二次函数复习
一、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
二、抛物线与轴的交点为(0, ).
三、抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
四、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当时开口向上当时开口向下 （轴） （0,0）
（轴） (0, )
(,0)
(,)
()
经典题型一：
1．二次函数y=x2的图象向左平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）.
A． Ｂ． C． D．
2．如果函数的图象与双曲线相交，则当 时，该交点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ．
4．直线交x轴、y轴于点A、B，O为坐标原点，则=
5. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=
的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是_________米。
6.如图，直线轴交于点A，与直线 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 交于点B，且直线与轴交于点C，则的面积为
7. 方程的解是
A． B． C．或 D．
8. 如图，在直角梯形中，∥，，，
AD＝2cm，动点P、Q同时从点出发，点沿BA、AD、DC运动到
点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，
而当点到达点时，点正好到达点．设P点运动的时间为，
的面积为．下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是
A． B． C． D．
9．如图，正方形 HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 的边长为2，反比例函数 HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 过点 HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ，则 HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT 的值是（ ）
A． HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT B． HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT C． HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT D． HYPERLINK "http://www./2008/bigBBpic.asp ID=186&radio=桐乡宝宝" EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT
10．二次函数的部分对应值如下表：
… …
… …
二次函数图象的对称轴为 ，对应的函数值 ．
11．如图，直线经过A （－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组的解集为 ．
12．若点(2，)在轴上，则 点( ，)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图像如图所示，抛物线的对称轴
为直线x=-1,是抛物线 上的点，是直线上的点,
且, 则的大小关系为 ( )
A． B． C． D．
14．已知抛物线与它的对称轴相交于点，与轴交于，与轴正半轴交于。
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设直线交于，是直线上一动点，当的面积等于时，求点的坐标。
经典题型二：
1、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点.
（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；
（2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.
2、已知正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．
3、人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野（度）是车速（km/h）的反比例函数，求之间的关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数．
4、若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．·
5、如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD．
（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．
6、如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A（1，4）、B（a,-1）两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值不大于一次函数的值.
7、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
（1）求该抛物线对应的二次函数解析式
（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。
8、如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC
于点F．
（1）求证： ADE∽BEF；
（2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值 并求出这个最大值．
9、二次函数的图象经过点，，．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
10、已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；
（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.
11、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．
12、已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．
13、已知一次函数的图像经过点A（-2，3），并与x轴相交于点B，二次函数的图像经过点A和点B．
（1）分别求这两个函数的解析式；
（2）如果将二次函数的图像沿y轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．
14．如图，O是坐标原点，直线OA与双曲线在第一象限内交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若OB=4，tan∠AOB=．
⑴求双曲线的解析式；
⑵直线AC与y轴交于点C（0，1），与x轴交于点D，求△AOD的面积．
15、已知：矩形ABCD宽AB＝8cm，长BC＝12cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点，若P自A点出发以1cm/s的速度沿AB方向运动时，同时点Q自B点出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，运动时间为x（s）.
（1）若PQ2的值为y（cm2）, 试写出y与x之间的函数关系式，并求经过几秒，PQ的长最短.
（2）经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BCD相似？
16、如图，反比例函数的图象经过A、B两点，根据图中信息解答下列问题：
（1）写出A点的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点A绕坐标原点O旋转90°后得到点C，
请写出点C的坐标；
并求出直线BC的解析式．
17、如图７，是反比例函数y＝的图象，且k是一元二次方程的一个根．
（１）求方程的两个根；
（２）确定k的值；
（３）若m为非负实数，对于函数y＝，
当x１＝m＋１及x２＝m＋２时，说明y１与y２的大小关系．
18．二次函数的图象如图所示，过y轴上一点M(0，2)的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D．
(1)当点A的横坐标为－2时，求点B的坐标；
(2)在(1)的情况下，以AB为直径的圆与x轴是否有交点，若有，求出交点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点A在抛物线上运动时(点A与点O不重合)，求AC·BD的值．
-1
y
O
x
y
O
x
A
B
C
3
1
－1
O
x
y
O
1
y
x
Q
P
B
C
D
A
图7二次函数复习 答案
经典题型一 答案
1A 2C 3.、 4、 4 5.、 4 米 6、 4 7D 8B 9D
10、， 11． 12B 13D
14．（1）由题可知抛物线对称轴为 即 ，
把代入 得：，
（2）设点，设，把，分别代入上式
得： ， 当时，，则
，即点或
经典题型二 答案
1、解: （1）A(-6,-2), B(4,3) (2)两函数过A、B两点
∴ -2=-6k+b -2=m/(-6)
3=4k+b 3=m/4 解得:k=0.5,b=1,m=12 ∴y＝0.5x＋１，y＝
（2）－６4
2、解：（1）由题意，得，解得．
所以正比例函数的表达式为，反比例函数的表达式为．
解，得．由，得．
所以两函数图象交点的坐标为（2，2），．
（2）因为反比例函数的图象分布在第一、三象限内，且在每个象限内， 的值随值的增大而减小， 所以当时，； 当时，．
当时，因为，，所以．
3、解：设之间的关系式为． 时，．
解得：． 所以，． 当时，（度）．
答：当车速为100km/h时视野为40度．
4、解： (1) ∵反比例函数y=的图象经过点(1，1)， ∴1=
解得k=2， ∴反比例函数的解析式为y=．
(2) 解方程组得 ∵点A在第三象限，且同时在两个函数图象上，
∴A(，–2)．
(3) P1(，–2)，P2(，–2)，P3(，2)．
5、解:（1）∵是⊙O的直径，CD是⊙O的切线
∴∠PAC＝∠OCD＝90°，又显然△DOA≌△DOC ∴∠DOA＝∠DOC
∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∴∠APC＝∠COD
（2）由，得 ，
（3）若是一个等边三角形，则 于是，可得， 故，当时，是一个等边三角形
6、（1），；（2）或
7、解：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，
由图知： ，解得，∴ ．
（2）当时，利润最大，最大值为（万元）．
（3）当 ， ，解得：或（舍）．故从第15个月起，公司将出现亏损．
8、证明： （1）因为ABCD是正方形，所以 ∠DAE=∠FBE=，
所以∠ADE+∠DEA=，又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=，所以∠ADE=∠FEB，
所以ADE∽BEF．
（2）解：由（1） ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得，得
==，
所以当=2时， 有最大值， 的最大值为1．
9、解：（1）设， 把点，代入得
解方程组得 ．
（2）． 函数的顶点坐标为．（3）5
10、解：（ 1）由已知得：解得 c=3,b=2
∴抛物线的线的解析式为
(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,
A,E关于x=1对称，所以E(3,0)。 设对称轴与x轴的交点为F
所以四边形ABDE的面积=
=
=
=9
（3）相似。
如图，BD= BE=
DE= 所以,
即： ,所以是直角三角形 所以,
且, 所以 。
11、解：（1）设二次函数解析式为，
二次函数图象过点，，得．
二次函数解析式为，即．
（2）令，得，解方程，得，．
二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为
12、解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，
又点在它的图象上，可得，解得． 所求为．
（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则． 得．
方程的判别式：，该方程无解． 所以原结论成立．
13、解：（1）∵一次函数的图像经过点A，
∴，得．∴所求一次函数的解析式为 ．
∴点B的坐标为（4，0）．∵二次函数的图像经过点A和点，
∴∴ ∴所求二次函数的解析式为 ．
（2）设平移后的二次函数解析式为．
∴对称轴是直线，． ∴在一次函数的图像上．
∴． ∴． ∴二次函数的图像向上平移了个单位．
14．解：⑴∵AB⊥x轴于点B ∴在Rt△AOB中，tan∠AOB=
∴AB=OB·tan∠AOB=2 即点A为（4，2）
设双曲线的解析式为 ∴ ∴双曲线的解析式为
⑵设直线AC的解析式为 由点A、C有： 解得
∴直线AC为， 令， 得 解得
∴点D为（－4，0） 即OD=4 ∴
15、（1）∵PB＝AB－AP＝8－x，BQ＝2x，
∴y＝PQ2＝PB2＋BQ2＝＝5x2－16x＋64＝5(x－)2＋51.2，
当x＝时，y有最小值，此时PQ最短．
（2）若△PBQ∽△BCD，则，即，解得x＝2．
若△QBP∽△BCD，则，即，解得x＝．
因此，经过2s或s，以P、B、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
16．解：（1）（2，2）
（2）把x= 4，y=2代入中，得： k=4 ∴反比例函数的解析式为
（3）点A绕O点顺时针旋转90°后，会得到点，此时点C的坐标为（-2，2）
点A绕O点逆时针旋转90°后，会得到点，此时点C的坐标为（2，-2）
把x= —4代入中，得： y=-1 ∴B点的坐标为（-4，-1）
设直线B的解析式为y=kx+b,把x= —4，y=—1 和x= —2，y=2分别代入上式，
得： 解得： ∴直线B的解析式为y=x+5
设直线B的解析式为y=mx+n 把x= —4，y=—1和x= 2，y=—2分别
代入上式，得： 解得： ∴直线B的解析式为
17、解：（１） （x－２）（x＋３）＝０，
x－２＝０或x＋３＝０， x１＝２，x２＝－３．
（２）∵图象在第二、第四象限，根据反比例函数图象的性质，知k＜０，∴k＝－３；
（３）∵m≥０，∴０＜m＋１＜m＋２， 即０＜x１＜x２，
又∵k＝－３＜０，∴在x＞０时，函数y随自变量x的增大而增大， ∴y１＜y２．
18、解：(1)设点坐标为，其中。∵点的横坐标为-2，。
∵AC⊥y轴, BD⊥y轴, M (0, 2). ∴AC∥BD, , .
,
(2)过A,B作x轴的垂线AE,BF，垂足分别为E,F，设存在点P(a,0)，使得∠APB=90°.
∴△AEP～△PFB, .
∴存在或
（3）由题意，设， 不妨设m<0 ,n>0.
, ∴(mn+16)(m-n)=0, ∵m-n≠0, ∴mn=-16, ∴AC·BD=16.
P
B
Q
C
D
A
