下关第一中学2023-2024学年高二下学期3月段考（一）
数学试题
满分：150分 用时：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2.若复数，则（ ）
A．1 B． C． D．
3.已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
4.设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
5.已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
6.在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选、有选错得0分）
9.已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
若，则
B．若，则
C．若，则向量在上的投影向量为
D．若，则向量与的夹角为锐角
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象的一条对称轴方程为
C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数在区间上单调递增
11.某医院护士对甲、乙两名住院病人一周内的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．病人甲体温的极差为
B．病人乙的体温比病人甲的体温稳定
C．病人乙体温的众数、中位数与平均数都为
D．病人甲体温的上四分位数为
12.点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.如图，直线是曲线在处的切线，则_________.
14.设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是_______ m3
15.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为______.
16.如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
18.如图，在四边形中，，，，．
(1)求； (2)求．
19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，，平面平面ABCD，，平面ABCD.
(1)证明：.
(2)若，求直线EF与平面AEB所成角的正弦值.
20.记数列的前n项和为.已知，且满足___________.
从①记，且有；②；③中选出一个能确定的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
21.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
(1)求的值；
(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
22.己知函数．
(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)判断函数的零点的个数下关一中高二下学期段考一数学试题解析版
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1.【答案】A
【解析】由题知图中阴影部分表示的集合为，
又，得，
又，则，
所以．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】由.故选：B
3.【答案】C
【解析】，因为，所以，，又，故，设公比是，则，两式相除得：，解得：或（舍去），故.故选：C
4.【答案】D
【解析】设外接圆得圆心为，半径为，直三棱柱得高为，
直三棱柱外接球得球心为，半径为，
则，且平面，
由正弦定理得，所以，
因为，所以，
所以，所以，
即直三棱柱得高为.
故选：D.
5.【答案】C
【解析】因为,
所以四边形是平行四边形.
所以.
由椭圆的定义得.
所以.
故选：C
6.【答案】B
【解析】由可得，再由余弦定理可得：，
故，因为，所以则.故选：B.
7. 【答案】D
【解析】方法一：，，，即，.
方法二，即，，，.
故选：D.
8.【答案】D
【解析】因为，可得函数为偶函数，
当时，则，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
可得，
即在上恒成立，故在上单调递增，
又因为，且，
所以，即.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共18分．
9.【答案】AB
【解析】对于A，若，则解得，故A正确；
对于B，若，可得，即，解得，故B正确；
对于C，若，，
则向量在上的投影向量为，故C错误；
对于D，若，则，所以，
但当时，，此时同向，其夹角为，故D错误.
故选：AB.
10.【答案】ABC
，函数的最小正周期为，故A正确；
由，得，当时，，故B正确；
由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．因为，函数在上不单调，故D错误．
故选：ABC．
11.【答案】BC
【解析】对于选项A：病人甲体温的最大值为，最小值为，故极差为，故A错误；
对于选项B：病人乙的体温波动较病人甲的小，极差为，也比病人甲的小，因此病人乙的体温比病人甲的体温稳定，故B正确；
对于选项C：病人乙体温按照从小到大的顺序排列为：，
病人乙体温的众数、中位数都为，
病人乙体温的平均数为：，故C正确；
对于选项D：病人甲体温按照从小到大的顺序排列为：，
又，
病人甲体温的上四分位数为上述排列中的第6个数据，即，故D错误．
故选：BC．
12.【答案】BCD
【解析】
由图可知，当直线，与圆相切且点在轴上时最大，
此时，，，，
所以最大时是锐角，故A错；
，所以，
则当最小时，弦长最小，，所以，故B正确；
设点，，是以为直径的圆上的两点，圆的方程为，
即①，又，是圆②上的两点，
所以直线的方程为②-①：，过定点，故C正确；
若存在，，使得，则，
当直线，与圆相切时，最大，对应的余弦值最小，
当直线，与圆相切，且时，，，
因为，所以，则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
13.【答案】
【解析】直线过点，，直线斜率，
又直线是在处的切线，，又，.故答案为：.
14.【答案】16
【解析】设长方体车厢的长为，高为，则，即，
∴，即，解得，∴．
∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．
15.【答案】
【解析】设等差数列的公差为，∵，，
∴，，
联立解得：，所以，
则，
令，，
时，，单调递增，时，，单调递减，
可得时，函数取得极小值即最小值，
∴时，取得最小值，.
故答案为：.
16.【答案】
【解析】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，
由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则，
所以.由直线AB的斜率，得，
则直线OM的斜率.
设，，则
两式相减，得，化简得，即，
所以该双曲线的离心率.故答案为：
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【答案】(1)为
(2)极大值为，极小值为.
【解析】（1）依题可知
故点处的切线斜率，
所以，
故切线方程为，
即
（2）由，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表:
1
+ 0 0 +
极大值 极小值
∴的极大值为，极小值为.
18.【答案】(1)(2)
【解析】
(1)中，；
(2)，，
所以，
所以．
19.【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)如图，取BC的中点G，连接DG，FG，，
，，
，且，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，且，
又，平面DFG.
平面DFG，.
(2)设，
∵四边形ABCD是菱形，∴，
∵平面ABCD，平面，
∴，
∵平面平面ABCD，， 平面平面，
∴平面，
∴以为原点，所在的直线分别为轴，以过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，
易知，，，.
设平面EAB的法向量为，，，，则
，令，则，
，
故直线EF与平面AEB所成角的正弦值为.
20.【解析】（1）选择条件①，解析如下：
因为，，所以，则，
故，得，即，即条件②，
以下解析与选择条件②解析相同，见下方解析；
选择条件②，解析如下：
因为，
所以当时，，得；
当时，，
所以，
则，即，
经检验：当时，，
所以，
所以是以，的等差数列，
故；
不能选择条件③，理由如下：
因为，所以数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，
又因为，所以数列的奇数项可以确定，
但数列的任一偶数项都未知，故数列的偶数项无法确定，
因此数列不确定，故条件③不能选.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，
所以.
21.【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知，，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
设直线，，，，，
根据题意结合图形可知，且．
联立，得，
则，
同理联立，得，
则．
由可得，，
又，，
所以，
即，化简得，即，
又因为，，所以，
再由，得．
联立，解得，
所以，，．
故，
所以为定值.
22.【答案】(1)；(2)当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．
【解析】（1）因为，∴，
①若，因为，所有，
所以，不符合题意；
②若，由，
令，因为，设方程两根为，
则，不妨设，
当时，在上，，单调递增，，不合题意；
所以，故，即，这时，在上，，单调递减，
所以恒成立；综上，a的取值范围是；
（2）当时，因为，所有，所以，函数无零点；
当时，（i）若，则，即，
由（1）知，在上单调递增，上单调递减，，
由，可知,
又，
所以存在使，所以当时，有一个零点；
（ii）若，即时，则在上单调递减，，无零点；
综上，当或时，函数无零点；
当时，函数有一个零点．
