关系结合已证可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，故①符合题意；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；故②符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵，，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②③④．
19．；；理由见解析
【分析】
本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行，先根据，得出；再根据角平分线的定义得出，证明．
【详解】
解：；；
∵，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
20．，，两直线平行，内错角相等，，平角定义，，等量代换
【分析】
本题考查了平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，过A点作，根据平行线的性质以及平角的定义可得答案．
【详解】证明：过A点作，
∵（已知），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∵（平角定义），
∴，
∴（等量代换），
故答案为：，，两直线平行，内错角相等，，平角定义，，等量代换．
21．
【分析】
根据两直线平行，同位角相等，结合，，求出，根据三角形外角定理得到，即可求解，
本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】
解：如图，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
22．
【分析】
此题考查平行线的性质，角平分线的性质，根据平行线的性质得出的度数，进而利用角平分线的定义解答即可，关键是根据平行线的性质得出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
23．；90；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；3；等量代换
【分析】
本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．结合图形利用平行线的判定和性质解答即可．
【详解】证明：如图，
∵，，
（垂直的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
（已知），
（等量代换）
平分（角平分线的定义）．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和等知识，解题的关键是：
（1）过点E作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，即可得证；
（2）由由（1）知，，根据角平分线的定义得出，，则可得出，结合比大即可求解；
（3）利用四边形内角和为可求出，结合，可求出，设，结合角平分线定义等可求出设，，，，在中，利用三角形内角和等于可得出关于x的方程，然后求解即可解答．
【详解】（1）证明：过点E作，

∵，
∴，
∴，，
又，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵和的平分线交于点F，
∴，，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和的平分线分别交和于M，N，
∴，，
设，则，，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
25．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】（）由平行线的性质可得，把两等式相加即可求证；
（）如图，过点作，利用平行线和角平分线的性质可得，进而由，，即可求解；
（）如图，过点作，设，，则，，利用平行线的性质可得，结合，，即可求解；
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
即；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，，则，，
∵，
∴，
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
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