第一讲 不等式和绝对值不等式
一、 不等式的基本性质
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本节课的任务是在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，是学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平。
学情分析：
学生已学习必修5不等式，现在再次学习加深，会在应用方面有困难
教学目标：
1、知识与技能：
（1）、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础
（2）、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，
（3）、学会推导并掌握均值不等式定理，能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题
2、过程与方法：
3、情感、态度与价值观：
教学重点与难点
重点：（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假
（2）、均值不等式定理的证明及应用
难点：（1）、灵活应用不等式的基本性质
（2）、等号成立的条件及解题中的转化技巧
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一、新课引入：学生举例生活中的不等关系
二、新课探究：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可
基本步骤：①、作差 ②、变形 ③、定号 ④、下结论
应用举例：
学生活动：例1：比较和的大小
学生独立完成
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么b
b。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac推论：如果，，那么
⑤、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么 (nN，且n>1)
⑦、如果
新知应用：
学生活动：
1）、判断下列命题是否正确:
(1)( ) (2) ( )
(3) ( ) (4)( )
(5) ( ) (6) ( )
(7) ( ) (8) ( )
(9) ( )
例2、已知a>b>0，c>d>0，求证：
引导学生使用多种方法解决
3、基本不等式：
定理1：如果a、b∈R，那么a 2＋b 2 ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）
证明：a 2＋b 2－2ab＝（a－b）2
当a≠b时，（a－b）2＞0，当a＝b时，（a－b）2＝0
所以，（a－b）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab
由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么 ≥（当且仅当a＝b时取“＝”
号）
证明：∵（）2＋（）2≥2
∴a ＋b≥2 ，即 ≥
显然，当且仅当a＝b时，＝
说明：1）我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a 2＋b 2≥2ab和≥成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.
3）“当且仅当”的含义是充要条件.
4）几何意义.
基本性质的作用：求最大值和最小值
1）、积定，和有最小值：
2）、和定，积有最大值：
新知应用举例：
例3：求证：
（1）、在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
（2）、在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短
学生结合上述定理独立完成，并总结解题方法
例4: 某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价每平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.
(1)设总造价为S元,AD长 x 为米,试建立S关于x的函数关系式;
(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值
引导学生分析问题，找到关键点，进而解决问题
4、三个正数的算术—几何平均不等式
引导学生进行推导，应用公式：
和进行变形推导
定理3：如果，那么，当且仅当时等号成立
三个正数的算术平均不小于它们的几何平均
推广：对于n个正数它们的算术平均不小于它们的几何平均，即：，当且仅当时等号成立
新知应用：
学生活动：
例5：已知，求证
例6：当时，求函数的最大值
学法指导：构造三个数相加等于定值，
错题分析：求函数 （的最小值
错解：
学生分析错的原因：取不到等号
正确解法：
变式练习：
1、
例7：如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同
的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，
问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？
（学生独立完成上述例题，教师讲解）
三、课堂练习：
1.已知,,则的最大值是____.
2.已知，，且，则的最小值是______________。
3.函数的最小值为______.
4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为R，并联后等效电阻值为r，若,则实数的取值范围是_____
四、课堂小结：师生共同共同总结
本节课你有什么收获？还有什么困惑？
五、作业布置：P9 练习：习题1.1：1,2，3，6，7，9,10
六、板书设计:
七、课后反思：
例3：
例4：
例5：
例6：
例7：
3、基本不等式：
例1：
例2：
1、两个实数比较大小：
2、不等式的基本性质第一讲 不等式和绝对值不等式
二、 绝对值三角不等式
上课时间： 班级：
教学目标
1、知识与技能：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简单的应用。
2、过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明
3、情感、态度与价值观：培养学生不怕困难，积极向上的学习探究精神
教学重点与难点：
重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用
难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
学情分析：
教学过程：
一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1），当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立。
（2）， （3）， （4）
那么
二、讲解新课：
结论：（当且仅当时，等号成立.）
已知是实数，试证明：（当且仅当时，等号成立.）
方法一：证明:10 .当ab≥0时, 20. 当ab<0时,
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果是实数，则（当且仅当时，等号成立.）
（1）若把换为向量情形又怎样呢？
根据定理1，有，就是，。 所以，。
定理（绝对值三角形不等式）
如果是实数，则
注：当为复数或向量时结论也成立.
推论1：
定理2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
三、例题赏析：
例1、已知 ，求证
证明 （1）
，∴ （2）
由（1），（2）得：
例2、已知 求证：。
证明 ，∴，
由例1及上式，。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1．实数的绝对值的意义:⑴;（定义） ⑵的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果是实数，则注意取等的条件
五、作业布置：P19 练习：习题1.2： 2，4,5,
六、板书设计:
课后反思：
例2：
例3：
3、定理（绝对值三角形不等式）
例1：
1、实数的绝对值的意义:
2、⑵的几何意义：第一讲 不等式和绝对值不等式
三、 绝对值三角不等式的解法
上课时间： 班级：
教学目标
1、知识与技能：理解并掌握、、、、、型不等式的解法
2、过程与方法：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明
3、情感、态度与价值观：培养学生不怕困难，积极向上的学习探究精神
教学重点与难点：
重点：绝对值不等式的解法
难点：如何解绝对值不等式
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
学情分析：
教学过程：
一、复习引入：
1、绝对值的定义：
。
2、几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
二、新课探究：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
类型1：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是 ，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
:类型2：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是
{或}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间的并集。如图1-2所示。
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解
3、类型3：和型不等式的解法。
4、类型4： 和型不等式的解法。
（几何意义、去绝对值、函数的观点三种思路）
三、例题赏析：
例1、解不等式。
例2、解不等式。
方法1：分类讨论。
方法2：依题意，原不等式等价于或，然后去解。
例3、解不等式。
例4、解不等式。
解：本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，或
例5、不等式 >，对一切实数都成立，求实数的取值范围。
四、课堂练习：解下列不等式：
1、 2、 3、 .
4、 . 5、 6、 .
7、 8、 9、
10、
五、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
四种类型的绝对值不等式的解法，需要注意些什么？
六、作业布置：P20习题1.2： 6、7、8、9
七、板书设计:
课后反思：
-a
a
图1-1
-a
a
图1-2
例题赏析：
课堂练习：
类型3：
类型4：
类型1：
类型2：