河南省周口市鹿邑县2023-2024学年高一下学期月考（一）（3月）数学试题（含解析）

鹿邑县2023-2024学年高一下学期月考（一）
数学试题
测试模块:必修第二册
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围:人教A版必修第二册第六章(不包含正、余弦定理)。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若向量是两个单位向量,则
A. B. C. D.
2.已知向量,若,则实数
A. B.0 C.1 D.
3.若向量,则在上的投影向量的坐标是
A. B. C. D.
4.若四边形ABCD是平行四边形,则下列结论错误的是
A. B. C. D.
5.在平行四边形ABCD中,,则
A.4 B.-4 C.1 D.-1
6.已知向量,则与夹角的余弦值为
A. B. C. D.1
7.已知正方形ABCD的边长为2,则
A. B. C. D.
8.古希腊数学家特埃特图斯(Theactetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知,若,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列各组向量中,能作为基底的是
A. B.
C. D.
10.关于平面向量,下列说法不正确的是
A. B.
C.若,且,则 D.
11.如图,已知正八边形ABCDEFGH的边长为1,O是它的中心,是它边上任意一点,则
A.与不能构成一组基底 B.
C.在上的投影向量的模为 D.的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量,则____________.
13.已知平面内A,B,C三点不共线,且点满足,则是的__________心.(填“重”或“垂”或“内”或“外”)
14.已知平面向量,,满足,则的最大值为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15.(本小题满分13分)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.
(1)写出向量的坐标:
(2)如果四边形ABCD是平行四边形,求点的坐标.
16.(本小题满分15分)已知向量.
(1)当为何值时，与垂直
(2)当为何值时，与平行
17.(本小题满分15分)
如图,点是中BC边的中点,.
(1)若点是的重心,试用表示;
(2)若点是的重心,求.
18.(本小题满分17分)如图,在中,是AB的中点,是线段OB上靠近点的四等分点,设.
(1)若OA长为2,OB长为,求OC的长；
(2)若E是OC上一点,且,试判断A,D,E三点是否共线 并说明你的理由.
19.(本小题满分17分)如图,在梯形ABCD中,为AB的中点,.
(1)若,试确定点在线段DC上的位置；
(2)若=t,当为何值时,最小
鹿邑县2023-2024学年高一下学期月考（一）
数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 由单位向量的定义可知,,即,且,故A正确,B错误;因为方向和夹角不确定,故CD错误.故选A.
2.C 向量,则,解得.故选C.
3.B 在上的投影向量为.故选B.
4.D 对于,平行四边形ABCD对边平行且相等,所以,故正确;对于,利用向量加法的平行四边形法则得,故B正确;
对于,利用向量减法的三角形法则得,故正确;对于与是相等的非零向量,,故D错误.故选.
5.C 由向量的加减,可得.故选C.
6.D ,设与的夹角为,则.故选D.
7.D .故选D.
8.B 以为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系,由题意得,则.因为,所以解得所以.故选B.
9. A中向量与共线,不能作为基底,中不共线,所以可作为一组基底.故选BCD.
10.CD 对于,由向量的运算法则知正确,故A正确;
对于B,向量数量积满足分配律,故B正确;
对于,向量数量积不满足消去律,故C错误;
对于是与共线的向量,是与共线的向量.故D错误.故选CD.
11. 对于,连接,以AB所在直线为轴,AF所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则
与平行,不能构成一组基底,故A正确;
对于,故B错误;
对于在向量上的投影向量的模长为,故C错误;
对于D,取AB的中点,则,两式相减得当点与点或重合时,最大,最大值为的最大值为,当点与点重合时,最小为0,
的最小值为的取值范围为,故D正确.故选AD.
12.(2,-1) 由,可得.
13.垂 因为,同理,故为的垂心.
14.30 设,则,由,则点在以为圆心3为半径的圆周上,点在以为圆心2为半径的圆周上,如图所示,
,由图可知,当A,B,C三点共线,在如图所示的位畳时,
有最大值有最大值5,此时取最大值1,所以的最大值为30.
15.解:(1),………………………………………………………………..2分
,……………………………………………………………………4分
.……………………………………………………………………6分
(2)设,由可得,
所以,故.……………………………………………………………………………13分
16.解:(1)因为,……………………………………………1分
,
,
若可得,
即,得,
即时,与垂直.………………………………………………………………………8分
(2)当时,有,
解得,
即时,与平行.……………………………………………………..………………15分
17.解:(1)因为点是的重心,
所以.……………………………………..…………………..7分
(2)因为点是的重心且是BC边的中点,所以,
又,所以,
所以.………………………………………………..……………………………15分
18.解:(1)是AB的中点,
,……………………………………………………..……………3分
..………8分
(2)A,D,E三点不共线，……………………………………………..…………………………………………9分
理由如下:
由(1)知,=
,………………………..………………………..…………………………10分
.………………………..…………………………14分
易知与不平行,
三点不共线…..…………………………………………………..…………………………17分
19.解:(1)过作交AD于,如图,
因为,所以,
则四边形ABCF是平行四边形,故,即是AD的中点,
所以.………………………..……………………3分
因为,所以,
所以.……………6分
又因为,
所以,解得,
所以在线段DC上靠近点的四等分点处.……………………………………………………8分
(2)因为,
所以,…………………………11分
所以当,即时,取得最小值.
所以的最小值为,此时.………………………………………………………17分