第8章 幂的运算单元测试题提升卷（含解析）

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2023-2024学年数学七年级幂的运算（苏科版）
单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）已知，那么的大小关系（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列计算：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（本题3分）下列各题的计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（本题3分）下列说法：①如果，则；②；③若，，则；④若，则；⑤若关于x的方程只有一个解，则m的值为3．其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（本题3分）下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②有理数a、b、c满足，且，则化简的值为5；
③若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是；
④若是关于x的一元一次方程，则；
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知，，，则的值为 ．
12．（本题3分）若，，则 ．
13．（本题3分）计算： ．
14．（本题3分）若，，用含x的代数式表示y为 ．
15．（本题3分）已知，，且，则的值是 ．
16．（本题3分）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为 ．
17．（本题3分）人体的一根毛发的直径约为0.000051米，那么这个数学用科学记数法该表示为 ．
18．（本题3分）若am=20，bn=20，ab=20，则= ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算：
(1) (2)
20．（本题8分）计算：
(1)； (2)．
21．（本题10分）已知，，求：
(1)的值；
(2)的值．
22．（本题10分）（1）已知：，，，求；
（2）在（1）的条件下，试说明：；
（3）若，求a，b，c之间的关系．
23．（本题10分）（1）已知：，，计算的值．
（2）已知：，求的值．
24．（本题10分）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题：
(1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ；
(2)求的末尾数字；
(3)求证：能被5整除．
25．（本题10分）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
参考答案：
1．C
【分析】
本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：，
．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法及幂的乘方，利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．
【详解】解：
，
解得：，
故选：A．
3．B
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方．根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂．利用零指数幂和负整数指数幂分别计算后，即可比较大小．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法与幂的乘方，需注意它们之间的区别：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，求解即可．
【详解】解： ，故①正确；
，故②正确；
，故③不正确；
，故④错误；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法和积的乘方，解题的关键是根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法和积的乘方依次对各选项逐一分析判断即可．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：B．
7．A
【分析】
本题考查整式幂的混合运算及代数式求值，根据题意得，，进而得到，由同底数幂的运算法则及积的乘方逆运算法则推出，即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．
【详解】解：由题意知，是100的倍数
∵与100互质
∴是100的倍数
∴的末尾数字是01
∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，
设：（t为正整数）
则：
∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01
∴t的最小值为5，
∴的最小值为10
故答案为：B
【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．
9．D
【分析】根据幂的运算法则判断①是否正确，根据分数的定义判断②是否正确，根据绝对值的性质判断③和④是否正确，根据解绝对值方程判断⑤是否正确．
【详解】解：∵，
∴，故①错误；
，故②正确；
∵，
∴是非正数，
∵，
∴是非负数，
∴，则，
∴，故③正确；
∵，
∴a和b异号，
∴，故④正确；
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，解得，那么方程的解是或，不成立，
若，解得，那么方程的解是，成立，故⑤正确，
正确的命题有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查分数的定义，绝对值的性质，幂的运算法则，解绝对值方程，解题的关键是熟练掌握这些知识点．
10．D
【分析】由相反数的定义判断①；由，且，可得与互为相反数，可得： 从而可判断②；由是关于x的一元一次方程，分三种情况讨论，或（）或，从而可判断③；由是关于x的一元一次方程，可得： 从而可判断④．
【详解】解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；
由，且，
所以：
＜ ＜ ＜
故②错误；
是关于x的一元一次方程，
或（）或，
或或
或
当时，原方程为：
当时，原方程化为：
，不合题意舍去，
当时，原方程化为：
综上：方程的解为：或 故③错误；
是关于x的一元一次方程，
，
故④正确；
故选：
【点睛】本题考查的是相反数的定义，绝对值的化简，一元一次方程的定义，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．
11．
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法以及同底数幂的除法法则可得，计算即可．
【详解】
解：∵ ，，，
．
故答案为：．
12．9
【分析】
本题考查同底数幂的除法，掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是正确计算的前提．利用同底数幂的除法的计算方法进行计算即可．
【详解】
解：因为若，，
所以，
故答案为：9．
13．
【分析】根据同底数幂的除法计算即可，本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
14．
【分析】
本题考查幂的乘方及其逆用．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
将变形成，再把代入即可．
【详解】解：∵
∴，
即．
故答案为：．
15．1
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法及其逆用、幂的乘方；由，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：1．
16．
【分析】
本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键．
【详解】解：设，
则由题意可得，
即
故答案为：．
17．
【分析】
本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
18．1
【分析】先根据可得，再结合可得，由此结合可得，由此可得，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】
本题考查了同底数幂的乘法运算；
（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；
（2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
20．(1)；
(2)．
【分析】
本题考查了零指数幂和负整数幂的意义，熟练掌握非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数、非零数的零次幂等于1是解答本题的关键．
（1）先根据零指数幂，负整数幂的意义，乘方的意义计算，再算加减；
（2）先根据零指数幂，负整数幂的意义，乘方的意义计算，再算乘法，后算加减
【详解】（1）原式
（2）原式
21．(1)15
(2)675
【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则的运用．
（1）先将变形成，再代入求值即可；
（2）将 变形为， 再代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）∵，，
∴．
22．（1）1000；（2）见解析；（3）
【分析】
本题解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则和除法法则，幂的乘方法则及公式的逆运用．
（1）根据同底数幂乘法的逆运用求解即可；
（2）把两边平方，把与的两边分别相乘，即可得到结论；
（3）根同底数幂乘法的逆运用得，即可求解．
【详解】解：（1）∵，，，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴；
（3）∵，
即：，
∴，
∴，
即：．
23．（1）；（2）
【分析】
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
故．
（2）解：，
∵，
∴．
24．(1)3，6；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证．
【详解】（1）解：，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，…
的末尾数字是4，的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解：，
∵的末尾数字是6，
∴的末尾数字是4；
（3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，…
的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1；
的末尾数字9，
∴的末尾数字是5，
∴能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
25．（1）221 2；（2）2-；（3）；（4）+
【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，② ①即可得结果；
（2）设s＝①，s＝②，② ①即可得结果；
（3）设s＝①，-2s＝②，② ①即可得结果；
（4）设s＝①，as＝②，② ①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解．
【详解】解：根据阅读材料可知：
（1）设s＝①，
2s＝22＋23＋…＋220＋221②，
② ①得，2s s＝s＝221 2；
故答案为：221 2；
（2）设s＝①，
s＝②，
② ①得，s s＝-s＝-1，
∴s＝2-，
故答案为：2-；
（3）设s＝①
-2s＝②
② ①得，-2s s＝-3s＝+2
∴s＝；
（4）设s＝①，
as＝②，
②-①得：as-s=-a-，
设m=-a-③，
am=-④，
④-③得：am-m=a-，
∴m=，
∴as-s=+，
∴s=+．
【点睛】本题考查了规律型 实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算．
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