盐城市时杨中学 复习迎考措施二
基础知识填空题
1．子集的性质：
2．四种命题的关系：原命题与 题等价；逆命题与 等价。
3．充要条件的判断：条件A对应的范围是集合A，条件B对应的范围是集合B。
①若，则 ，
②若A=B，则 ；
4．已知全称命题p：； 则p的否定p： ；已知存在性命题p：；则p的否定p： ；
5．函数定义域的求法：
①，则 ； ②则 ；
③，则 ； ④如：，则 ；
6．复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由 解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于
7．复合函数单调性的判定：根据“ ”来判断原函数在其定义域内的单调性。
8．单调性与奇偶性的关系：在关于原点对称的单调区间内：奇函数 ，偶函数 ；
9．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为 ；
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期
10．对数运算性质：（1） ； （2） . （3） ；（4）换底公式 ；
11．幂函数： ，幂函数在第一象限必有图像且过定点____ __，时，函数在第一象限为 函数，时，函数在第一象限为 函数，
12．完成表格：
指数函数y=ax (a>0,a≠1) 对数函数y=log ax (a>0,a≠1)
图象特征 0
1 01
定义域 （－∞，+∞） （0，+∞）
值域 （0，+∞） （－∞，+∞）
单调性 减函数 增函数 减函数 增函数
定点 （0，1） （1，0）
函数值分布 x<0时，y>1；x>0时，00时，y>1 00；x>1时，y<0 01时，y>0
13．一个重要的函数
（1）．时，当时；当时函数有最 值 ，当时函数有
最 值 ；在区间 ， 上分别是减函数，
在区间 ， 上分别是增函数.
（2）时，在区间 ， 上分别是 函数；
14．二次函数的解析式：①一般式： ；
②顶点式： ，③零点式： 。
15．图象的变换
（1）平移变换
①函数 的图象：由的图象左右平移而得；
②函数 的图象：由的图象上下平移而得；
（2）对称变换
①函数与函数 的图象关于直线x=0对称；
函数与函数 的图象关于直线y=0对称；
函数与函数 的图象关于坐标原点对称；
16．函数满足f(a+x)=f(a－x) （x∈R），则y=f(x)图像关于直线 对称；
函数的图像关于点对称，则有关系式 成立。
17．常见函数的导数公式: ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ；⑦ ；⑧ 。
18．导数的运算法则：① ；
② ；③ ；
19．利用导数求切线：若为切点，是切线的斜率，则切线方程为 ；
20．（1）不等式变向原则：a＞b且c 0ac＞bc；a＞b且c 0ac＜bc
（2）比较大小的倒数法则a＞b且ab＞0 ；a＞b且ab＜0
21．均值不等式： ，变式
运用均值不等式应该注意
22. 三角形不等式： ；
23．圆心角弧度的计算公式：____________；弧长公式：____________；扇形的面积
公式：____________。（其中α的单位都是弧度）
24．同角三角函数间的基本关系式：
（1）平方关系：sin2α+cos2α= ；（2）商数关系： =
25．两角和与差的三角函数
（1）和（差）角公式
① ；②
③ ；
（2）二倍角公式：① ；
② ；③
（3）有用的公式
①升（降）幂公式： 、 、
；
②辅助角公式：sinx+cosx＝（sinx+cosx）
＝ ,
(其中cosφ=，sinφ=，tanφ=)
③正切公式的变形： .
26．三角函数图像的对称轴和对称中心；
曲线的对称轴是，对称中心是 ；
曲线的对称轴是 ，对称中心是
曲线的对称中心是
27．正弦定理 （是外接圆直径）
28．余弦定理： ；变形 。
29．⑴三角形面积公式：
⑵内切圆半径r= ；外接圆直径2R=
30．几个距离公式
（1）两点间距离公式：若，则
特别地：轴，则 ；轴，则 .
（2）点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= .
（3） 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d= .
31．直线的倾斜角的范围： ；当时，直线的斜率为 ；
32．直线的方向向量
（1）若直线的斜率为，则直线的一个方向向量是 ；(斜率不存在时为 )
（2）若直线的方程为，则直线的方向向量是 ；
33．直线的基本形式
⑴点斜式： ； ⑵斜截式： ；
⑶截距式： ； ⑷两点式： ；
⑸一般式： ，（A，B不全为0）
34．完成表格
35．圆的方程
（1）标准方程： ， 其中圆心为，半径为.
（2）一般方程： （
其中圆心为 ，半径为 .
36．过圆上的点P的切线的方程为 ..
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为： .；
37．已知 A(x1，y2)、B(x2,y2)，则以AB为直径的圆的方程： .
38．圆与圆的几种位置关系。记两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r（R≥r），则
（1）相离______ ____；（2）相外切___ _______；（3）相交____ ____；
（4）相内切___ _______；（5）内含_______ ___；
39．已知为椭圆上一点，、 为左右焦点，
（1）焦半径： ， ；（用含与离心率的式子表示）
（2）椭圆的焦点三角形面积 ，（）；
（3）离心率 （、分别为两焦半径所对的内角）；
（4）有用的结论：， ，焦点与准线距
离： ；通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长： 。
40．已知为双曲线上一点，、 为左右焦点，
（1）焦半径： ， ；（用含与离心率的式子表示）
（2）椭圆的焦点三角形面积 ，（）；
（3）离心率 （、分别为两焦半径所对的内角）；
（4）假设为双曲线右支上一点， ，（用表示），的最小值为 ，的最小值为 ，焦点与准线距离： ；通径（过焦点与双曲线的实轴垂直的弦）长为 。
41．与渐近线有关的结论
①若渐近线方程为双曲线可设为 ；（）
②若双曲线与有公共渐近线，可设为 ；（）
（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.
42．等轴双曲线
① ；②离心率 ；③渐近线互相 ，分别为 ，
④方程可以用 表示；（）
43．抛物线几何性质 （为其上一点）
（1）焦点：，准线：； 焦半径： ，
过焦点弦长 （、分别为端点的横坐标）
（2）几何特征：焦点到顶点的距离= ；焦点到准线的距离 ；
通径长为 （通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（3）抛物线上的动点可设为P 或
44．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹。
（1） 时轨迹为抛物线， 时轨迹为双曲线， 时轨迹为椭圆；
（2）定直线是曲线的准线，这个距离之比解释了
45．两个向量共线的充要条件：
(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得 ．
(2) 若=（）, =（）则∥ ．
46．平面向量基本定理：若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= ．
47．两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，则·= ．其中︱︱cos称为 ．
48．向量的数量积的性质：（1） ⊥ ；
（2）︱︱= ；（3）cos= = 。
49．值得注意的几个问题
①向量与向量夹角为锐角 ；
②向量与向量夹角为钝角 ；
③与向量同方向的单位向量记为 若向量与共起点，则在向量与的角平分线上的向量记为 ；
④已知向量，则与向量垂直且模相等的向量为 。
50．通项公式与前n项和的关系： ；（是数列的基本问题也是考试的热点）
51．等差数列的通项公式： ；推广公式 ；
52．等差数列的前n项和公式： = = ；
53．等差数列重要性质举例（公差为）
①若，则 ；特别地：若，则 ；
②若有奇数项项，则 ， ； ；
③若有偶数项项，则 ， ；
④设，，， 则有 。
54．等比数列的通项公式： ，推广公式 ，
55．等比数列的前n项和 = ．
56．等比数列重要性质举例
①若，则 ；特别地：若，则 ；
②设，，， 则有 ；
57．等差数列与等比数列的关系举例（且）
①成等差数列成 ；
②成等比数列成 ；
58．几种特殊的数列求和方法
（1）裂项相消法； ；
（2）错位相减法：, 其中是等差数列，公差为，是等比数列，公比为
记；则 ；
59．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1）z1+z2= ；⑵ z1z2= ；
（3）z1÷z2= 。(z2≠0)
60．关于复数几个重要的结论：
（1） ；（2）
（5）的性质：； ； ；
61．共轭复数的性质⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ 。
第 1 页 共 5 页盐城市时杨中学2009届高三五月回归课本 基础知识整理篇
第一部分 函数、导数与不等式
（一）函数
1．函数定义域的求法：①函数解析式有意义；②符合实际意义；
注意：做函数题注意定义域优先原则。忽视定义域，苦头吃不尽！！
函数解析式的求法：①待定系数法，②配方法，③换元法，④函数方程法等
函数值域的求法：①配方法 ；②利用函数单调性 ；③换元法 ；
④利用均值不等式 ；
⑤利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；
⑥利用函数有界性（、、等）；⑦利用导数
2．分段函数：先分段解决，再下结论。
注意：分段函数的表达式必须写成用大括号联结的形式。
3．复合函数
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数的定义域是内函数的值域。
4．函数的奇偶性
⑴是奇函数；
⑵是偶函数 ；
注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
⑶奇函数在原点有定义，必有；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性；
5．函数的单调性
⑴单调性的定义：用定义判断单调性时，必须将差值分解因式到可以判断正负为止；
⑵判定单调性的常用方法：
①定义法；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见4（2）同增异减）；④图像法。
注意：①证明单调性要用定义法或导数法；②单调区间必须是定义域的子集；
③多个单调区间之间不能用“并集”符号，也不能用“或”联结；
④单调区间不能用集合或不等式表示。
6．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
① ；② ；③；
④ ；⑤；
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期2
7．幂、指、对的运算法则
（1）指数运算法则：①，②，③；
（2）指数式与对数式互化：
对数的三个性质：；；
对数恒等式：；
对数运算性质：.
.
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数： （
1 在第一象限必有图像且过定点______，时，函数在第一象限为增函数，时，函数在第一象限为减函数，
2 函数图像可能分布在一、二象限；也可能分布在一、三象限或只分布在第一象限。当图像分布在一、二象限时，函数为偶函数，当图像分布在一、三象限时，函数为奇函数
⑵指数函数与对数函数：
指数函数y=ax (a>0,a≠1) 对数函数y=log ax (a>0,a≠1)
图象特征 01 01
定义域 （－∞，+∞） （0，+∞）
值域 （0，+∞） （－∞，+∞）
单调性 减函数 增函数 减函数 增函数
定点 （0，1） （1，0）
函数值分布 x<0时，y>1；x>0时，00时，y>1 00；x>1时，y<0 01时，y>0
（3）注意一个重要的函数
1．时，当时；当时.在、上是减函数；在、上是增函数.
2．时，在、上为增函数.
（4）二次函数
㈠解析式：①一般式：；
②顶点式：，为顶点；③零点式： 。
㈡二次函数问题解决需考虑的因素
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
㈢解决二次函数问题的常用方法：①数形结合；②分类讨论。
9．图象的变换
（1）平移变换
①函数的图象：由的图象左右平移而得；
②函数的图象：由的图象上下平移而得；
（2）对称变换
①函数与函数的图象关于直线x=0对称；
函数与函数的图象关于直线y=0对称；
函数与函数的图象关于坐标原点对称；
②
③
（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中）
与函数图像的对称性有关的常用结论：
①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;
③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为
f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);
④函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=对称；
特别地：函数与函数的图象关于直线对称。
⑤f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称；
⑥如果函数对于一切都有 ，那么 的图象关于直线对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于点对称。
10．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
（二）导数
11．导数： ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；
⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；
④；⑤；⑥；⑦；
⑧ 。
⑶导数的四则运算法则：；；
⑷（理科）复合函数的导数：
⑸导数的应用：
1 利用导数求切线：
其中为切点，是切线的斜率
在具体问题中应注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？
2 利用导数判断函数单调性：ⅰ 是增函数；
ⅱ 为减函数； ⅲ 为常数函数；
注：反之，成立吗？（求单调区间，先求定义域）
③利用导数求极值：ⅰ求导数；ⅱ求方程的根；ⅲ列表得极值。
④利用导数最大值与最小值：先求极值，再求区间端点的函数值，最后得最大最小值；
（三）不等式
12．均值不等式：
注意：①积定和最小，和定积最大，一正二定三相等；②变形，。
13．一元二次不等式的解法：
（1）步骤：一看开口方向（的符号），二看判别式 的符号，三看方程的根写解集.
（2）重要结论：解集为R（即对恒成立），则
注意：若二次项的系数含参数且未指出不为零时，需验证为零的特殊情形！
14．绝对值不等式
（1）转化法： （）
（）
（2）性质：
15．不等式的证明
（1）比较法①作差比较法：作差——变形（通分、因式分解等）——判别符号；
②作商比较法：作商——变形（化为幂的形式等）——与1比大小.（分母要为正的）
③综合法——由因导果（由前面结论）； ④分析法——执果索因
注意：（1）一般地常用分析法探索证题途径，然后用综合法；
（2）还可以用放缩法、换元法等综合证明不等式.
第二部分 三角函数
一、三角函数的基本概念
1．终边相同的角的表示方法（终边在轴上；终边在轴上；终边在直线上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧长公式：；扇形面积公式：。
2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限、、、、、）；
⑴三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：
⑵三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
⑶同角三角函数的基本关系：
3．有用的结论
⑴半角所在的象限：
⑵和的符号规律：
二、两角和与差的三角函数
1．和（差）角公式
①
②③
2．二倍角公式
二倍角公式：①；
②；③
3．有用的公式
⑴升（降）幂公式：、、；
⑵辅助角公式：（由具体的值确定）；
⑶正切公式的变形：.
4．有用的解题思路
⑴“变角找思路，范围保运算”； ⑵“降幂——辅助角公式——正弦型函数”；
⑶巧用与的关系；⑷巧用三角函数线——数形结合.
三、三角函数的图象与性质
1．列表综合三个三角函数，，的图象与性质，并挖掘：
⑴最值的情况；
⑵了解周期函数和最小正周期的意义．会求的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况；
⑶会从图象归纳对称轴和对称中心；
的对称轴是，对称中心是；
的对称轴是，对称中心是
的对称中心是
⑷写单调区间注意.
注意：单调区间不可以用并集符号！不能说正切函数在定义域上为增函数
2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，并能由图象写出解析式．
⑴“五点法”作图的列表方式；
⑵求解析式时处相的确定方法：代（最高、低）点法、公式.
3．正弦型函数的图象变换切记：
注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译.
四、解三角形
Ⅰ．正、余弦定理
⑴正弦定理（是外接圆直径）
注：①；②；③。
⑵余弦定理：等三个；注：等三个。
Ⅱ。几个公式:
⑴三角形面积公式：；
⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=
⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，
Ⅲ．已知时三角形解的个数的判定：
第三部分 立体几何
1.平面的基本性质:三个公理，三个推论
2. 空间线面的位置关系
共面 平行—没有公共点
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
3.线面平行
（1）直线和平面平行的判定定理：
（2）直线和平面平行的性质定理： （图见上）
4．线面垂直
（1）直线与平面垂直的定义：
（2）直线与平面垂直的判定定理：
又一方法：
（3）直线与平面垂直的性质定理：（见上图（2）右）
（4）过一点作已知直线的垂直平面，有且只有一个；过一点作已知平面的垂线，有且只有一条。
5．面面平行
（1）平面与平面平行的判定定理：
（2）平面与平面平行的性质定理：
（3）利用定义可得
①
②
6．面面垂直
（1）平面与平面垂直的定义：平面角为直角的二面角称为
直二面角，直二面角的两个半平面所在的平面互相垂直。
（2）平面与平面垂直的判定定理：
（3）平面与平面垂直的性质定理：
推论：两个平面垂直，经过其中一个平面一点作另一个平面的垂线，则垂线在第一个平面内。
7．空间平行与垂直之间的联系（尝试一下证明）
（1）直线在平面外，若且，
则直线∥平面；
（2）直线在平面外，若且直线∥平面，
则；
（3）直线在平面外，直线，直线直线
则直线∥；
（4）直线在平面外，直线，直线∥
则直线直线；
（5）∥，直线，则直线
（6）直线，直线，则∥
注：（5）、（6）在几何证题中可以直接用
8．空间几何体的表面积与体积
⑴柱体（圆柱）：
①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体（圆锥）：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶圆台：①侧面积：S侧=；②体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=
9．常用几何的体的结论
（1）长方体的性质
①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2 。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2；sin2+sin2+sin2=1 。
（2）正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的
①高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：
第四部分 直线与圆
一、直线的基本量
1．两点间距离公式：若，则
特别地：轴，则 ；轴，则 .
2．直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角；当时，直线的斜率.
（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图
3．直线在轴和轴上的截距
（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义
4．直线的方向向量
（1）若直线的斜率为，则直线的一个方向向量是（1，）；(斜率不存在时为)
（2）若直线的方程为，则直线的方向向量是（B，－A）
二、直线方程
1.基本形式
⑴点斜式： ； ⑵斜截式： ；
⑶截距式： ； ⑷两点式： ；
⑸一般式：，（A，B不全为0）
2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.
三、两条直线的位置关系
四、点到直线的距离
1．点到直线的距离：
2．平行线间距离：若、，则.
注意：x，y对应项系数应相等.
五、圆
1．确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程：， 其中圆心为，半径为.
（2）一般方程：（
其中圆心为，半径为.
注：圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
2．直线与圆的位置关系
（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法.
（2）求圆的弦长方法：垂径定理. （3）求圆的切线：“”.
六、点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离；②外切；③相交；
④内切；⑤内含。
七、直线系
八、圆系：
⑴；
注：当时表示两圆公共弦所在直线方程。
⑵
九、常用结论：
1、过圆上的点P的切线的方程为.
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；
2、以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0。
第五部分 圆锥曲线
一、椭圆
1．定义
（1）第一定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数），
则P点的轨迹是椭圆。
（2）焦半径：为椭圆上一点，、 分别为左右焦点，则
， ；
2．标准方程：
（1）焦点在轴上： ；
焦点在轴上： ；
（2）焦点的位置标准方程形式
3．几何性质（以焦点在轴上为例）
（1）范围： 、；（2）对称性；
（3）离心率，（）准线方程
（4）有用的结论：，，焦点与准线距离：
通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，
（5）焦点三角形
<Ⅰ>．，（）；
<Ⅱ>．离心率（、分别为两焦半径所对的内角）；
<Ⅲ>．点 是内心，交于点，则注意：经常结合第一定义与正弦定理、余弦定理，建立+、·等关系，解决角、数量积、焦点三角形面积等问题
二、双曲线
1．定义：
（1）第一定义：若F1，F2是两定点，（为常数），
则动点P的轨迹是双曲线。
（2）焦半径：
，
2．标准方程
（1）焦点在轴上： ；焦点在轴上： .
（2）焦点的位置标准方程形式
3．几何性质（以焦点在轴上为例）
（1）范围：或、；（2）对称性 ；
（3）离心率，准线方程（）
（4）渐近线方程：.
注意与渐近线有关的结论：
①若渐近线方程为双曲线可设为；（）
②若双曲线与有公共渐近线，可设为（）
（，焦点在x轴上；，焦点在y轴上）.
（5）等轴双曲线
①；②离心率；③渐近线互相垂直，分别为y=，④方程：（）；
（6）有用的结论：，，焦点与准线距离：
通径（过焦点与椭圆的长轴垂直的弦）长：，
（7）双曲线的焦点三角形：
<Ⅰ>．，（）；
<Ⅱ>．离心率（、分别为两焦半径所对的内角）；
<Ⅲ>． P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，则的内切圆的
圆心横坐标为；
三、抛物线
1．定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2．标准方程（以焦点在轴的正半轴为例）：
（其中为焦点到准线的距离——焦参数）；
3．几何性质
（1）焦点：，通径，准线：； 焦半径：，
过焦点弦长（、分别为端点的横坐标）
（2）几何特征：焦点到顶点的距离=；焦点到准线的距离=；
通径长=（通径是最短的焦点弦），顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
（3）抛物线上的动点可设为P或或P（）。
4．抛物线中的常用结论
①焦点弦AB性质：<Ⅰ>． ；；<Ⅱ>．；
<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或BF）为直径的圆与轴相切；
②抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则
<Ⅰ>．当时，顶点到点A距离最小，最小值为；
<Ⅱ>．当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为
四、圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹
（1）时轨迹为抛物线，时轨迹为双曲线，时轨迹为椭圆；
（2）定直线是曲线的准线，这个距离之比解释了离心率的几何意义
注意：统一定义也称为圆锥曲线的第二定义，常常结合第一定义与统一定义来解题
第六部分 平面向量
一、向量的基本概念
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量.
二、加法与减法运算
1．代数运算
(1)．
(2)若=（）, =（）则=（）．
2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,
=－,=－.且有︱︱－︱︱≤︱︱≤︱︱+︱︱．
3．运算律
向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)；+(+ )=(+ )+ （结合律）；
+= ＋(－)=.
三、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量。
1．︱︱=︱︱·︱︱；
(1) 当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=．
(2)若=（），则·=（）．
2．两个向量共线的充要条件：
(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=．
(2) 若=（）, =（）则∥．
四、平面向量基本定理
1．若、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数，，使得=+ ．
2．有用的结论：若、是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数，，使得
+ =，则==0.
五、向量的数量积
1．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, = ,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角（两个向量必须有相同的起点）。
2．两个向量的数量积：两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos．
其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．
3．向量的数量积的性质：若=（）, =（）
（1）·=·=︱︱cos (为单位向量)；（2）⊥·=0；
（3）︱︱= ；（4）cos= =．
4．向量的数量积的运算律：
·= ·；()·=(·)=·()；(＋)·=·+ ·．
注意：①与向量垂直且模相等的向量为或；
②在平分线上的向量可以记为
③向量与向量夹角为锐角·且、不共线；
④向量与向量夹角为钝角·且、不共线。
第七部分 数列
一、数列的定义和基本问题
1．通项公式：（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）；
2．前n项和：；
3．通项公式与前n项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：
注意：已知数列的前n项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论的情形而致错。
二、等差数列
1．定义和等价定义：是等差数列；
2．通项公式：；推广：；
3．前n项和公式：；
4．重要性质举例
①与的等差中项；
②若，则；特别地：若，则；
③奇数项，…成等差数列，公差为；偶数项，…成等差数列，公差为.
3 若有奇数项项，则，，；
4 若有偶数项项，则，；
⑤设，，， 则有；
⑥当时，有最大值；当时，有最小值.
⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n项和公式.
三、等比数列
1．定义：成等比数列；
2．通项公式：；推广；
3．前n项和；
注意：必须先看一下公比是否等于1
4．重要性质举例
①与的等比中项G（同号）；
②若，则；特别地：若，则；
③设，，， 则有；
④用指数函数理解等比数列（当时）的通项公式.
注意:解决数列问题时,注意整体代换思想的运用,如:数列的前项和为,,,则
(1)当为等差数列时, ；(2)当为等比数列时, .
四、等差数列与等比数列的关系举例
1．成等差数列成等比数列；
2．成等比数列成等差数列.
五、数列求和的常用方法
1．等差数列与等比数列；
2．几种特殊的求和方法
（1）裂项相消法；
（2）错位相减法：, 其中是等差数列， 是等比数列
记；则，…
（3）通项分解法：
六、递推数列与数列思想
1．递推数列
（1）能根据递推公式写出数列的前几项；
（2）常见题型：由，求.解题思路：利用
2．数学思想
（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则……；
（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；
（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）
第八部分 复数
1．概念：
⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；
⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；
⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；
⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3．几个重要的结论：
；⑶；⑷
⑸的性质：T=4；；；
（6）1的3次方根： 以3为周期，且；=0；
（7）。
4．运算律：（1）
5．共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 。
6．模的性质：
⑴；
⑵；⑶；⑷；
第九部分 集合与常用逻辑用语
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或维恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意:正难则反!补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）
3．常见的包含关系：
（1） (注意：讨论的时候不要遗忘了的情况)；
（2）。
4．四种命题的关系：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
注意：判断命题真假时常常借助其逆否命题来判断原命题真假
5．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系
例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；
注意：判断A与B的充要关系时，常常先将A、B化为最简。
6．含有逻辑连接词的命题：
⑴“且命题”一假全假； ⑵“或命题”一真全真；
⑶“命题p”与“命题p”有且只有一个是真命题。
7．全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；
全称命题p：； 全称命题p的否定p：。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；
存在性命题p：；存在性命题p的否定p：；
问题：命题“若，则”的否定是什么？
第十部分 概率、统计与统计案例
一、概率
1．事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；
⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；
⑷交（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；
⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；
﹙6﹚对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。
2．概率公式：
⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
⑶几何概型： ；
二、统计与统计案例
1．抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2．总体特征数的估计：
⑴样本平均数；
⑵样本方差 ；
⑶样本标准差= ；
3．线性回归方程：,（*） ,
相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；
⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十一部分 推理与证明
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二．证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法（仅限理科）
一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当取第一个值是命题成立；
⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；
②的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。
第十二部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。
③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r=0 否 求n除以i的余数
输入n 是
n不是质素 n是质数 i=i+1
i=2
in或r=0 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体1
END IF ELSE
语句体2
END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
3．算法案例：
⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；
⑵秦九韶算法------求多项式的值；
⑶进位制----------各进制数之间的互化
A
b
a
C
h
其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a②a=h时，一解（直角）；③h⑵A为直角或钝角时：①a b时，无解；②a>b时，一解（锐角）。
图（2）
图（1）
图（2）
图（1）
图（1）
图（2）
图（3）
图（2） 图（3）
图（1） 图（2）
图（3） 图（4）
图（5） 图（6）
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