2023-2024学年高一年级下学期第一次月考试卷
数学
满分：150分 时量：120分钟
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 的三内角所对边分别为，若，则角的大小是（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知，是虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角的对边分别为，且，，，则
A． B． C．或 D．或
5. 化简
A. B. C. D.
6. 设的内角所对的边分别是，若，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
7. 已知向量，，则下列命题中错误的是（ ）
A. B. 与向量垂直的一个单位向量是
C. D. 向量在向量上的投影向量是
8. 在中，分别为内角的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足，下列结论正确的是（ ）
A. P0点的坐标为（2，1）
B. 复数的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C. 复数z对应的点P在一条直线上
D. P0与复数z对应的点P间的距离的最小值为
10. 计算下列各式，结果为的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 函数的图象关于点对称
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数在区间上单调递
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地
称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，
∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若O为的内心，，则
D. 若O为的垂心，，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知复数，则________．
14. 已知向量，，若，则m=________．
15. 设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 .
16. 将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为，则________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分10分）已知复数，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当时，求．
18．（本小题满分12分）已知平面向量满足与的夹角为．
(1)求； (2)当实数为何值时，．
19. （本小题满分12分） 如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.
（1）求小岛A到小岛C的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
20. （本小题满分12分）已知函数．
（1）求最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
21．（本小题满分12分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求
22. （本小题满分12分）定义非零向量的“相伴函数”为
，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
（1）设，请问函数是否存在相伴向量，若存在，求出与共线的单位向量；若不存在，请说明理由．
（2）已知点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值，求的取值范围．数学参考答案
BABDACDB
AD BC ABC ACD
13. 1 14. -4 15. 16.
17.【详解】（1）由题意，解得；
（2）由题意．
18.【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
化为，解得.
19. 解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.
.所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)根据正弦定理得：
解得
在中，为锐角
.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
20. （1）
，故；
(2)因为，向左平移个单位长度，
得到，
故要使，需满足，解得，故的解集为
21（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
22. （1）因为
，
所以，函数存在相伴向量，，
所以，与共线的单位向量为或
.
（2）的“相伴函数”，
因为在处取得最大值，
所以，当，即时，有最大值，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，
令，则，
因为均为上的单调递减函数，
所以在上单调递减，
所以，
所以，，
所以，的取值范围为.
试卷第1页，共3页
