(共29张PPT)
因式分解
4.3用完全平方公式分解因式
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
探究新课/新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
教学目标
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
复习引入
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
复习导入
3.把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法：
平方差公式
平方差公式
3a(y-2)-2b(2-y)
=3a(y-2)+2b(y-2)=(y-2)(3a+2b)
提公因式
复习导入
除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
新知讲解
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．
完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
新知讲解
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
用完全平方分解因式
新知讲解
1.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
不是
不是
不是
是
小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；②每一项特点；③符号.）
①多项式为三项式；
②首末项是平方且符号相同；
③中间项是乘积2倍，符号 正负均可；
④a和b可以表示数、单项式或多项式.
新知讲解
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
典例分析
例1 把下列完全平方式因式分解：
把（m+n）看作整体！
典例精析
例2 把下列各式因式分解：
（1）
解：
（2）
解：
因式分解的步骤：
一提：有公因式先提公因式
二套：套用公式
三检查：检查因式分解结果是否彻底
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
1.下列各式是不是完全平方式？如果不是请改动一个数变成是。
（1）a2－6a+4; （2）1+4a +2x;
（3）4b2+4b+1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+2x+0.25.
2. 如果x2-6x+n是一个完全平方式,那么n是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
不是，6该9
不是，2改4
是
不是，ab改2ab
不是.2改1
B
课堂练习
3.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
4.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y
5.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
±8
B
B
课堂练习
6.因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
7.计算：（1）38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
（2）
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
(2)原式
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
8.若x2-5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
解：原式=2x2-3x+1-(x2+2x+1)+1
=x2-5x+1
=3+1
=4.
9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x2－z2的值.
解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4.
又∵x＋z=4，
∴原式=(x＋z)(x－z)=16.
课堂练习
【综合实践类作业】
10.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
解：原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
11.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
课堂总结
（1）形如_______________ _形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（2）因式分解通常先考虑_____________ 方法。再考虑____________方法。
提取公因式法
运用公式法
（3）因式分解要 _
彻底
注意：一提二套三检查
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1、判断下列各式正误：
（1）x +y =（x+y) ( ) （2）x –y = (x–y) ( )
（3）x –2xy+y = (x–y) ( ) （4）–x –2xy–y =–（x+y) ( )
作业布置
2、把下列各式因式分解：
（1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b
=m – 2·mn·6 +(6n) =(4a) +2·4ab·3+(3b)
=(m-6n) =(4a+3b)
（3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25
=–(x +2xy+y ) =(a+b) +2·(a+b)·5+5
=–(x+y) =(a+b+5)
作业布置
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_____．
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_______．
5.因式分解x －9y 的正确结果是( )
A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y) D.(x－9y)
6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( )
A.-x +2xy-y B.x -2x y+x y
C.(x -3) -2(3-x )+1 D.x -xy+12y
1
±4
B
D
7.已知x=3y+5，且x﹣7xy+9y =24，则x y﹣3xy 的值为( )
A.0 B.1 C.5 D.12
8.若实数x、y、z满足(x﹣z) ﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( )
A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0
C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
C
D
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
9.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
作业布置
【综合实践类作业】
10.已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
∴x2－4x+4＋y2－10y＋25＝0，
板书设计
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
完全平方公式分解因式
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第四章
课标要求 课标对本章的要求是能用提公因式法、公式法进行因式分解。整个学段要求体会数学知识之间的联系，掌握必要的运算技能，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
内容分析 本章有三小节：1、因式分解；突出与分解因数的类比，体会因式分解的必要性，并用几何拼图解释因式分解，在了解因式分解的基础上体会因式分解和与整式乘法之间的关系。2提取公因式；它根据乘法的分配律或单项式乘多项式的法则，对于学生来说是难以发现公因式，为此教材安排简单的公因式入手，由浅入深的引导学生发现公因式，并一例题的形式学习提取公因式分解的方法指导及注意事项，形成基本技能。3、公式法。其关键是熟悉平方差公式和完全平方公式的特点，学生初学的一个难点是根据多项式和公式的特点选择恰当的公式，为此教材将平方差公式和完全平方公式分别安排一个课时分开教学，然后再用一个课时来综合练习，加深学生对公式特点的认识
学情分析 学生已经掌握乘法的分配律及分配律的逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为因式分解奠定了良好的基础。由整式乘法寻求因式分解是一种逆向思维，而逆向思维对于八年级学生来说比较生疏，接受起来有一定的困难，所以对学生来说因式分解的方法是一个难点。 基于学生在小学学过因数分解的经验，对于因式分解的概念还完全陌生，因此本章在学生掌握因式分解的概念的基础上，学习几种因式分解的基本方法（提取公因式法、公式法），有意识的培养学生的数学知识的迁移能力 、类比能力和逆向思维能力。
单元目标 （一）教学目标1、通过经历因式分解的过程，比较整式乘法和因式分解的联系与区别，体会逆向思维的方法和转化思想。2、了解因式分解法人意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式的方法进行因式分解。3、会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。4、通过对平方差、完全平方逆向变形，将一个整式看作“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、猜测的能力，进一步体会类比、换元思想，提高处理数学问题的能力。（二）教学重点、难点重点：用提取公因式、公式法进行因式分解。难点：1发现多项式的公因式，2、根据多项式的特点和公式的特点合理使用公式法进行因式分解。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1因式分解12提取公因式（1）13提取公因式（2）14用平方差公式分解因式15用完全平方公式分解因式16回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务因式分解1.使学生了解因式分解的意义，会判断什么是因式分解．2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．1、学生回忆旧知。2、通过计算，体会整式乘法和分解因式的互逆关系。3、完成任务三。4、观察比较得出因式分解应注意什么？5、通过计算初步感知因式分解的应用。环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（1）1.理解因式分解的概念及它与整式乘法的关系，学会确定多项式的公因式并会用提公因式法分解因式.2. 培养学生观察、分析、归纳的能力及逆向思维能力，并向学生渗透类比、化归、整体等数学思想方法．3.通过互助交流、生生互动,使学生形成自主学习、合作学习的良好习惯．1、回顾知识2、简便计算3、两种方法表示面积。4、找公因式5、提取公因式。6、总结提取公因式的方法。7、学生完成两个例题的自学，教师巡视完成情况环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析提公因式法（2）1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法。2．掌握公因式为多项式的因式分解。3．渗透类比、整体、化归、数形结合思想，培养学生的观察能力和类比推理能力。1、学生回顾旧知，并完成两个因分解。2、利用数形结合思想解释计算结果。3、自学课本例题2、3.找出公因式（多项式）4、小组讨论总结符号规律。5、完成习题环节一：复习导入环节二：提公因式（多项式）环节三：符号确定的探究。用平方差公式分解因式1．知识与技能：（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； （2）会用平方差公式进行因式分解； （3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、整体的思想，感受数学知识的完整性．3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。1、计算整式乘法（平方差公式的逆向运用）。2、小组交流平方差公式的特征。3、试用平方差公式分解因式。4、自学课本例题5、小组交流讨论，教师巡视，发现问题及时纠正。环节一：复习导入环节二：用平方差公式分解因式环节三：典例分析。用完全平方公式分解因式1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。复习旧知。利用提公因式、平方差公式进行因式分解。完成3、4习题，掌握完全平方公式的结构特征。学生自学课本例题3、4.并提出质疑。小组内交流讨论，达成共识。环节一：复习导入环节二：探究完全平方公式的结构特征。环节三：用完全平方分解因式。回顾与反思1、理解因式分解的概念以及与整式乘法的关系；2、掌握两种基本的因式分解的方法，并能综合运用；3、能在具体实际例子中灵活运用因式分解解决问题。4、经历因式分解的概念、方法的系统了解之后，发展归纳总结的能力；5、积极调动学生参与到课堂活动中来，增强学生的好奇心，使学生在学习的过程中体会获取知识的喜悦，锻炼学生克服困难的意志，增强学生的自信心；1、学生完成预习作业，展示思维导图。2、学生解题，在过程中引导学生注意解题思路、整体思想等。同时关注学生的课堂参与度及效果。环节一：构建知识框架环节二：知识梳理。
《因式分解》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务一：因式分解
活动一：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务二：提取公因式（1）
活动一：典例分析
活动一：复习导入
活动二：提公因式
任务三：提取公因式（2）
活动三：符号确定
因式分解
活动一：复习导入
活动二：用平方差公式分解因式
任务四：用平方差分解因式
活动三：典例分析
活动一：复习导入
任务五：完全平方公式分解因式
活动二：探究完全平方公式的特征
活动三：用完全平方公式分解因式
活动一：构建知识框架
任务六：回顾与反思
活动二：知识梳理
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分课时教学设计
课时《因式分解》4.3用完全平方公式分解因式教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。 学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
教学目标 1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式． 2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。 3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
教学重点 掌握完全平方公式的特点，熟记公式。
教学难点 学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入教师活动1： 因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式。 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ ①.提公因式法；②.平方差公式 3.把下面多项式进行因式分解，并说一说因式分解的方法： 【平方差公式】 【平方差公式】 4、除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 【首平方，尾平方。积的2倍写中央】学生活动1： 复习旧知。 利用提公因式、平方差公式进行因式分解。 活动意图说明： 复习旧知引出完全平方公式，为新授奠基。环节二：探究完全平方的结构特征教师活动2： 1、完全平方公式： 现在我们把完全平方公式反过来，可得： 两个数的平方和，加上（或）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或差） 的平方． 2、你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 用完全平方分解因式 = 3、下列各式是不是完全平方式？ （1）a－4a+4; 【是】 （2）1+4a ; 【不是】 （3）4+4b-1; 【不是】 （4）a+ab+b; 【不是】 （5）x+x+0.25.【是】 小组合作：如何判断一个多项式是不是完全平方式？请你从以下三方面总结完全平方式的特点.（①项数；②每一项特点；③符号.） ①多项式为三项式； ②首末项是平方且符号相同； ③中间项是乘积2倍，符号 正负均可； ④a和b可以表示数、单项式或多项式. 4、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式 学生活动2： 完成3、4习题，掌握完全平方公式的结构特征。活动意图说明： 渗透数形结合思想，通过加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．环节三：用完全平方分解因式教师活动三 例1 把下列完全平方式因式分解： 这里把（m+n）看作整体！ 例2 把下列各式因式分解： ： 小结：因式分解的步骤： 一提：有公因式先提公因式 二套：套用公式 三检查：检查因式分解结果是否彻底学生活动三 学生自学课本例题3、4.并提出质疑。小组内交流讨论，达成共识活动意图说明 培养学生对平方差公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式是不是完全平方式？ （1）a－6a+4; 【不是，6改9】 （2）1+4a +2x;【不是，2改4】 （3）4b+4b+1; 【是】 （4）a+ab+b;【不是，ab改2ab】 （5）x+2x+0.25. 【不是2改1】 2. 如果x-6x+n是一个完全平方式,那么n是( B ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 3.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为 ±8. 4.下列四个多项式中，能因式分解的是( B ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 5.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( B ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) 6.因式分解： (1)－3ax＋24ax－48a； (2)(a＋4)－16a. 有公因式要先提公因式 要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 7.计算：（1）38.9－2×38.9×48.9＋48.9. （2） 解：(1)原式＝(38.9－48.9)=100 解：原式 选做题： 8.若x-5x=3，求(x-1)(2x-1)-(x+1)+1的值. 解：原式=2x-3x+1-(x+2x+1)+1 =x-5x+1 =3+1 =4. 9.已知x－y=2，y－z=2，x＋z=4，求x－z的值. 解：由x－y=2，y－z=2，得x－z=4. 又∵x＋z=4， ∴原式=(x＋z)(x－z)=16. 【综合拓展类作业】 10.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b的值； 解：原式＝a－2ab＋b＝(a－b). 当a－b＝3时，原式＝32＝9. 11.已知ab＝2，a＋b＝5，求ab＋2ab＋ab的值． 解：原式＝ab(a＋2ab＋b)＝ab(a＋b). 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×5＝50.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断下列各式正误： （1）x +y =（x+y) ( × ) （2）x –y = (x–y) ( × ) （3）x –2xy+y = (x–y) ( ) （4）–x –2xy–y =–（x+y) ( ) 2、把下列各式因式分解： （1）m –12mn+36n （2）16a +24ab+9b =m – 2·mn·6 +(6n) =(4a) +2·4ab·3+(3b) =(m-6n) =(4a+3b) （3）–2xy–x –y （4）(a+b) +10(a+b)+25 =–(x +2xy+y ) =(a+b) +2·(a+b)·5+5 =–(x+y) =(a+b+5) 3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是 1 ． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为 ±4． 5.因式分解x2－9y2的正确结果是( B ) A.(x+9y)(x－9y) B.(x+3y)(x－3y) C.(x－3y)2 D.(x－9y)2 6.下列各式中不能用完全平方公式因式分解的是( D ) A.-x2+2xy-y2 B.x4-2x3y+x2y2 C.(x2-3)2-2(3-x2)+1 D.x2-xy+12y2 7.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( C ) A.0 B.1 C.5 D.12 8.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0，则下列式子一定成立的是( D ) A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0 选做题 9.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a＋2b＋c－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【综合拓展类作业】 已知x－4x＋y－10y＋29＝0，求xy＋2xy＋1的值．
教学反思
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