2.5 直线与圆的位置关系（2课时）

§2.5直线与圆的位置关系
【知识点总结】
直线与圆的位置关系
直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交
直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离
例1：下列命题中，正确的是（ ）
直线与圆不相交就是相离
如果一条直线与圆有公共点，那么这条直线与圆必须有公共点
如果一条直线是圆的切线，那么这条直线与圆必有公共点
直线与圆相切时，“唯一公共点”是指有一个公共点
直线与圆的位置之间的数量关系的确定
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么：
方法一：根据公共点的个数确定
方法二：（1）直线与⊙O相交 d＜r
直线与⊙O相切 d=r
（3）直线与⊙O相离 d＞r
例2：已知⊙O的半径为r，在直线上有一点P，OP=r，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
切线的判定
圆的切线垂直于经过切点的半径
例3：如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，B是优弧CDA上一点， 若∠ABC=32°，则∠P的度数为 21世纪教育网版权所有
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线.
例4：如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC.
求证：直线AC是⊙O的切线
例5：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切与点D
求证：AC与⊙O相切
五、三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形三边距离相等.
例6：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DEF的度数是（ ）21教育网
A.55° B.60° C.65° D.70°
切线长定理
经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间线段的长，称为这点到这个圆的切线长.
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角
切线长定理体现了圆的轴对称性
例7：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= 21·cn·jy·com
【典例展示】
题型一 网格型试题
例1：已知⊙O1经过A（-4,2）、B（-3,3）、C（0,2）、O（0,0）四点，一次函数y=-x-2的图像是直线，直线与y轴交于点D.2·1·c·n·j·y
（1）在右边的平面直角坐标系中画出⊙O1，直线l与⊙O1的交点坐标为 ；（2）若⊙O1上存在整点P（横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得△APD为等腰三角形，所有满足条件的点P坐标为 ；（3）将⊙O1沿x轴向右平移 个单位时，⊙O1与y相切；（4）将⊙O1沿x轴向右平移 个单位时，⊙O1与相切．21·世纪*教育网
题型二 几何计算题
例2：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC且⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D的度数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A.20° B.30° C.40° D.50°
题型三 几何说理题
例3：如图，AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC于点D，且交⊙O于点E.
（1）求证：∠OPB=∠AEC
（2）若C为半圆弧ABC的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．
题型四 作图题
例4：如图，要在一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，，使它的圆心在线段AC上，且与AB、BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．2-1-c-n-j-y
题型五 探索条件题
例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD为斜边AB上的高.以点C为圆心作圆，圆的半径为r.　　21*cnjy*com
（1）当r取何值时，⊙C与直线AB相离
（2）当r取何值时，⊙C与直线AB只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？
（3）若r=1，⊙C随着其圆心从点C沿直线CA方向移动，设移动后的圆心为P.则当点C移动的距离为距离为多少时，⊙P与直线AB相切？【来源：21cnj*y.co*m】
题型六 探索谈论题
例6：如图1，线段PB过圆心O。交⊙O于点A、B两点，PC切⊙O于点点C，过点A作AD⊥PC，垂足为D，连接AC、BC.【版权所有：21教育】
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，AD⊥PE，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图2中，证明：AD?AB=AC?AE．
题型七 学科内综合题
例7：如图①、②，⊙O在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4,0），以点A位圆心，4为半径的圆与x轴交于O、B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP.
（1）求∠OAC的度数；
（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？21教育名师原创作品
题型八 阅读理解题
例8：阅读材料：如图①，△ABC的周长为，内切圆O的半径为r，连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积.
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径；
（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（二））且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
【误区警示】
误点1 考虑问题不周全，导致漏解
例1：已知⊙O的直径为6，P为直线上一点，OP=3，那么直线与⊙O的位置关系为
误点2 误用切线的判定方法
例2：如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心，PD为半径的圆相切吗？为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
误点3 对切线长性质的理解不透彻而致错
例3：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长为12，则PA的长为（ ）
A.12
B.6
C.8
D.无法确定
2.5 直线与圆的位置关系（一）
复习巩固
1．已知⊙O的半径为R，直线l和O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是(　　)【出处：21教育名师】
A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R
2．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则AB和C的位置关系是(　　)21cnjy.com
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
5．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是__________．
6．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm，以点B为圆心，5cm为半径作B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系是__________．21*cnjy*com
7．如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，－3)，当该圆向上平移__________个单位时，它与x轴相切．
（第4题）（第7题）
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，⊙C是以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB和⊙C：
(1)相交；(2)相切；(3)相离，求半径r的取值范围．
9．如图，∠AOB=60°，M为OB上一点，OM=5，若以M为圆心，2.5为半径画M，请通过计算说明OA不和M相切．
能力提升
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=－x+和⊙O的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．以上三种情形都有可能
11．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有______个点到直线AB的距离为3.
12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AO=x，⊙O的半径为1，问：当x在什么范围内取值时，AC所在的直线和⊙O相离、相切、相交？
13．等边△ABC的面积为cm2，以A为圆心的圆和BC所在的直线l：
(1)没有公共点；
(2)有唯一的公共点；
(3)有两个公共点．
求这三种情况下⊙A的半径r的取值范围．
参考答案
复习巩固
1．D　2．C；3．D　本题知道⊙O的半径为3cm，并知道点P是直线l上一点，OP长为5cm，并没有告诉圆心到直线l的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l的距离的大小，所以可知直线l与圆的位置关系三种情况都有可能．故选D.
4．B　过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝4cm，∴CD＝BC＝2cm.www.21-cn-jy.com
∴d＝R.∴C与AB相切．故选B.
（第4题）（第9题）
5．5
6．相切　因为52＋122＝132，所以△ABC是直角三角形，∠C＝90°，圆心B到AC的距离即BC的长为5cm，又因为⊙O的半径为5cm，所以边AC所在的直线和⊙B相切．
7．1或5
8．解：过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，
∴AC＝(cm)．又S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴AB·CD＝AC·BC.
∴(cm)．
∴，即M不和OA相切．
能力提升
10．C　直线y＝－x＋与x轴的交点A的坐标为(，0)，与y轴的交点B的坐标为(0，)，则AB＝2，△ABO的面积为1.由面积法得点O到直线y＝－x＋的距离为1.因此d＝r，故相切．
11．3　如图所示，过点O作OC⊥AB，与O交于点C.易知CF＝OC－OF＝5－2＝3.
延长FO到点G，使OG＝1，过G作DE⊥OG，交O于点D，E，则点C，D，E到直线AB的距离为3.
（第11题）（第12题）
12．解：作OD⊥AC于点D，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°.
∴OD＝AO＝x.
(1)当x＞1，即x＞2时，AC和O相离；
(2)当x＝1，即x＝2时，AC和⊙O相切；
(3)当0≤x＜1，即0≤x＜2时，AC和⊙O相交．
13．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，得BD＝BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得
.由三角形面积公式，得
BC·AD＝BC·BC＝cm2，
解得BC＝(cm)．于是AD＝BC＝3(cm)．
(1)当⊙A和直线l没有公共点时，r＜AD，即0＜r＜3cm(图①)；
(2)当⊙A和直线l有唯一的公共点时，r＝AD，即r＝3cm(图②)；
(3)当⊙A和直线l有两个公共点时，r＞AD，即r＞3cm(图③)．
2.5 直线与圆的位置关系（二）
复习巩固
1．下列说法中正确的是(　　)
A．内心一定在三角形内部，外心一定在三角形外部
B．任何三角形只有一个内切圆，任何圆只有一个外切三角形
C．到三角形三边所在的直线距离相等的点只有一个
D．PA，PB分别切⊙O于A，B两点，则PA＝PB
2．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝(　　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB＝(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC的度数为(　　)
A．100° B．90° C．60° D．45°
（第2题）（第3题）（第4题）
5．如图，如果一正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(　　)
A．2 B．3 C． D．
6．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为__________．
7．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为__________cm.
（第5题）（第6题）（第7题）
8．如图，AB是⊙O的直径，∠A=30°，延长OB到D使BD=OB.
(1)△OCB是否是等边三角形？说明理由
(2)求证：DC是⊙O的切线．
能力提升
9．如图，AB是⊙O的直径，AC是O的切线，A为切点，连接BC交圆O于点D，连接AD，若∠ABC=45°，则下列结论正确的是(　　)
A．AD=BC B．AD＝AC C．AC＞AB D．AD＞DC
10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P的度数为__________．
（第9题）（第10题）
11．一直角三角形的斜边长为10cm，其内切圆的半径为2cm，求该直角三角形的周长．
12．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.
(1)求证：AT平分∠BAC；
(2)若AD＝2，TC＝，求⊙O的半径．
参考答案
复习巩固
1．D；2．A　连接OC，则∠DCO＝90°，∠DOC＝50°.故∠D＝40°；3．C　∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠AOB＝360°－∠P－∠PAO－∠PBO＝120°.
4．B　根据切线长定理，得∠ADO＝∠CDO，∠DCO＝∠BCO.
∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°.∴∠ODC＋∠OCD＝90°.∴∠DOC＝90°.
5．D；6．4；7．8　连接OB，OC.，∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB.
又由垂径定理可知，AC＝BC.。在Rt△OCB中，∵OC＝3cm，OB＝5cm，
∴BC＝＝4cm.∴AB＝2BC＝8cm.
8．(1)解：△OCB是等边三角形．理由如下：
∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°.∴∠COB＝∠A＋∠OCA＝60°.
又OC＝OB，∴△OCB是等边三角形．
(2)证明：由(1)知，BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝60°.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD.，∴∠BCD＝∠BDC＝∠OBC＝30°.
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝90°.故DC是O的切线．
能力提升
11．解：如图，设该直角三角形为△ABC，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G.
连接OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AC，且OE＝OF.
又∵∠C＝90°，∴四边形OECF为正方形．
∴CE＝CF＝2cm.
∵AG＝AF，BE＝BG，
∴AF＋BE＝AG＋BG＝AB＝10cm.
∴Rt△ABC的周长为10＋10＋2＋2＝24(cm)．
故所求直角三角形的周长为24cm.
12．(1)证明：如图，连接OT，
∵PQ切⊙O于点T，∴OT⊥PQ.又∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∠TAC＝∠ATO.
又∵OT＝OA，∴∠ATO＝∠OAT，∠OAT＝∠TAC，即AT平分∠BAC.
(2)解：过点O作OM⊥AC于点M，则AM＝MD＝＝1.
∵∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°，∴四边形OTCM为矩形，OM＝TC＝.
在Rt△AOM中，，即⊙O的半径为2.