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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第四章
课标要求 课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1因式分解12提取公因式（1）13提取公因式（2）14用平方差公式分解因式15用完全平方公式分解因式16回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。3、完成任务三。4、观察比较得出因式分解应注意什么？5、通过计算初步感知因式分解的应用。环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识2、简便计算3、两种方法表示面积。4、找公因式5、提取公因式。6、总结提取公因式的方法。7、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、利用数形结合思想解释计算结果。3、自学课本例题2、3.找出公因式（多项式）4、小组讨论总结符号规律。5、完成习题环节一：复习导入环节二：提公因式（多项式）环节三：符号确定的探究。用平方差公式分解因式1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、小组交流平方差公式的特征。3、试用平方差公式分解因式。4、自学课本例题5、小组交流讨论，教师巡视，发现问题及时纠正。环节一：复习导入环节二：用平方差公式分解因式环节三：典例分析。用完全平方公式分解因式1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。复习旧知。利用提公因式、平方差公式进行因式分解。完成3、4习题，掌握完全平方公式的结构特征。学生自学课本例题3、4.并提出质疑。小组内交流讨论，达成共识。环节一：复习导入环节二：探究完全平方公式的结构特征。环节三：用完全平方分解因式。回顾与反思1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系；2、掌握两种基本的因式分解的方法，并能综合运用；3、能在具体实际例子中灵活运用因式分解解决问题。4、经历因式分解的概念、方法的系统了解之后，发展归纳总结的能力；5、积极调动学生参与到课堂活动中来，增强学生的好奇心，使学生在学习的过程中体会获取知识的喜悦，锻炼学生克服困难的意志，增强学生的自信心；1、学生完成预习作业，展示思维导图。2、学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、整体思想等。同时关注学生的课堂参与度及效果。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。
《因式分解》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务一：因式分解
活动一：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务二：提取公因式（1）
活动一：典例分析
活动一：复习导入
活动二：提公因式
任务三：提取公因式（2）
活动三：符号确定
因式分解
活动一：复习导入
活动二：用平方差公式分解因式
任务四：用平方差分解因式
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务五：完全平方公式分解因式
活动二：探究完全平方公式的特征
活动三：用完全平方公式分解因式
活动一：构建知识框架
任务六：回顾与反思
活动二：知识梳理
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因式分解
4.2提取公因式（2）
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
探究新课/新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节课是北师大版八年级下册第四章第二节第二课时的内容，在此之前，学生学习了公因式是单项式的提公因式法，为本节课的学习起到了铺垫作用，本节课将进一步学习公因式是多项式的提公因式法，又为后面学习分式的运算奠定了基础，它在整个教材中起着承上启下的作用。
教学目标
1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。
2．掌握公因式为多项式的因式分解。
3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力
复习旧知
2、公因式的找法：
(1)定系数：取各项系数的最大公因数；
(2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂。
1、提公因式法的定义：
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
复习旧知
3、把下列各式分解因式：
①你用什么方法进行分解因式？
②这种方法的关键是什么？
情境导入
某大学有三块草坪，第一块面积为(a+b)2m2，第二块草坪面积为a(a+b)m2，第三块草坪面积为(a+b)bm2 ，求这三块草坪的总面积。
怎样计算上述多项式的和呢？
新知讲解
能否用右图解释结果
a
b
a+b
a+b
任务一：提取公因式（多项式）
新知讲解
自学课本例题2，并用记号笔圈出公因式
新知讲解
自学课本例题3，并用记号笔圈出公因式
新知讲解
小结：
提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
讲授新课
1、请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“ ”，使等式成立：
你有什么发现吗？
任务二：探究符号规律
讲授新课
符号规律：
①当n为偶数时， (a–b)n=(b–a)n ;
②当n为奇数时， (a–b)n= – (b–a)n 。
(1)(a–b)与(b–a)互为相反数：
(2)(a+b)与(b+a)是相同的数：
当n为整数时， (a+b)n=(b+a)n 。
巩固练习
+
-
+
-
-
+
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
D
D
D
课堂练习
18
2n(m-n)(p-q)
2026
-1
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
共提取了两次公因式；
将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n，需提公因式n次，结果是(x+1)n+1.
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值.
解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)；
因为x，y都是自然数，
又12=1×12=2×6=3×4；
经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件；
所以x=4，y=2.
课堂总结
提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
符号规律：
(1)(a–b)与(b–a)互为相反数：
①当n为偶数时， (a–b)n=(b–a)n ;
②当n为奇数时， (a–b)n= – (b–a)n 。
(2)(a+b)与(b+a)是相同的数：
当n为整数时， (a+b)n=(b+a)n
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
A
D
B
作业布置
2019
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
提公因式
2
3
；
．
作业布置
【综合实践类作业】
板书设计
提取公因式法
第一步:找出公因式；
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
符号规律：
(1)(a–b)与(b–a)互为相反数：
①当n为偶数时， (a–b)n=(b–a)n ;
②当n为奇数时， (a–b)n= – (b–a)n 。
(2)(a+b)与(b+a)是相同的数：
当n为整数时， (a+b)n=(b+a)n
谢谢
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分课时教学设计
课时《因式分解》4.2提公因式法（2）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版八年级下册第四章第二节第二课时的内容，在此之前，学生学习了公因式是单项式的提公因式法，为本节课的学习起到了铺垫作用，本节课将进一步学习公因式是多项式的提公因式法，又为后面学习分式的运算奠定了基础，它在整个教材中起着承上启下的作用。
学习者分析 学生已经初步学会了提取单项式公因式的基本方法，了解了提公因式法的基本步骤，为本节课深入学习奠定了基础，本节课继续采用观察、对比等方法，学生已经积累了一定的活动经验。
教学目标 1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。 2．掌握公因式为多项式的因式分解。 3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。
教学重点 公因式为多项式的因式分解。
教学难点 准确找出公因式，注意各种变形及符号问题，并能正确进行因式分解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习旧知教师活动1： 1、提公因式法的定义： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2、公因式的找法： (1)定系数：取各项系数的最大公因数； (2)定字母及指数：取各项相同字母的最低次幂。 3、把下列各式分解因式： ①你用什么方法进行分解因式？ ②这种方法的关键是什么？学生活动1： 1、学生回顾旧知，并完成两个因分解活动意图说明： 复习旧知，导入新课，为讲授新知奠基。环节二：提取公因式（公因式是多项式）教师活动2： 情景引入 某大学有三块草坪，第一块面积为(a+b)2m2，第二块草坪面积为a(a+b)m2，第三块草坪面积为(a+b)bm2 ，求这三块草坪的总面积。 怎样计算上述多项式的和呢？ 提取公因式 能否用右图解释结果 3、自学课本例题2、3.。用记号笔圈出公因式 小结： 提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.学生活动2： 1、利用数形结合思想解释计算结果。 2、自学课本例题2、3.找出公因式（多项式）活动意图说明： 情景引入，完成情景问题，并用数形结合思想解释计算结果，学生自学课本例题2、3.并用记号笔画出公因式。环节三：探究符号规律教师活动三 请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“ ”，使等式成立 规律总结 (1)(a–b)与(b–a)互为相反数： ①当n为偶数时， (a–b)n=(b–a)n ; ②当n为奇数时， (a–b)n= – (b–a)n 。 (a+b)与(b+a)是相同的数： 当n为整数时， (a+b)n=(b+a)n 。 做一做 请在下列各等号右边的括号前填入“+”或“ ”，使等式成立 学生活动三 1、小组讨论总结符号规律。 2、完成习题。活动意图说明 通过习题讲解，小组讨论，总结符号规律。并用规律解决练习
板书设计 提取公因式法 第一步:找出公因式； 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积. 符号规律： (1)(a–b)与(b–a)互为相反数： (2)(a+b)与(b+a)是相同的数： ①当n为偶数时， (a–b)=(b–a) ; 当n为整数时， (a+b)=(b+a) ②当n为奇数时， (a–b)= – (b–a) 。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是( D ) A.x2﹣1 B.x(x﹣2)+(2﹣x) C.x2﹣2x+1 D.x2+2x+1 2.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( D ) A.a2﹣1 B.a2+a C.(a+1)2-a-1 D.(a-2)2+2(a-2)+1 3.把10a2(x+y)2﹣5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是( D ) A.5a B.(x+y)2 C.5(x+y)2 D.5a(x+y)2 4.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay= 18 . 5.因式分解：n(m﹣n)(p﹣q)﹣n(n﹣m)(p﹣q)= 2n(m-n)(p-q) . 6.若a2+a-1=0，则2a2+2a+2027的值是 2026 7.无论x取何值等式2ax+b=4x-3恒成立，则a+b= -1 . 选做题： 8.阅读题：因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2 解：原式=(1+x)+x(x+1)+x(x+1)2 =(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)[(1+x)+x(1+x)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (1)本题提取公因式几次？ (2)若将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n，需提公因式多少次？结果是什么？ 解：(1)共提取了两次公因式； (2)将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n， 需提公因式n次，结果是(x+1)n+1. 【综合拓展类作业】 9.若x，y满足，求7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3的值. 解：7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3， =7y(x﹣3y)2+2(x﹣3y)3， =(x﹣3y)2[7y+2(x﹣3y)]， =(x﹣3y)2(2x+y)， 当时，原式=12×6=6. 10.已知x，y都是自然数，且有x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=12，求x、y的值. 解：x(x﹣y)﹣y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)； 因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4； 经验证(4﹣2)×(4+2)=2×6符合条件； 所以x=4，y=2.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 将 用提公因式法分解因式，应提取的公因式是 A. B. C. D. 2. 若 ，，则代数式 的值是 A. B. C. D. 3. 分解因式 ，正确的结果是 A. B. C. D. 4. 多项式 提公因式后，另一个因式为 A. B. C. D. 5. 已知 ， 则 2019 . 6. 因式分解： 7. 分解因式： ． 选做题 8. 分解因式： （）上述因式分解的方法是 提公因式 ，共应用了 2 次； （）若分解因式 ，则需应用上述方法 3 次，结果是 ； （）分解因式 （ 为正整数）的结果是 ． 【综合拓展类作业】 分解因式：． ．】 10. 已知 ， 满足：，；求 的值． 解：由 得：． 由 得：． 得；；， ．
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