直线线的参数方程
上课时间： 班级：
教学内容分析：
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识与技能: 了解直线参数方程的条件及参数的意义；
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义；
情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点：
重点：直线的参数方程的推导过程及其参数方程在解题中的应用；
难点：直线的参数方程的推导过程；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件有哪些？如果直线L过定点，
倾斜角为， ，当时，上面直线L的普通方程是
二、新课探究：
1、探究：经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的普通方程
是y-y0=tanα（x-x0），怎样建立直线l的参数方程呢？
学生活动：在教师的引导下，独立思考，探究，归纳总结出结论：
经过点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程是：
思考：参数方程中t的几何意义是什么？
2、例题赏析：
例1：已知直线与抛物线交于A，B两点，
求线段AB的长和点到A，B两点的距离之积
学生活动：在教师的引导下，独立思考完成，上黑板展示
探究：直线与曲线交于，两点，对应的参数分别为
学生活动：学生结合例1，思考、交流、总结归纳出如下结论
则：
（1）、曲线的弦的长为：
（2）、线段的中点对应的参数的值为：
例2：经过点作直线，交椭圆于A，B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线的方程
学生活动：在教师的引导下，独立思考完成，上黑板展示
（提示学生也可以使用“点差法”完成）
思考：
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？
学生活动：在教师的引导下，独立思考完成，上黑板展示
例3：当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭
学生活动：在教师的引导下，独立思考完成，上黑板展示
思考：
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？
如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？
例4：如图所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P。两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为，且，求证：
学生活动：在教师的引导下，独立思考完成，上黑板展示
探究：
如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？
三、课堂小结：
1、 直线的参数方程；
2、直线的参数方程中，参数的几何意义；
3、直线的参数方程的应用；
四、作业布置：P39 习题2.3: 1,2，3,4,
五、板书设计:
课后反思：
直线的参数方程
参数的几何意义
例1：
例2：
例3：
例4：平面直角坐标系中的伸缩变换
上课时间： 班级：
教学内容分析：
。
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法：体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点
重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换；
难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
在三角函数图象的学习中，我们研究过下面一些问题：
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x和y=sin？
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=2sinx和y=sinx？
作图：
二、新课探究：
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1.函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）。
2．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来的倍，得到P’（x’，y’）,那么 ①
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。
设P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的2倍，得到P’（x’，y’）,那么 ②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换
注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例题赏析：
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)
例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象
思考：
在伸缩变换下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？？？
（学生结合例1,2，交流讨论完成）
课堂练习：
1、已知（的图象可以看作把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则为（ ）
A． B .2 C.3 D.
2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线则曲线C的方程为（ ）
A． B.C． D.
3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1） （2）
巩固提高练习：
1、抛物线经过伸缩变换后得到
2、把圆变成椭圆的伸缩变换为
3、在同一坐标系中将直线变成直线的伸缩变换为
4、把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为
5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为，则曲线C的方程
三、课堂小结：
设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
四、作业布置：P8 习题1.1: 4,5,6
五、板书设计:
课后反思：
x
y
O
2
1
1
3
4
y=sinx
y=sinx
y=sin2x
2
4
x
y
O
2
1
2
2
1
1
2
-2
-1
2
y=2sinx
y=sinx
坐标伸缩变换的定义
例1：
例2：
课堂练习：
巩固提高练习：双曲线的参数方程
上课时间： 班级：
教学内容分析：
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识与技能:
(1)、双曲线、抛物线的参数方程；
(2)、双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系；
过程与方法：
(1)、了解双曲线、抛物线的参数方程，了解参数方程中系数的含义；
(2)、通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系，并能相互转化．提高综合运用能力；
情感态度价值观：使学生认识到事物的表现形式可能不止一种教学重点与难点：
重点：双曲线参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转；
难点：(1)双曲线参数方程的建立及应用；(2)双曲线的参数方程与普通方程的互化；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
焦点在上的椭圆的参数方程________________________________________
焦点在上的椭圆的参数方程_________________________________
二、新课探究：
（一）、双曲线的参数方程探究
1、探究：类似于探究椭圆的参数方程的方法，我们来探究双曲线的参数方程：
如图，以原点O为圆心，a,b（a>0,b>0)为半径分别作同心圆，，设A为上任意一点，作直线OA，过点A作圆的切线与x轴交于点，过圆与x轴的交点B作圆的切线与直线OA交于点，过点，分别做y轴，x轴的平行线，交于点M
设OX为始边，OA为终边的角为，点M的坐标为，那么，
学生活动：在教师的引导下，推导出如下双曲线的参数方程：
双曲线的参数方程：
（ 即）
通常规定参数的取值范围为，且
说明：
⑴ 这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同
⑵双曲线的参数方程可以由方程与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换
双曲线上任意一点的坐标可以设为
巩固练习：
2、例题赏析：
例2：设M为双曲线上任意一点，O为原点，
过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别于两渐近线交于点A，B
两点，探究平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
学生活动：学生在教师的引导下，独立思考完成，归纳总结结论，并上黑板展示
结论：平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关
（二）、抛物线的参数方程探究：
1、探究：对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？
如图，设抛物线的普通方程为，其中P表示焦点到准线的距离
设为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记为
学生活动：在教师的引导下，推导出如抛物线的参数方程：
（）
抛物线参数方程的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数
2、例题赏析：
例3：如图，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线（p>0)上异于顶点的两动点，且并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。
学生活动：学生在教师的引导下，独立思考完成，归纳总结结论，并上黑板展示
变式练习：在例3中，点A，B在什么位置时，的面积最小？最小值是多少？
学生活动：学生在教师的引导下，独立思考完成，归纳总结结论，并上黑板展示
三、课堂小结：
1、 椭圆的参数方程；
2、椭圆的参数方程中，参数的几何意义；
3、椭圆的参数方程的应用；
四、作业布置：P34 习题2.2: 3,4,5
五、板书设计:
课后反思：
双曲线的参数方程
参数的几何意义
抛物线参数方程
参数的几何意义
例2：
例3
变式练习椭圆的参数方程
上课时间： 班级：
教学内容分析：
相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容，从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接、过渡、承前启后的的作用
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识与技能:
(1)、椭圆的参数方程；
(2)、椭圆的参数方程与普通方程的关系；
过程与方法:
(1)、了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数的含义；
(2)、通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系，并能相互转化．提高综合运用能力；
情感态度价值观:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种教学重点与难点
重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转；
难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用；(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
问题1、回忆圆的参数方程，并指出其中参数的几何意义。
问题2、类比圆的参数方程，你能说出椭圆的参数方程吗？
练习1：把下列普通方程化为参数方程.
二、新课探究：
探究1：如图，以原点为圆心，（）为半径分别作两个同心圆.设为大圆上的任一点，连接，与小圆交于点. 过点、分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点，求点的轨迹.
首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。
其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？
②再问学生选择该参数的理由；
(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数)
③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。
则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。
即 (θ为参数)。
这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
正确理解椭圆离心角θ的几何意义
1、给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2、初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；
②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
(缓慢拖动点A，引导学生进行观察)
探究2：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块,, 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？（提示：可以用直尺和横槽所成的角为参数，求出点的轨迹的参数方程. ）
思考椭圆规的发现过程：源于探究1.
学生活动：结合探究1、探究2，总结归纳出椭圆的参数方程：
椭圆的参数方程：焦点在轴: 焦点在轴:
课堂练习：
1、把下列普通方程化为参数方程.
(1) (2)
2、把下列参数方程化为普通方程
(1) (2)
3、练习：已知椭圆的参数方程为 ( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为
______，短轴长为_______，焦点坐标是________，离心率是_-_______
例题赏析：
例1：在椭圆上求一点M，使M到直线x+2y-10=0的距离最小,并求出最小距离
学生活动：在教师的引导下独立思考完成，并上黑板展示
变式练习：
1、求椭圆上的点到直线l:x-y+4=0的距离的最小值和最大值
2、与简单的线性规划问题进行比较，你能在实数x，y满足的前提下，求出的最大值和最小值吗？
例2、已知椭圆 有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积
学生活动：，在教师的引导下独立思考完成，并上黑板展示
变式练习：已知椭圆
（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；
（2）若是椭圆上任一点，求的最值；
（3）设，，为椭圆位于第一象限的弧上的一点，求四边形面积的最大值；
（4）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小值
三、课堂小结：
1、 椭圆的参数方程；
2、椭圆的参数方程中，参数的几何意义；
3、椭圆的参数方程的应用；
四、作业布置：P34 习题2.2: 1,2
五、板书设计:
课后反思：
椭圆的参数方程
椭圆参数方程中参数的几何意义
例1：
变式练习
例2：
变式练习曲线的参数方程
上课时间： 班级：
教学内容分析：
。
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法：体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点
重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换；
难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机？
新课探究：
（一）、参数方程的概念
1、参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P的坐标和都可以表示为某个变量的函数：
反过来，对于的每个允许值，由函数式：
所确定的点都在曲线C上，那么方程
叫做曲线C的参数方程，变量是参变数，简称参数。
2、关于参数几点说明：
参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样。
在实际问题中要确定参数的取值范围。
3、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
4、参数方程求法：
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为；
（2）选取适当的参数；
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。
5、关于参数方程中参数的选取：
选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间做参数
与旋转的有关问题选取角做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等
6、典型例题：
例1：设炮弹发射角为，发射速度为，
（1）求子弹弹道典线的参数方程（不计空气阻力）；
（2）若，，当炮弹发出2秒时。
求炮弹高度 ；
求出炮弹的射程。
例2：已知曲线C的参数方程是（t为参数）
判断点M1（0，1）,M2(5,4)与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值
学生活动：学生独立思考，交流讨论，归纳总结
（二）、圆的参数方程：
设圆O的班级是r，点M从出发，按逆时针方向在圆O上做匀速运动，点M绕点O转动的角度为，以圆心O为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，显然，点M的位置由时刻t唯一确定，因此可取t为参数
学生活动：交流、总结归纳出如下结论：
考虑到，也可取为参数，
于是有 表示圆心在圆点，半径为r的圆的参数方程
思考：那么，圆心在点，半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
对应的普通方程为：
注意：由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围
例2：如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴
上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，
求点M的轨迹的参数方程
学生活动：学生独立思考完成，教师引导完成
（三）、参数方程和普通方程的互化
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
三角法：利用三角恒等式消去参数；
整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
化参数方程为普通方程为：在消参过程中注意变量、取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定和值域得、的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
（1）圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
（3）椭圆参数方程 （为参数）
（4）双曲线参数方程 （为参数）
（5）抛物线参数方程 （t为参数）
（6）过定点倾斜角为的直线的参数方程
（为参数）
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
学生活动：独立完成，并上黑板展示
变式练习：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
（1）（为参数）； （2）（为参数）；
例4：求椭圆的参数方程：
（1）、设，为参数； （2）、设，为参数
三、课堂小结：
四、作业布置：P26 习题2.1: 4,5
五、板书设计:
课后反思：
参数方程的概念
圆的参数方程
参数方程与普通方程的互化
例1：
例2：
例3：
例4：简单曲线的极坐标方程
上课时间： 班级：
教学内容分析：
。
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识目标：掌握极坐标方程的意义
能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程
情感态度目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点
重点：直线和圆的极坐标方程的求法；
难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
问题情境：
1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
新课探究：
（一）、圆的极坐标方程
1、探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)
满足的条件？
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论：
2、定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线上C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐标系，
可以使圆的极坐标方程简单？
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论：
（二）直线的极坐标方程
1、探究：如图，直线经过极点，从极轴到直线的角是，
求直线的极坐标方程
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论： 和
例2：求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论：
变式练习：设点P的极坐标为(a,0)(a>0)，直线 过点P且与极轴所成的角为,求直线的极坐标方程
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论：
2、求直线的极坐标方程步骤：
1）、根据题意画出草图；
2）、设点是直线上任意一点；
3）、连接MO；
4）、根据几何条件建立关于的方程，并化简；
5）、检验并确认所得的方程即为所求。
例3：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为,
求直线的极坐标方程
学生活动：思考，交流，总结归纳出结论：
3、课堂练习：P15 习题1.3: 1,2
三、课堂小结：
如何求圆和直线的极坐标方程？你有什么收获？
四、作业布置：P:15 习题1.3: 3,4,5,6
五、板书设计:
课后反思：
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程
例1：
例2：
例3：极坐标和直角坐标的互化
上课时间： 班级：
教学内容分析：
。
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
情感态度目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点
重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解；
难点：互化关系式的掌握；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
新课探究：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
说明：
1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤<。
3、化公式的三个前提条件
（1）极点与直角坐标系的原点重合;
（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
（3） 两种坐标系的单位长度相同
例题赏析：
例1：（1）把点M 的极坐标化成直角坐标；
（2）把点P的直角坐标化成极坐标。
变式训练：
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2：若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
已知A的极坐标求它的直角坐标,
已知点B和点C的直角坐标为，求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练：
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
例3：在极坐标系中,已知两点，求A,B中点的极坐标.
变式训练：
在极坐标系中,已知三点，判断三点是否在一条直线上
三、课堂小结：
平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
四、作业布置：P:10 习题1.2: 1,2
五、板书设计:
课后反思：
极坐标与直角坐标的互化公式
例1：
例2：
例3：极坐标系的概念
上课时间： 班级：
教学内容分析：
。
学情分析：
学生基础较弱，尤其是123班，需要进行细致的分析，引导，开好学习的基础
教学目标
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画
点的位置的区别
情感态度目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点与难点
重点：理解极坐标的意义；
难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置；
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 启发、诱导发现教学
教学过程：
一、新课引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础
新课探究：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
一般地,不做特殊说明时,我们认为
试一试：如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标
（板书）
极点O的极坐标？ （板书）
我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一，反过来
思考:如果给出一个极坐标(2,),那它对应的点是否唯一 唯一。
；
除极点外,平面内点可用唯一的极坐标()表示;同时,极坐标()表示的点也是唯一的。
特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角
设计意图：引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念
学生活动：极坐标系与平面直角坐标系的区别
现在我们学习了两种坐标系，我们来比较一下它们有哪些区别？ （学生）
平面直角坐标系 极坐标
定位方式 横坐标、纵坐标 角度和距离
点与坐标 点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应
外在形式 原点，x，y轴 极点，极轴
本质 两线相交定点 圆与射线相交定点
设计意图：通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点
例题赏析：
例1 写出下图中各点的极坐标
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一的表达式
规定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，
已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
已知M的极坐标为（，）且=，，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
P是点Q关于极点O的对称点；
P是点Q关于直线的对称点；
P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标
三、课堂小结：
1、极坐标系的建立：2、极坐标系内一点的极坐标的规定；
四、作业布置：P:10 习题1.2: 1,2
五、板书设计:
课后反思：
极坐标的定义
例1：
例2：
例3：