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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第四章
课标要求 课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1因式分解12提取公因式（1）13提取公因式（2）14用平方差公式分解因式15用完全平方公式分解因式16回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。3、完成任务三。4、观察比较得出因式分解应注意什么？5、通过计算初步感知因式分解的应用。环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识2、简便计算3、两种方法表示面积。4、找公因式5、提取公因式。6、总结提取公因式的方法。7、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、利用数形结合思想解释计算结果。3、自学课本例题2、3.找出公因式（多项式）4、小组讨论总结符号规律。5、完成习题环节一：复习导入环节二：提公因式（多项式）环节三：符号确定的探究。用平方差公式分解因式1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、小组交流平方差公式的特征。3、试用平方差公式分解因式。4、自学课本例题5、小组交流讨论，教师巡视，发现问题及时纠正。环节一：复习导入环节二：用平方差公式分解因式环节三：典例分析。用完全平方公式分解因式1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。复习旧知。利用提公因式、平方差公式进行因式分解。完成3、4习题，掌握完全平方公式的结构特征。学生自学课本例题3、4.并提出质疑。小组内交流讨论，达成共识。环节一：复习导入环节二：探究完全平方公式的结构特征。环节三：用完全平方分解因式。回顾与反思1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系；2、掌握两种基本的因式分解的方法，并能综合运用；3、能在具体实际例子中灵活运用因式分解解决问题。4、经历因式分解的概念、方法的系统了解之后，发展归纳总结的能力；5、积极调动学生参与到课堂活动中来，增强学生的好奇心，使学生在学习的过程中体会获取知识的喜悦，锻炼学生克服困难的意志，增强学生的自信心；1、学生完成预习作业，展示思维导图。2、学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、整体思想等。同时关注学生的课堂参与度及效果。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。
《因式分解》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务一：因式分解
活动一：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务二：提取公因式（1）
活动一：典例分析
活动一：复习导入
活动二：提公因式
任务三：提取公因式（2）
活动三：符号确定
因式分解
活动一：复习导入
活动二：用平方差公式分解因式
任务四：用平方差分解因式
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务五：完全平方公式分解因式
活动二：探究完全平方公式的特征
活动三：用完全平方公式分解因式
活动一：构建知识框架
任务六：回顾与反思
活动二：知识梳理
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分课时教学设计
课时《因式分解》4.1因式分解教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
学习者分析 学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难
教学目标 1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解． 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法． 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
教学重点 因式分解的意义，会判断什么是因式分解
教学难点 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习旧知教师活动1： 1.整式乘法有几种形式 (1)单项式乘以单项式：a·b= . (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=______________________ 2.乘法公式有哪些 (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________ (2)完全平方公式: (a±b)2=________________ 3.当 a =101, b = 99 时， = ；-ab= 学生活动1： 学生回忆旧知 活动意图说明： 唤醒记忆，为新授奠基环节二：探究新知教师活动2： 任务一：99–99能被100整除吗？ 99–99 =99（99-1） （逆用乘法分配律） =99（99+1）（99-1） （逆用平方差公式） =99×100×98 ∴993–99能被100整除. 99–99还能被什么数整除？ 任务二、计算下列各式： 把下列多项式写成积的形式 小结：分解因式的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解） 整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系 任务三：判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解 学生活动2： 通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。 完成任务三活动意图说明： 因式分解与整式乘法互为逆变形，同时，可以借助整式乘法来验证因式分解，借助学生的分析引导学生明白：因式分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.环节三典例分析教师活动三 例题1：观察下列各等式： ① x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ② 2x(x-3y)=2x2-6xy ③ (5a-1)2=25a2-10a+1 ④ x2+4x+4=(x+2)2 ⑤ (a-3)(a+3)=a2-9 ⑥ m2-4=(m+2)(m-2) ⑦ 2πR+ 2πr= 2π(R+r) 从左边到右边的变形， 属于整式乘法的是 ； 属于因式分解的是 分解因式要注意什么: .分解的对象必须是多项式.（第⑧）不是多项式。 .分解的结果一定是几个整式的乘积的形式 （第⑨结果不是整式的积） 例题2. 199-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除 199-199=199（199-1）=199（199+1）（199-1）=199×200×198 ∴199-199能被200整除，还能被199、198整除。 例题3.用简便方法计算： =学生活动三 观察比较得出因式分解应注意什么？ 通过计算初步感知因式分解的应用。活动意图说明 学生自主把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，引导学生继续观察分解的结果，为后续a3-a的分解作好铺垫，类比、猜测用字母表示数，尝试对a3-a进行因式分解，由数到式，渗透由特殊到一般的数学思想方法，再次感知因式分解与整式乘法的关系。
板书设计 4.1因式分解 1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也称为分解因式。 因式分解与整式乘法的联系：互逆的两种恒等变形 3. 分解因式要注意以下几点: (1).分解的对象必须是多项式. (2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.把左、右两边相等的代数式用线连起来 2.计算：765×17－235 ×17 解: 765×17－235 ×17 =17(765 －235) =17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530 =9010000 3.2004+2004能被2005整除吗？ 解: ∵2004+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除 4.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( C ) A. (x＋5)(x－1)＝x＋4x－5 B. x－x－1＝(x＋x)(x－1) － 1 C. x－10xy＋25y＝(x－5y) D. ax－bx－x＝x(a－b) －x 5.把多项式x +ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a= -2，b= -3 . 选做题： 6．小明在解答“分解因式：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的： 解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)； (2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)． 请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对． 解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，∴分解不正确； (2)∵(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9，∴分解正确． 【综合拓展类作业】 7.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( C ) A．6a2b2＝3ab·2ab B．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1 C．a2－3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a2－1＝a(a－) 2．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( D ) A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 3．113－11不能被下列哪个数整除？( A ) A．13 B．12 C．11 D．10 4.99-99能被100整除吗 你是怎样想的 解：99-99=99×99-99 ×1 =99 ×(99-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 99-99能被100整除. 在公式(a＋b)(a－b)＝a－b中，从左到右是整式乘法，从右到左的变形中分解因式. 6.观察下列拼图过程，写出相应的关系式 选做题 7.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解． 解：由图形面积得：a＋3b＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)． 【综合拓展类作业】 8.已知关于x的二次三项式 5x+mx-n 分解因式的结果是(5x-1)(x+2),试求m，n的值 9.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
因式分解
4.1因式分解
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
探究新课/新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义
教学目标
1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
复习旧知
1.整式乘法有几种形式
(1)单项式乘以单项式：a·b= .
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=__________
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=______________________
2.乘法公式有哪些
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=____________
(2)完全平方公式: (a±b)2=________________
ab
am+an
am+an+bm+bn
情境导入
当 a =101, b = 99 时，
400
当 a =101, b = 99时, a2－ ab =________
202
当 a =101, b = 99时, a2-2ab+b2 = _______
4
请问：你们是如何进行简便计算呢
情境导入
993–99能被100整除吗？
你能说出每一步的根据吗？
逆用乘法分配律
逆用平方差公式
∴993–99能被100整除.
993–99还能被哪些数整数整除？
新知讲解
1、计算下列各式：
2、把下列多项式写成积的形式
积的形式
转化
和的形式
和的形式
转化
积的形式
整式乘法
叫什么运算？
新知讲解
分解因式的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（因式分解）。
“整式乘法”与“因式分解”是互逆的关系
x2－xy ＝ x（x－xy）
整式乘法
因式分解
练一练
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
不是因式分解
因式分解
典例分析
① x2-4y2=(x+2y)(x-2y) ② 2x(x-3y)=2x2-6xy
③ (5a-1)2=25a2-10a+1 ④ x2+4x+4=(x+2)2
⑤ (a-3)(a+3)=a2-9 ⑥ m2-4=(m+2)(m-2)
⑦ 2πR+ 2πr= 2π(R+r)
从左边到右边的变形，
属于整式乘法的是 ；
属于因式分解的是 。
② ③ ⑤
① ④ ⑥ ⑦
例题1：观察下列各等式：
易错点：左边不是多项式
易错点：右边不是整式的积
新知讲解
分解因式要注意什么:
(1).分解的对象必须是多项式.
(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
不是多项式
不是整式的积
典例精析
例题2. 1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
典例分析
例题3.用简便方法计算：
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
1.把左、右两边相等的代数式用线连起来
课堂练习
2.计算：7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)
=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530
=9010000
3.20042+2004能被2005整除吗？
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
课堂练习
4.下列等式中从左到右的变形为分解因式的是( )
Ａ. (x＋5)(x－1)＝x2＋4x－5
Ｂ. x2－x2－1＝(x＋x)(x－1) － 1
Ｃ. x2－10xy＋25y2＝(x－5y)2
Ｄ. ax2－bx2－x＝x2(a－b) －x
C
5.把多项式x +ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a=________，b=_______.
-2
-3
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
6.小明在解答“分解因式：(1)3x2－9x＋3；(2)4x2－9.”时，是这样做的：
解：(1)3x2－9x＋3＝3(x2－6x＋1)；
(2)4x2－9＝(2x＋3)(2x－3)．
请你利用分解因式与整式乘法的关系，判断他分解得对不对．
解：(1)∵3(x2－6x＋1)＝3x2－18x＋3，∴分解不正确；
(2)∵(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9，∴分解正确．
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
一、分解因式与整式乘法是互逆过程.
二、分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
作业布置
1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A．6a2b2＝3ab·2ab B．2x2＋8x－1＝2x(x＋4)－1
C．a2－3a－4＝(a＋1)(a－4) D．a2－1＝a(a－ )
2．下列从左到右边的变形，是因式分解的是( )
A．(3－x)(3＋x)＝9－x2 B．(y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1)
C．4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D．－8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2
3．113－11不能被下列哪个数整除？( )
A．13 B．12 C．11 D．10
C
D
A
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
4.993-99能被100整除吗 你是怎样想的
解：993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
5．在公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中，从左到右是 ，从右到左的变形中 .
整式乘法
因式分解
作业布置
6.观察下列拼图过程，写出相应的关系式
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
7.现有正方形甲图片1个、正方形乙图片3个和长方形图片丙4张，请你将它们拼成一个长方形，并据此写一个多项式的因式分解．
解：由图形面积得：a2＋3b2＋4ab＝(a＋b)(a＋3b)．
作业布置
【综合实践类作业】
8.已知关于x的二次三项式 5x2+mx-n 分解因式的结果是(5x-1)(x+2),试求m，n的值
9.将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解。
板书设计
4.1因式分解
1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也称为分解因式。
2. 因式分解与整式乘法的联系：互逆的两种恒等变形
3. 分解因式要注意以下几点:
(1).分解的对象必须是多项式.
(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式
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