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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第四章
课标要求 课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1因式分解12提取公因式（1）13提取公因式（2）14用平方差公式分解因式15用完全平方公式分解因式16回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。3、完成任务三。4、观察比较得出因式分解应注意什么？5、通过计算初步感知因式分解的应用。环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识2、简便计算3、两种方法表示面积。4、找公因式5、提取公因式。6、总结提取公因式的方法。7、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、利用数形结合思想解释计算结果。3、自学课本例题2、3.找出公因式（多项式）4、小组讨论总结符号规律。5、完成习题环节一：复习导入环节二：提公因式（多项式）环节三：符号确定的探究。用平方差公式分解因式1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、小组交流平方差公式的特征。3、试用平方差公式分解因式。4、自学课本例题5、小组交流讨论，教师巡视，发现问题及时纠正。环节一：复习导入环节二：用平方差公式分解因式环节三：典例分析。用完全平方公式分解因式1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。复习旧知。利用提公因式、平方差公式进行因式分解。完成3、4习题，掌握完全平方公式的结构特征。学生自学课本例题3、4.并提出质疑。小组内交流讨论，达成共识。环节一：复习导入环节二：探究完全平方公式的结构特征。环节三：用完全平方分解因式。回顾与反思1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系；2、掌握两种基本的因式分解的方法，并能综合运用；3、能在具体实际例子中灵活运用因式分解解决问题。4、经历因式分解的概念、方法的系统了解之后，发展归纳总结的能力；5、积极调动学生参与到课堂活动中来，增强学生的好奇心，使学生在学习的过程中体会获取知识的喜悦，锻炼学生克服困难的意志，增强学生的自信心；1、学生完成预习作业，展示思维导图。2、学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、整体思想等。同时关注学生的课堂参与度及效果。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。
《因式分解》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务一：因式分解
活动一：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务二：提取公因式（1）
活动一：典例分析
活动一：复习导入
活动二：提公因式
任务三：提取公因式（2）
活动三：符号确定
因式分解
活动一：复习导入
活动二：用平方差公式分解因式
任务四：用平方差分解因式
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务五：完全平方公式分解因式
活动二：探究完全平方公式的特征
活动三：用完全平方公式分解因式
活动一：构建知识框架
任务六：回顾与反思
活动二：知识梳理
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分课时教学设计
课时《因式分解》4.3平方差公式法教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是九年级义务教育北师大版八年级下第四章——因式分解第三节——“运用公式法”（第一课时）。它主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得到因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系。同时，本节课还体现了数学的“类比”思想，“整体”思想，“换元”思想等。这既是对前面是的应用，又是为后续学习做铺垫，因此，本节课在教材中起承上启下的重要作用。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础： 通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
教学目标 1．知识与技能： （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解 2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整性． 3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教学重点 会用平方差公式进行因式分解.
教学难点 准确理解和掌握平方差公式的结构特征.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 计算： ①以上是什么运算？ ②它们都运用了什么运算公式？ 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。学生活动1： 1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）活动意图说明： 学生通过计算、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．环节二：探究用平方差公式分解因式教师活动2： 1、平方差公式逆运用 公式左边：是一个将要被分解因式的多项式 被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）－（ ） 公式右边:是分解因式的结果 分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。 通过整式乘法公式的逆向变形，我们可以把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法称为公式法 2、对照平方差公式分解因式: 3、试一试 写一写 下列多项式能转化成（ ）－（ ）的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）－（ ）的形式。 m-81=m-9 (2)1-16b=1-(4b) 4m+9 不能转化平方差形式 （3）ax-25y=(ax)-(5y) （4）-x-25y不能转化平方差形式 例题2：把2x-8x分解因式 解：原式=2X(x-4) =2x(x-2)=2x(x+2)(x-2) 总结提升 能写成( )-( )的式子，可以用平方差公式分解因式。 公式中的a , b可以是单独的数字、字母、单项式、多项式。 分解因式，有公因式时先“提”后“公”，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止。学生活动2： 小组交流平方差公式的特征。 试用平方差公式分解因式。 自学课本例题活动意图说明： 引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征。通过例题进一步让学生理解平方差公式的子母a、b不仅可以表示数，而且可以表示单项式或多项式，引导学生体会多项式若含有公因式就先提公因式，然后进一步分解，直到不能再分解为止。环节三：典例分析：教师活动三 例题3：把下列各式分解因式： -16x+81y （2）9a(x-y)+4b(y-x) (3)9（m+n）-（m-n) 解：（1）原式=81y-16 =（9y）-(4x) =(9y+4x)(9y-4x) (2)原式=9a(x-y)-4b(x-y) =(x-y)[(3a)-(2b)] =(x-y)(3a+2b)(3a-2b) (3)原式=[3(m+n)]-(m-n) =[3(m+n)+(m-n）][3(m+n)-(m-n）] =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)学生活动三 小组交流讨论，教师巡视，发现问题及时纠正。活动意图说明 通过典例分析，进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。
板书设计 分解因式的一般步骤： 1)一“提”：提公因式分解； (2)二“用”：运用公式分解； (3)三“查”：检查各括号内的整式能否再进行分解因式
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D ) A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 2.因式分解1-a2的结果是( A ) A.(1+a)(1-a) B.(1-a)2 C.(a+1)(a-1) D.(1-a)a 3.已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于( D ) A.2 B.3 C.4 D.6 4.因式分解x2－9y2的正确结果是( B ) A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y)2 D.(x－9y)2 5.把a2﹣16分解因式，结果为 (a+4)(a﹣4). 6.已知m2﹣n2=16，m+n=6，则m﹣n= 8/3 . 选做题： 7.下面的拼图能验证的等式是 【综合拓展类作业】 8.已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状. 解：∵a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0 ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0 (a﹣b)2+(b﹣c)2=0 ∴a﹣b=0且b﹣c=0 即a=b=c，故该三角形是等边三角形.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是( C ) A.x2+4y2 B.x2﹣2y2+1 C.﹣x2+4y2 D.﹣x2﹣4y2 2.因式分解x2－9y2的正确结果是( B ) A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y)2 D.(x－9y)2 3.已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于( D ) A.2 B.3 C.4 D.6 4.因式分解：1﹣x2= (1+x)(1﹣x).. 5.因式分解：m4﹣16n4= m2+4m2)(m+2n)(n﹣2n). 6.已知x-y=2，则x2-y2-4y= 4 7．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为 12 ． 选做题 8.阅读下列解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状. 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，① ∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)，② ∴c2=a2+b2，③ ∴△ABC为直角三角形. 问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； (2)该步正确的写法应是 ； (3)本题正确的结论应是 . 解：(1)上述解题过程，从第③步开始出现错误； (2)正确的写法为：c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)， 移项得：c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0， 因式分解得：(a2﹣b2)[c2﹣(a2+b2)]=0， 则当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2； △ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形. 【综合拓展类作业】
教学反思
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