人教版八年级数学下册 18.2特殊的平行四边形 同步练习题 （含解析）

人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，该三角形的面积等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，已知某菱形花坛的周长是24m，，则花坛对角线的长是（ ）
A．3m B．6m C． D．
3．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为正方形内一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将长方形纸片折叠，使边落在线段上，折痕为，且D点落在A，C所连线段上处．若，，则的长为（ ）
A．3 B．1 C． D．
6．如图，菱形的周长为32，，，，垂足为别为E、F，连接，则的面积是（ ）
A．8 B． C． D．
7．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，现有边长为4的正方形纸片，点P为边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸片沿折叠，使点B落在P处，点C落在G处，交于H，连接，则下列结论正确的有（　　）
①；②当P为中点时，三边之比为；③；④周长等于8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，若，，则 ．

10．如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标为 ．
12．如图，在矩形中，，的垂直平分线交的延长线于点E，连接交于点H，若H是的中点，则的长为 ．
13．如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接，若，则的度数为 ．

14．如图，正方形中，M为对角线上的一动点，连接并延长交于点P，若，则的度数为 °．
15．如图，在矩形中，，点E在边上，点F在边上，且，连接，，则的最小值为 ．
16．如图，分别是正方形的边与的中点，与交于点，下列结论： ； ； ； ．其中结论正确的有 ．
三、解答题
17．已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
18．如图,在中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）．
(1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
(2)添加条件后,请证明四边形是矩形．
19．已知：如图，正方形，连接，E是延长线上一点，，连接交于点F．
(1)求的度数；
(2)若，求点F到的距离．
20．如图，，分别是的两条高，点是的中点．于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，，则______．
21．如图，在菱形中，对角线，交延长线于E，交延长线于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求线段的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括），作，垂足为，且，过点作射线．
(1)请直接写出C点的坐标；
(2)在M点的运动过程中，试证明的度数为定值；
(3)连接交于，连接，下列两个结论：①的长度不变；②平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．
23．已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．
(1)求证：；
(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了“斜中半定理”以及勾股定理、完全平方公式等知识点，根据“斜中半定理”得，结合三角形周长得，根据勾股定理得，利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵斜边上的中线长为1，
∴，
∵直角三角形的周长为，
∴，
∵，，
∴，
∴该三角形的面积等于，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长为，
∴，，
∵，
∴，
设交于点，
∴在中，，，
∴，
∴，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意得到，易得为等边三角形，即，进而得到，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解： 是正方形，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查矩形折叠问题，根据折叠得到，，根据勾股定理求出，最后利用等积法列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵长方形纸片折叠，使边落在线段上，折痕为，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
根据可得，
，
解得：，
故选：D．
6．C
【分析】先利用菱形的性质得到，，，则可判断和都为等边三角形，则根据等边三角形的性质得，，，，所以，根据含30度的直角三角形三边的关系可得，，于是可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解．
【详解】解：菱形的周长为32，
，
，
，，
和都为等边三角形，
，，
，，，，
，，，
∴为等边三角形，
的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积解决此题的关键是判断、和为等边三角形．
7．D
【分析】本题主要考查轴对称最短路径，勾股定理的综合，理解图示，作出对称点，运用勾股定理是解题的关键．
作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，，O，E在同一条线上的时，最小，此时：，再结合正方形的性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，
∴，，O，E在同一条线上的时，最小，
此时：，
∵正方形，点O为对角线的交点，
∴，
∴，
∵A与关于对称，
∴，
∴，
在中，
，
故选：D．
8．D
【分析】过点F作于点M，易得，由折叠可知，于是利用同角的余角相等可得，以此可通过证明，即可判断①；由折叠可知，设，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角相等即可判断③；过点B作于点N，易通过证明，得到，以此再通过证明，得到，则，即可判断④．
【详解】解：如图，过点F作于点M，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴四边形为矩形，
∴
由折叠可知，
∴
∵
∴，即
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
由折叠可知，，
设，则，
∵P为中点，
∴，
在中，，
∴，
解得：
∴，
∴
即三边之比为，故②正确；
由折叠可知，，
∴
∵
∴，故③正确；
如图，过点B作于点N，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键．
9．//
【分析】本题考查菱形的性质及勾股定理，由菱形中，，，可求得的长，由面积法可求的长；
【详解】解：∵由菱形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，根据，，结合，即可判断四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等，于是可知当最小时，也最小，即当时，最小，最小，解题的关键求出的最小值是关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，最小，即当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作轴于，证明得到，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键．
【详解】解： ，，
，，
如图，作轴于，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点在第二象限，
，
故答案为：．
12．7
【分析】根据线段中点的定义可得，证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出，中垂线的性质，得到，进而得到的长，在中，利用勾股定理求出的值，再利用，即可得解．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵的垂直平分线交的延长线于点E，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
13．/80度
【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，由菱形的性质可得，，，由线段垂直平分线的性质可得，可求，进而求得的度数．掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
由菱形的性质可知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．60
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理．证明，推出，根据，推出，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵正方形中，M为对角线上的点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：60．
15．
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
如图，连接
四边形是矩形
，
∵
如图，作B点关于A点的对称点，连接
，
的最小值为
故答案为：．
【详解】详解片段
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质逐一判断即可，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意数形结合思想的应用．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵、分别是正方形的边与的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故正确；
∵、分别是正方形的边与的中点，
∴，
∵，
∴，故错误；
如图，延长，交于点，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故正确；
∴，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，
即与不一定相等，故错误，
故答案为: .
17．见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的利用菱形的判定方法进行证明是解本题的关键．
先证明四边形为平行四边形，再证明可得从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵是的一条角平分线，
∴
∴
∴四边形为菱形．
18．(1)①（或②）
(2)证明见解析
【分析】本题考查矩形的判定及平行四边形判定及性质．
（1）根据题意,先分析平行四边形的性质有哪些,思考平行四边形和矩形的区别,可知“对角线相等的平行四边形为矩形”继而解出本题;
（2）根据（1）所得结论证明出是矩形即可．
【详解】（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可．
（2）解:证明:若选①判定如下:
∵四边形是平行四边形,
∴,,,
∵,
∴在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴为平行四边形,
∵,
∴为矩形;
若选②判定如下:
解:∵四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴为平行四边形,
∵,
∴为矩形．
19．(1)
(2)2
【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质．
（1）根据正方形的性质，等边对等角以及三角形的外角进行求解即可；
（2）过点作，根据角平分线的性质得到，即可．
掌握正方形的性质，等边对等角，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
过点作，
∵，
∴．即：点F到的距离为2．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三线合一定理即可证明结论；
（2）根据（1）所求得到，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
，分别是的两条高，
．
是的中点，
，．
．
，
点是的中点．
（2）解；∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
在，由勾股定理得，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）本题主要考查特殊平行四边形的判定，根据是菱形可得边长平行，再根据已知判定为平行四边形，再根据垂直即可判定为矩形，解答本题的关键在于熟练掌握矩形的判定条件．
（2）本题主要考查了矩形的性质，根据矩形对角线平分且相等可求得，再运用勾股定理求出与，结合矩形的性质即可求出，解答本题的关键在于熟练掌握矩的性质．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，即，
∵又，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
又∵，
∴平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
又∵四边形为矩形，
，
又，
，
∴．
在中，
，
．
22．(1)；
(2)见解析
(3)②平分，正确，理由见解析
【分析】（1）根据坐标与图形性质求解即可；
（2）在上取，连接，证明即可证得结论；
（3）在延长线上取，同样证明和得到，（不为定值），利用等角的余角相等得到即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴；
（2）证明：如图，在上取，连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为定值；
（3）结论：平分成立．
证明：如图，在延长线上取，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和，，，，
∴，
∴，（不为定值）；
由（1）可知，
∴，
∴，
即平分．
【点睛】本题考查正方形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键，
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构造出全等三角形和以为对角线的正方形是解题的关键，也是本题的难点．
（1）根据正方形的性质可得，，由证明，得出结论即可；
（2）根据正方形的对角线互相垂直平分可得，，对角线平分一组对角可得，然后求出，由证明，即可得出；
（3）过点O作于M，作于N，根据全等三角形的性质可得：，再由证明，可得，然后证出四边形是正方形，求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求出即可．
【详解】（1）解： ∵四边形是正方形，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴；
（3）解：过点O作于M，作于N，如图所示，
则，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∵，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∴正方形的边长为：
．