2.1 圆

§2.1圆
【知识点总结】
圆的定义
在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的图形叫做圆，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O位圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”0圆可以看成是定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形。21世纪教育网版权所有
例1：下列说法：①经过点P的圆又无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为2cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，2cm长为半径的圆又无数个，其中错误的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【出处：21教育名师】
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则
点P在圆内d＜r
点P在圆上d=r
点P在圆外d＞r
例2：在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，则下列说法中，不正确的是（ ）【版权所有：21教育】
当a＜5时，点B在⊙A内 B.当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C.当a＜1时，点B在⊙A外 D.当a＞5时，点B在⊙A外
圆中的相关概念
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
顶点在圆心的角叫做圆心角
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
例3：下列说法中不正确的是：
①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②优弧大于劣弧，半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆.
【典例展示】
题型一 性质的简单应用
例1：如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（　　）21·cn·jy·com
A．a＞b＞c B．a=b=c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
题型二 简单的证明题
例2：如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD
试说明A、E、C、F四点共圆
设线段BD与（1）中的圆相交于点M、N，说明BM=ND
题型三 分类讨论题
例3：某点到圆周上的最长距离为8cm，最短距离为6cm。求圆的半径
题型四 探索性试题
例4：如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm
若以点A位圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何?
若以点A位圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？21cnjy.com
题型五 计算题
例5：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数.【来源：21·世纪·教育·网】
题型六 生活中的应用
例6：某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔A周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？
题型七 运动变化题
例7：如图，AB是⊙O的直径，它把⊙O分成上下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当C点在上半圆（不包括A、B两点）上运动时，试探求点P的位置.www-2-1-cnjy-com
【误区警示】
误点1 审题不清，画错图形
例1：设AB=2cm，画图说明：点A、B的距离都小于1.5cm的点的集合
误点2 忽视分类讨论，产生漏洞
例2：如图，已知半径为5的⊙O，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）www.21-cn-jy.com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.1 圆
复习巩固
1．下列命题中正确的是(　　)
A．直径不是弦； B．半圆是直径和直径所对的弧组成的图形；
C．圆中最长的弦是直径； D．一条弦所对的两条弧，不是优弧就是劣弧。
2．下列说法中错误的有(　　)
①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个．2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中弦的条数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列说法中正确的有(　　)
①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上；
③正方形的四个顶点在同一个圆上；④平行四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，则下面各点在O上的是(　　)
A．(1,1) B．(－1，) C．(－2，－1) D．(，－2)
6．在一圆中最长的弦是10cm，则该圆的半径是________cm
7．图中________是⊙O的直径，弦有________，劣弧有________，优弧有________
（第3题）（第7题）（第9题）
8．有两个同心圆的半径分别为5cm和3cm，则圆环部分的宽度为______cm
9．如图，半圆O的直径AB＝__________。
10．如图，已知在⊙O中，AC，BD为直径，求证：AD∥BC
能力提升
11．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=(　　)
A．70° B．60° C．50° D．40°
12．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧→BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是(　　)

13．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为__________．21教育网
（第11题）（第13题）
14．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B=∠C求证：CE=BF。2-1-c-n-j-y
15．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交O于点B，且EB=OC，求∠A的度数。
16．★★★如果把人的头顶和脚底分别看作一个点，把地球赤道看作一个圆，那么身高2 m的小赵沿着赤道环行一周，他的头顶比脚底多行多少米？21·世纪*教育网
参考答案
复习巩固
1．C　2．A　3．B
4．B　因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，故矩形的四个顶点在以矩形对角线的交点为圆心、对角线的一半长为半径的圆上；
同理，正方形的四个顶点在同一个圆上．
由于平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，所以平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上；
同理，菱形的四个顶点不一定在同一个圆上．
5．B　要使点在⊙O上，只需满足该点到坐标原点的距离等于2即可．根据勾股定理可知，只有点(－1，)到原点的距离等于2.　　21*cnjy*com
6．5
7．AC　AB，BC，AC　，　，
8．2　由题意可知，圆环部分的宽度为5－3＝2(cm)．
9．　由勾股定理知，半圆的半径为.因此该半圆的直径是.
10．证明：∵AC，BD为直径，∴OA＝OB＝OC＝OD.∴四边形ABCD是矩形．
∴AD∥BC.
能力提升
11．D　∵∠BOC＝110°，∴∠AOC＝180°－110°＝70°
∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，∴∠A＝∠D＝70°.
∴∠AOD＝180°－2×70°＝40°.
12．C　当点P从点O向点A运动时，OP逐渐增大；当点P从点A向点B运动时，OP不变；当点P从点B向点O运动时，OP逐渐减小．故能大致地刻画s与t之间关系的是选项C中图象．【来源：21cnj*y.co*m】