3.2 立体几何中的向量方法----空间距离
上课时间： 班级：
本节课的主要内容是：利用空间向量作为工具，解决立体几何中空间距离问题，是高考的考点
学情分析：
学生已学习利用向量求空间角，具有一定的基础，同时，学生已学习空间距离的相关知识
教学目标
１、知识与技能：
1）、理解并能求空间中的距离问题；
2）、能利用空间向量解决关于距离的问题；
２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间中距离有关问题的推导过程及问题的解决
难点：空间中距离的有关问题的解决．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.引入
1、法向量定义：如果直线, 取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离
2、思考：如何利用向量，求空间中的距离问题？
二、新课探究：
（一）、两点间的距离公式：则：
（二）、点到直线的距离问题：
设直线l,的方向向量分别为，
则点P到直线的距离d=
（学生结合图形来猜想、证明）
例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离
（引导学生分析解题的思路，学生书写解题过程，
并进行必要的总结）
（三）、点到平面的距离：
如图A空间一点P到平面的距离为d,已知平面
的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示
（引导学生猜想、验证，教师写出证明过程）
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离
例2: 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别
是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，
求：点B到平面EFG的距离
分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐
标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,
而法向量总是可以快速算出.
练习(用向量法求距离):
1.如图,是矩形,平面,
,,
分别是的中点,
求:点到平面的距离
（四）异面直线间的距离：
已知a,b是异面直线，为直线a,b的公垂线段CD的方向向量
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上
即
间的距离可转化为向量在上的射影长，
(学生结合图象，理解公式)
例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，求：异面直线D1B与A1E的距离
例：已知，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=4，底面
△ABC中，AC=BC=2，∠BCA=900，E为AB的中点，
求：CE与AB1的距离
(五)直线到平面的距离:
设直线∥平面,A∈,B∈,是平面
的法向量,过A作AC⊥,垂足为C,则∥,
因为·=(+)·=·,
所以|·|=||·||.
所以直线到平面的距离d=||=
例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，
求D1C到面A1BE的距离
练习：如图,边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为
BB1、C1C的中点,DG=DD1,过E、F、G的平面交AA1于点H,
求A1D1到面EFGH的距离
(六)两平行平面间的距离:
①用公式d=求, 为两平行
平面的一个法向量,A、B分别为两平面上的任意两点.
②转化为点面距离或线面距离求解.
例4：在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中.
求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离
课堂检测：
1、如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,
点E、F分别为棱AB、BC的中点.求点D1到平面B1EF的距离d
2、如图,几何体ABC—A1B1C1的棱长都为a,平面ABC∥平面A1B1C1,
又AA1∥BB1∥CC1,且都垂直于平面ABC,D是AB的中点,
连接A1D、DC、A1C、BC1.
(1)求证:BC1∥平面A1DC;
(2)求BC1到平面A1DC的距离.
3、如图所示,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD;
(2)求证:平面EGF∥平面ABD;
(3)求平面EGF与平面ABD的距离
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、如何求空间中的距离问题？
2)、求空间中的距离问题要注意些什么？
四、作业布置：校内作业本
五、板书设计:
课后反思：
两点间的距离：
点到直线的距离：
例题：
点到平面的距离：
线到面的距离：
面到面的距离
例题：
例题：
练习：
异面直线间的距离：
例题：
例题：3.1.2 空间向量的数乘运算
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本小节类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律，进而分别给出空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
学情分析：
学生在掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难
教学目标
１、知识与技能：
⒈）了解共线向量的概念、向量与平面平行的意义，掌握他们的表示方法；
⒉）会用以上知识解决立体几何中有关的简单问题
２、过程与方法：通过空间向量平行、共面的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思维过程
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生的理性思维能力
教学重点与难点
重点：空间向量共线和共面的条件
难点：对定理条件的理解与应用
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.复习引入
1、空间向量的加减法及运算律：
2、平面向量的数乘运算：平面内,实数与向量的乘积仍然是一个向量.
⑴当时,与向量的方向相同;⑵当时,与向量的方向相反;
⑶当时,是零向量.
（以上由学生思考完成）
二、新课探究：
（一）、空间向量的数乘运算及运算律：
1、空间向量的数乘运算：与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.
⑴当时,与向量的方向相同;⑵当时,与向量的方向相反;
⑶当时,是零向量.
2、空间向量的数乘运算律：
加分配律： 结合律：
例题赏析：
例1：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）
（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
；
（二）、共线向量及其定理：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
注意：
1）、共线向量的方向相同或相反；2）、O与任何向量a都是共线向量；3）、共线向量不具有传递性
思考：对空间任意两个向量与,如果,那么与有什么关系 反过来呢
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式
（三）、共面向量及其定理：
1、共面向量概念：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
思考：对于空间任意两个不共线的向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a,b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a,b有什么位置关系时，p=xa+yb
2、共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
3、共面向量定理推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、共线向量概念、定理、推论；
2)、共面向量概念、定理、推论；
四、作业布置：优化探究
五、板书设计:
课后反思：
空间向量的数乘运算
共线向量的定义：
共线向量定理：
共线向量定理推论：
共面向量的定义：
共面向量定理：
共面向量定理推论：
例:2：3.2 立体几何中的向量方法----空间角
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本节课的主要内容是：利用空间向量作为工具，解决立体几何中空间角的问题，是高考的必考点
学情分析：
学生已学习几何法求解空间角，具有一定的基础，同时，学生已学习空间向量的相关知识
教学目标
１、知识与技能：
1）、理解并能求空间中的角；
2）、能利用空间向量解决关于角的问题；
２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间中角的有关问题的解决
难点：空间中角的有关问题的解决．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.引入
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内 的角；
斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是
两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角
二、新课探究：
分析：求异面直线的夹角解法步骤：
1)、建立空间直角坐标系
2)、写出异面直线的方向向量的坐标。
3)、利用空间两个向量的夹角公式求出夹角
二、线面角: 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，
直线与平面所成的角为(),
例题：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求（1）、B1C1与面AB1C所成角的正弦值
例题：正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，
M我B1C1上的一点，且B1M=2，点N在线段A1D⊥AN。
求证：（1）、A1D⊥AM
（2）、
分析：求直线与平面所成的角的步骤：
1）、建立空间直角坐标系
2）、求出平面的法向量
3）、求出直线的方向向量
4）、求以上两个向量的夹角（锐角）其余角为所求角
练习 2、如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2。
求：OS与面SAB所成角的余弦值
练习3、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,
侧棱长为，求AC1和面ABB1A1所成角
(三)、面面角：二面角的范围
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的
面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，
设二面角的大小为，其中
练习：
1、如图，已知：直角梯形OABC中，
OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，
且OS=OC=BC=1，OA=2。
求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值
(2)OS与面SAB所成角的余弦值
(3)二面角B－AS－O的余弦值
2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，
作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、如何求平面向量的法向量？
2)、如何判定直线、平面、平面与平面之间的关系？
作业布置：校内作业本
五、板书设计:
课后反思：
线线角：
例题：
练习：
线面角：
例题：
例题：
练习：
面面角：
例题：
练习：
练习：3.2 立体几何中的向量方法----平行、垂直关系
上课时间： 班级：
本节课的主要内容是：利用空间向量作为工具，解决立体几何中的垂直、平行问题，是高考的考点
学情分析：
学生已学习空间向量的有关知识，且理解线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直的判断方法，具有一定的基础
教学目标
１、知识与技能：
1）、理解并能求平面的法向量；
2）、利用平面的法向量、直线的方向向量，判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系；
２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间线线、线面、面面关系的判定
难点：空间线线、线面、面面关系的判定．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.思考引入
1、如何确定一个点在空间的位置？
2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
二、新课探究：
（一）、空间点、线、面的向量表示
1、点的位置向量
在空间中，取定点O作为基点，可以用什么方法表示空间任意一点
P与点O的相对的位置？
向量称为点P的位置向量
2、直线位置的确定：
过空间一点A可以作无数条直线，其中以某非零向量a为方向向量的直线有几条？如何用向量式表示？
3、平面位置的确定：
设过点O的两条相交直线确定的平面为α，如何用向量形式表示平面α内的点P的位置？
（二）、平面的法向量：
若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向量，则向量a叫做平面α的法向量，如何用向量形式表示过点O且法向量为a的平面α内的点P的位置？
1、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那 么 向 量叫做平面的法向量
几点注意：
（1）.法向量一定是非零向量;（2）.一个平面的所有法向量都互相平行;
（3）.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有=0
2、平面法向量的求法：
已知求平面的一个法向量.
学生通过完成本题，总结求平面法向量的方法：
（1）、设出平面的法向量为
（2）、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标
（3）、根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
（4）、解方程组，取其中的一个解，即得法向量
例1:在正方体中，
求证：是平面的法向量
（三）、平行关系、垂直关系：
思考：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
1、平行关系：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
学生结合图象，总结归纳如下：
线线平行：∥∥
线面平行：∥⊥
面面平行：∥∥
2、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
学生结合图象，总结归纳如下：
线线垂直：⊥⊥
线面垂直：⊥∥
面面垂直：⊥⊥
（四）、巩固练习：
1.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系
学生根据条件快速完成
2.设分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系.
3、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若∥，则k= ；
若⊥，则 k= 。
4、已知l∥，且l的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),
则m= .
5、若l的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且⊥，则m=
（五）、例题赏析：
例2：如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，
点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=, AN=，
求证：MN∥平面CDE
例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别
是BB1，CD的中点，
求证：DF1⊥平面ADE
例4:四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面
ABCD，PD=DC, E是PC的中点，
求证：PA//平面EDB
例5：棱长为的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别
是棱AB，OA上的动点，且AF=BE，
求证：AF1⊥O1E
（学生独立思考完成上述例题，教师引导学生进行思路的分析）
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、如何求平面向量的法向量？
2)、如何判定直线、平面、平面与平面之间的关系？
四、作业布置：优化探究
五、板书设计:
课后反思：
O
P
平面的法向量：
平面法向量的求解步骤：
直线、平面的平行关系：
直线、平面的垂直关系：
巩固练习：
例2：
例3：
例4：
例5：3.1.5 空间向量运算的坐标表示
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本节主要内容是：空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示，平行向量、垂直向量坐标之间
的关系，向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式
学情分析：
学生能进行平面向量的坐标运算，加法、减法、数量积，空间向量具有类似的运算法则
教学目标
１、知识与技能：
1）、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；
2）、熟练运用空间向量的坐标运算规律；
２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间向量运算坐标表示的应用
难点：空间向量运算坐标表示的应用．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.复习引入
1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝； ⑵a－b＝；
⑶λa＝； ⑷a·b＝
⑸
二、新课探究：
1、向量的直角坐标运算法则：设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝； ⑵a－b＝；
⑶λa＝； ⑷a·b＝
2、 向量的模：设a＝，b＝，求这两个向量的模.
｜a｜＝，｜b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公式．
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．
3、 夹角公式推导：∵ a·b＝|a||b|cos＜a,b＞
∴ ＝··cos＜a,b＞
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：
当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；
当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．
4、 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则
，其中表示A与B两点间的距离．
5、共线与垂直：，
∥
6、课堂练习：
1.求下列两点间的距离：
（1）、 （2）、
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1)、 （2）、
3、在Rt△ABC中，∠BAC=900，A(2，1，1),B(1，1，2),C(x,0,1)，则x=
4 已知A(3，3，1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；
7、例题赏析：
例1：如图, 在正方体,
中，求与所成的角的余弦值.
例2．如图，正方体中，，
分别是，中点，求证：
例3：如图，正方体中，E,F是BB1，
CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE
（学生总结解题的方法）
思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，
然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明。
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、空间向量运算法则及几个公式；
2)、解题的思路；
作业布置：校内作业本
五、板书设计:
课后反思：
空间向量的运算法则
空间向量的几个公式：
课堂练习：
例1：
例2：
例3：3.1.3 空间向量的数量积运算
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本课是在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，引入空间向量的夹角、长度的概念和方法，介绍了空间向量的数量积的概念和计算方法、运算律，并举例说明用向量解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直、两点间的距离或线段长度等问题的基本方法
学情分析：
学生已学习平面向量的数量积，具有一定的知识基础和学习方法
教学目标
１、知识与技能：
1）、掌握空间向量的数量积概念，性质和计算方法及运算规律；
2）、掌握空间向量夹角的概念及表示方法；
3）、利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题
２、过程与方法：经历概念的形成过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化
难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.复习引入
复习：空间向量基本定理及其推论；
二、新课探究：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
思考：空间向量的数量积是否满足结合律？
6、例题赏析：
空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系, 证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零
例1．已知:如图,分别是平面的垂线、
斜线，是在平面内的射影，，
且，
求证：
例2、用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面
的交点为，且
求证：．
例3： 如图，已知线段AB在平面内，线段AC⊥
，线段BD⊥AB，线段DD1⊥，∠DBD1=300，如
果AB=a，AC=BD=b，求C、D之间的距离。
例4 已知在平行六面体中，AB=4,
AD=3，AA1=5, ∠BAD=900，∠BAA1=DAA1=600，
求：对角线AC1的长。
例5.已知线段AB、BD在平面内，BD⊥AB，线段AC⊥,
，如果，求C、D之间的距离.
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、空间向量的夹角的概念；
2)、空间向量数量积的概念；
3）、空间向量数量积的性质；
四、作业布置：校内作业本
五、板书设计:
课后反思：
空间向量的夹角
空间向量数量积的定义：
空间向量数量积的性质：
空间向量数量积的运算律：
例1：
例2：
例3：
例4：
例5：3.1.1 空间向量及其加减运算
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本小节类比平面向量引入了空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律等内容。
学情分析：
学生已学习平面向量，具有一定的知识基础和学习经验
教学目标
１、知识与技能：
⒈）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
２、过程与方法：通过类别的的学习方法学习空间向量的线性运算
３、情感、态度与价值观：通过在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生学习的积极性
教学重点与难点
重点：空间向量的有关概念及线性运算法则
难点：空间向量的有关概念及线性运算法则
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.复习引入
1、平面向量的有关概念：
在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：．
数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
2、平面向量的加减法则及运算律：
1）向量的加法：
2）向量的减法：
3）向量加法的运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
二、新课探究：
1、空间向量的有关概念：
1)、定义：把空间中具有大小和方向的量叫做向量
2）、空间向量的模长：向量的大小叫做向量的长度或模
3）、零向量：
4)、单位向量：
5）、相反向量：
6）、相等向量：
（以上知识点由学生类比平面向量的知识点共同完成）
2、空间向量的加减法：
向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的
=a+b，
（指向被减向量），
3、空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
4、例题赏析：
例1：已知平行六面体（如图），
化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
2：在如图所示的平行六面体中，
求证：
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、空间向量的有关概念
2)、空间向量的加减法则及运算律；
四、作业布置：优化探究
五、板书设计:
课后反思：
空间向量的定义：
空间向量的加减法则：
空间向量的运算律：
例1：
例:2：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
上课时间： 班级：
教学内容分析：
本节首先介绍了空间向量的正交分解，接下来，类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理，在此基础上，通过空间向量的单位正交分解，完成了从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，最后举例说明用空间三个不共面向量表示给定向量的方法
学情分析：
学生已学习平面向量的正交分解，能准确表示平面向量，具有一定的知识基础和学习方法
教学目标
１、知识与技能：
1）、掌握空间向量基本定理；
2）、掌握空间向量的正交分解；
２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；
３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力
教学重点与难点
重点：空间数量积的正交分解及空间向量基本定理
难点：理解空间向量基本定理．
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
教学方法： 分析法，讨论法，归纳法
教学过程：
一.复习引入
1．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量
2、共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
共面向量定理推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式
3、平面向量基本定理：
4、平面向量的正交分解：
其中，，
二、新课探究：
1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量，均可分解为不共线的两个向量和，使. 如果时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量，则存在一对实数x、y，使得，即得到平面向量的坐标表示.
推广到空间向量，结论会如何呢？
(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把叫做空间的一个基底（base），都叫做基向量.
2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．
单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，
3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，
使a＝i＋j＋k．
4、例题赏析：
例4：已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量，，表示向量,.
（学生独立思考，然后讲解，板演解题过程）
练习：1、在四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，
设
试用abc表示向量
2、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底．
求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
3、在空间坐标系o-xyz中， (分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为 ，点B的坐标为 。
4、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，
三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．
1)、空间向量的正交分解；
2)、空间向量基本定理；
3）、空间向量直角坐标系；
四、作业布置：校内作业本
五、板书设计:
课后反思：
Q
B
O
A
C
P
N
M
空间向量的正交分解
空间向量基本定理：
空间向量直角坐标系：
例4：
练习：
