夏津育中万隆中英文高级中学
高一下学期第一次月考数学试题(详解)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，是空间中互不相同的四个点，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
2.设为所在平面内一点，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，
若，则，可得或，
若，则，
“”是“”的必要不充分条件．
4.已知向量，，若为实数，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为向量，，所以，
因为 ，，所以，解得，
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，且，
则：，整理得：，
则：，整理得：，
所以：，
6.已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是( )．
A. ， B. ，
C. D.
【答案】C
【解析】已知，与的夹角为，则，
由题意，，
又时，与反向，，且
7.已知函数，，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
当时，
8.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，．
设，则．
以点为原点，方向为轴正方向建立平面直角坐标系如图所示，
则易知点在以点为圆心，为半径的圆上．
设，则，如图，．
在射线上运动，在圆上运动，
，两点间距离的最小值转化为圆心到射线距离的最小值减去半径，
即当时，最小，
此时，，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 与向量平行的单位向量为 D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】，，所以A正确；
，，所以B正确；
与向量平行的单位向量为，所以C错误；
向量在方向上的投影向量为，所以D正确．
10.函数，则下列结论错误的是( )
A. 的最大值为 B. 在上单调递增
C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称
【答案】ACD
【解析】，
对：，故A错误；
对：令，解得，
因为，故B正确；
对：，不是最值，故C错误；
对：，的图像关于点对称，故D错误，
11.定义：已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即则下列命题中正确的有( )
A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
【答案】ACD
【解析】若平行四边形的面积为，则 ，故A正确；
设正 的边的中点为，则 ， ，则 ，
故 ，故B错误；
由 ， ，得 ， ， ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，故C正确；
若 ， ，且 为单位向量，
则当 ， ， ， 时，可以等于 ，
此时 ．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则(
【答案】
【解析】以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系，则，，
设，，，
即，解得，，的坐标为，
设，则，，
设，，解得，
，，
．
13.对于锐角，若，则 ．
【答案】
【解析】由为锐角，，且，可得，
那么，
于是
14.已知是正实数，的三边长为，点是边与点，不重合上任一点，且若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，即，．
以为原点分别以、为、轴建立平面直角坐标系，如图所示：
，，则，
则，
．
因为点是边与点，不重合上，可设即
=，
由恒成立，可得恒成立，
由，可得，则，
当且仅当，即时等号成立．
又，，则，
则，则，
则，则实数的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.本小题分
已知函数
求函数的最大值及单调递增区间；
若为函数的一个零点，求的值．
【解析】， ------------------2分
由，解得，
所以当时，取得最大值. ------------------4分
由得，
的单调递增区间为． ------------------6分
由及题意得，， ---------- 7分
又 ，，得：
， ----------------------------------10分
故． ------13分
16.（本小题15分）
已知平行四边形中，，，和交于点．
试用，表示向量．
若的面积为，的面积为，求的值．
若，，求的余弦值．
【解析】解：点在上， -----------2分
又，，
，解得，． -------------4分
解：由可得， ------------5分
，即 ------------------6分
，，， ----------------8分
． -----------------------9分
解：由，所以，
即，所以，即， ------11分
又，所以平行四边形是正方形， -------------12分
如图所示的建系
则是向量和的夹角，不妨设，，
，的余弦值是． -----------------------15分
17.（本小题15分）
已知，．
求的值；
求的值；
若且，求的值．
【解析】因为，，所以，------2分
所以 -----------------------5分
. ----------------10分（如果最后结论错误，但是中间分别正确求出了的值，可以各给1分）
因为，，所以，
因为，所以， ----------12分
所以
------------15分
18.（本小题17分）
如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对在斜坐标系中完成下列问题：
若向量的坐标为，计算的大小
若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由．
命题若，则命题若，则
【解析】由题知， ------------------1分
故 ． ------4分
由题知， -------------5分
命题是真命题． ---------------6分
当时，即，显然； --------7分
2当时，即至少一个不为，不妨设，
若，则存在，使得，故，
即， -----------------9分
因为不共线，所以
由，代入得，即．
综上所述，命题“若，则”是真命题． ---------12分
命题是假命题． -------13分
若，
则
， ---------15分
当时，结论不成立， --------16分
所以，命题“若，则”是假命题． ---------17分
19.（本小题17分）
已知．
当时，求的值；
若的最小值为，求实数的值；
是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】，
当时，．
------------------4分
设，则，
可得， ------------------5分
可得，， ------------------6分
其对称轴为，
，的最小值为，则；
------------------8分
，的最小值为，则，
综上，或． -------------------10分
由，对所有都成立．
设，则
恒成立， --------------------11分
，
在恒成立， --------------------13分
当时，递减，则在递增，
时取最大值，得，
，
存在符合条件的实数，并且的取值范围为． ------------------ 17分夏津育中万隆中英文高级中学
高一下学期第一次月考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，，是空间中互不相同的四个点，则
A. B. C. D.
2.设为所在平面内一点，，则
A. B.
C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，，若为实数，，则
A. B. C. D.
5.已知，，则的值为
A. B. C. D.
6.已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
7.已知函数，，则函数的值域是
A. B. C. D.
8.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 与向量平行的单位向量为 D. 向量在向量上的投影向量为
10.函数，则下列结论错误的是( )
A. 的最大值为 B. 在上单调递增
C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称
11.定义：已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即则下列命题中正确的有( )
A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，已知正方形的边长为，且，
连接交于，则( _____ .
13.对于锐角，若，则 ____ ．
14.已知是正实数，的三边长为，点是边与点，不重合上任一点，且若不等式恒成立，则实数的取值范围是 __________ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.本小题分
已知函数
求函数的最大值及单调递增区间；
若为函数的一个零点，求的值．
16.（本小题15分）
已知平行四边形中，，，和交于点．
试用，表示向量．
若的面积为，的面积为，求的值．
若，，求的余弦值．
17.（本小题15分）
已知，．
求的值；
求的值；
若且，求的值．
18.（本小题17分）
如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对在斜坐标系中完成下列问题：
若向量的坐标为，计算的大小
若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由．
命题若，则命题若，则
19.（本小题17分）
已知．
当时，求的值；
若的最小值为，求实数的值；
是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
