广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一上·越秀期末）设集合，，则的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高一上·越秀期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·越秀期末）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·越秀期末）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·越秀期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·越秀期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·越秀期末）在当今时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来的通信速率有望达到．香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率和信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率大约会提升到原来的（ ）（参考数据：，）
A．2.3倍 B．3.3倍 C．4.6倍 D．6.6倍
8．（2024高一上·越秀期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高一上·越秀期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·越秀期末）已知定义域为Ⅰ的函数，，使，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·越秀期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024高一上·越秀期末）已知函数，，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·越秀期末）命题“，”的否定是 ．
14．（2024高一上·越秀期末）已知，，则 ．
15．（2024高一上·越秀期末）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域是 ．
16．（2024高一上·越秀期末）如图，要在一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮中截取两块矩形铁皮和，使点在弧上，点在半径上，边与边在半径上，且点为线段的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为，则的最大值为 ，此时 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·越秀期末）已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）求不等式的解集．
18．（2024高一上·越秀期末）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值．
19．（2024高一上·越秀期末）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．
20．（2024高一上·越秀期末）已知函数，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．
21．（2024高一上·越秀期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数（单位：万人）之间的关系．
（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；
（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．
22．（2024高一上·越秀期末）已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）当时，求不等式的解集．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得或，则集合，所以，故的子集个数是个.
故答案为：D.
【分析】解一元二次方程求得集合B，再求集合，最后利用子集的个数公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为指数函数在上单调递增，所以，当时，，即充分性成立；
当时，，即必要性成立，故“”是“”的充要条件.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，且在上单调递增，
因为，，
，，所以，
故函数零点所在的一个区间是.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，判断其单调性，再结合零点存在性定理即可得出零点所在的一个区间.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
故函数为偶函数，排除B、D；当时，，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，判断其奇偶性，利用奇偶性排除B、D，再由时，排除C，即可得正确答案.
5．【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以点位于第三象限，故，，故A、B错误；
，
因为在上单调递减，所以，故，，
所以，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用诱导公式得到，求出点位于第三象限即可判断AB；再结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到，从而判断CD.
6．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
即，即，解得或，
因为，所以，又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简原式，解方程可得的值，再由同角三角函数与角所在象限求的值即可.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】将及代入计算对应的值，再计算比例即可.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为函数在区间单调递增，所以，故，故C正确，D错误；
，
设，则，，
因为符号不定，所以大小不定，故大小不定，故A、B错误.
故答案为：C.
【分析】根据对数运算法则以及函数的单调性判断即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A、由，解得，则集合，故，
因为集合，所以，显然，故A错误；
B、由A的分析可知，故B正确；
C、由于，且，可得，故C正确；
D、由于，且，可得，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】解一元二次不等式得集合，再根据集合的补集运算求得与，最后根据集合间的关系以及集合的运算法则判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，故A符合；
B、函数的定义域为，但，当，即时等号成立，故B不符合；
C、函数的定义域为，，故C符合；
D、函数的定义域为，但，故D不符合.
故答案为：AC.
【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，可知振幅，周期，则，故A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，故D错误；
根据题意，当时，，即，可得，故C正确.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解判断即可.
12．【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，可得，即，
函数图象，如图所示：
A、，，不满足，故A错误；
B、，结合图象，的最小正周期为，故B正确；
C、，
的图象关于直线对称，故C正确；
D、函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，
的最大值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，将函数写成分段函数，结合函数的图象以及函数奇偶性、对称性和单调性逐项判断即可.
13．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写答案即可.
14．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再化简式子，结合已知条件即可求的值.
15．【答案】
【知识点】函数的值域；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为函数的函数值表示不超过x的最大整数，
所以当时，，则，所以，
因为，所以，所以函数的值域是.
故答案为：.
【分析】根据题意，当时，得，结合不等式的性质，即可求解函数的值域.
16．【答案】9；
【知识点】基本不等式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意知，，且，
在直角中，因为，所以，所以，
所以矩形的面积为，
因为为的中点，所以，
所以矩形的面积为，
所以两块矩形铁皮的面积之和为：
，
其中，且，
所以，当时，取得最大值；
此时，即，所以，
因为，所以，即，
解得或（不合题意，舍去），
综上可得，当时，取得最大值.
故答案为：9；.
【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，
化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解.
17．【答案】（1）解：因为，所以，
所以．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，取得最大值
（2）解：不等式即，可化为，解得，或．
因为，所以，或．所以不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式直接求最大值即可；
（2）将不等式转化为，解一元二次不等式即可得原不等式的解集.
18．【答案】（1）解：．
所以函数的最小正周期
（2）解：由（1）得，．
因为，所以，即．
因为，所以．
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式结合正弦型函数的性质求解即可；
（2）由（1）得，，再根据同角三角函数基本关系求，最后借助二倍角公式即可求的值.
19．【答案】（1）解：为奇函数．
理由如下：函数的定义域为．因为，都有，
且，所以函数为奇函数
（2）解：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
证明如下：，，且，有
．
因为，所以．
当时，，，即，
所以在上是增函数；
当时，，，即，
所以在上是减函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义判断即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
20．【答案】（1）解：
．
令，由的单调递减区间为，，
得，解得，，
所以函数的单调递减区间是，
（2）解：把函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，即的图象．
令，则．
因为，所以，即．
因为在上单调递减，
所以当时，取得最小值1．
所以当时，取得最小值1
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）借助二倍角公式以及辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的单调性计算即可；
（2）根据三角函数的平移变换得到函数的解析式，再结合正弦型函数的性质计算即可.
21．【答案】（1）解：依题意得，解得所以．
因为在上单调递增，所以符合预测①．
因为当时，，所以符合预测②
（2）解：由得．
要使得函数符合预测①，则在上单调递增，
则应满足或
当时，，此时符合预测①；
由指数增长可知，一定存在，当，使得，此时不符合预测②．
当时，，此时符合预测①；
由，得，又，所以，即．
要使符合预测②，则需，即．
又，解得．综上所述，的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意，将第一年、第二年的参观人数代入解析式，可求得的值，再判断函数是否符合预测①与预测②即可；
（2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，最后求的取值范围即可.
22．【答案】（1）解：令得，
（2）解：令，，则．
因为，所以，即，
所以，所以，即，
所以，所以的一个周期为6．
因为，所以，，，
即的连续六项之和等于0，所以
（3）解：令，得，，又，所以．
令，得，，
又，所以，所以是偶函数．
因为在上单调递减，所以在上单调递增．
令得，因为，所以，
所以不等式可化为，解得．
因为，，所以当时，的解集为．
由（2）知，6是函数的一个周期，
所以当时，不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的周期性；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用赋值法，令证明即可；
（2）利用赋值法可得是以6为周期的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可求值；
（3）利用赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得不等式的解集.
1 / 1广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一上·越秀期末）设集合，，则的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】子集与真子集；并集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得或，则集合，所以，故的子集个数是个.
故答案为：D.
【分析】解一元二次方程求得集合B，再求集合，最后利用子集的个数公式求解即可.
2．（2024高一上·越秀期末）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为指数函数在上单调递增，所以，当时，，即充分性成立；
当时，，即必要性成立，故“”是“”的充要条件.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数的单调性结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一上·越秀期末）函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数的定义域为，且在上单调递增，
因为，，
，，所以，
故函数零点所在的一个区间是.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，判断其单调性，再结合零点存在性定理即可得出零点所在的一个区间.
4．（2024高一上·越秀期末）函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足，
故函数为偶函数，排除B、D；当时，，排除C.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，判断其奇偶性，利用奇偶性排除B、D，再由时，排除C，即可得正确答案.
5．（2024高一上·越秀期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，，
所以点位于第三象限，故，，故A、B错误；
，
因为在上单调递减，所以，故，，
所以，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用诱导公式得到，求出点位于第三象限即可判断AB；再结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到，从而判断CD.
6．（2024高一上·越秀期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
即，即，解得或，
因为，所以，又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简原式，解方程可得的值，再由同角三角函数与角所在象限求的值即可.
7．（2024高一上·越秀期末）在当今时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来的通信速率有望达到．香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率和信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率大约会提升到原来的（ ）（参考数据：，）
A．2.3倍 B．3.3倍 C．4.6倍 D．6.6倍
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】将及代入计算对应的值，再计算比例即可.
8．（2024高一上·越秀期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为函数在区间单调递增，所以，故，故C正确，D错误；
，
设，则，，
因为符号不定，所以大小不定，故大小不定，故A、B错误.
故答案为：C.
【分析】根据对数运算法则以及函数的单调性判断即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．（2024高一上·越秀期末）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A、由，解得，则集合，故，
因为集合，所以，显然，故A错误；
B、由A的分析可知，故B正确；
C、由于，且，可得，故C正确；
D、由于，且，可得，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】解一元二次不等式得集合，再根据集合的补集运算求得与，最后根据集合间的关系以及集合的运算法则判断即可.
10．（2024高一上·越秀期末）已知定义域为Ⅰ的函数，，使，则下列函数中符合条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值；基本不等式
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，故A符合；
B、函数的定义域为，但，当，即时等号成立，故B不符合；
C、函数的定义域为，，故C符合；
D、函数的定义域为，但，故D不符合.
故答案为：AC.
【分析】根据特值以及基本不等式判断即可.
11．（2024高一上·越秀期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.2m．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，可知振幅，周期，则，故A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，故D错误；
根据题意，当时，，即，可得，故C正确.
故答案为：ABC.
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解判断即可.
12．（2024高一上·越秀期末）已知函数，，则（ ）
A． B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称 D．的最大值为
【答案】B,C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，可得，即，
函数图象，如图所示：
A、，，不满足，故A错误；
B、，结合图象，的最小正周期为，故B正确；
C、，
的图象关于直线对称，故C正确；
D、函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，
的最大值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由题意，将函数写成分段函数，结合函数的图象以及函数奇偶性、对称性和单调性逐项判断即可.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·越秀期末）命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题直接写答案即可.
14．（2024高一上·越秀期末）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】由题意可得，再化简式子，结合已知条件即可求的值.
15．（2024高一上·越秀期末）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，，则函数的值域是 ．
【答案】
【知识点】函数的值域；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为函数的函数值表示不超过x的最大整数，
所以当时，，则，所以，
因为，所以，所以函数的值域是.
故答案为：.
【分析】根据题意，当时，得，结合不等式的性质，即可求解函数的值域.
16．（2024高一上·越秀期末）如图，要在一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮中截取两块矩形铁皮和，使点在弧上，点在半径上，边与边在半径上，且点为线段的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为，则的最大值为 ，此时 ．
【答案】9；
【知识点】基本不等式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意知，，且，
在直角中，因为，所以，所以，
所以矩形的面积为，
因为为的中点，所以，
所以矩形的面积为，
所以两块矩形铁皮的面积之和为：
，
其中，且，
所以，当时，取得最大值；
此时，即，所以，
因为，所以，即，
解得或（不合题意，舍去），
综上可得，当时，取得最大值.
故答案为：9；.
【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，
化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·越秀期末）已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以．
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，取得最大值
（2）解：不等式即，可化为，解得，或．
因为，所以，或．所以不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】（1）利用基本不等式直接求最大值即可；
（2）将不等式转化为，解一元二次不等式即可得原不等式的解集.
18．（2024高一上·越秀期末）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）解：．
所以函数的最小正周期
（2）解：由（1）得，．
因为，所以，即．
因为，所以．
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）逆用两角和的正弦公式结合正弦型函数的性质求解即可；
（2）由（1）得，，再根据同角三角函数基本关系求，最后借助二倍角公式即可求的值.
19．（2024高一上·越秀期末）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．
【答案】（1）解：为奇函数．
理由如下：函数的定义域为．因为，都有，
且，所以函数为奇函数
（2）解：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
证明如下：，，且，有
．
因为，所以．
当时，，，即，
所以在上是增函数；
当时，，，即，
所以在上是减函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再利用函数的奇偶性定义判断即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
20．（2024高一上·越秀期末）已知函数，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：
．
令，由的单调递减区间为，，
得，解得，，
所以函数的单调递减区间是，
（2）解：把函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数，即的图象．
令，则．
因为，所以，即．
因为在上单调递减，
所以当时，取得最小值1．
所以当时，取得最小值1
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）借助二倍角公式以及辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的单调性计算即可；
（2）根据三角函数的平移变换得到函数的解析式，再结合正弦型函数的性质计算即可.
21．（2024高一上·越秀期末）某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数（单位：万人）之间的关系．
（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；
（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．
【答案】（1）解：依题意得，解得所以．
因为在上单调递增，所以符合预测①．
因为当时，，所以符合预测②
（2）解：由得．
要使得函数符合预测①，则在上单调递增，
则应满足或
当时，，此时符合预测①；
由指数增长可知，一定存在，当，使得，此时不符合预测②．
当时，，此时符合预测①；
由，得，又，所以，即．
要使符合预测②，则需，即．
又，解得．综上所述，的取值范围是
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据题意，将第一年、第二年的参观人数代入解析式，可求得的值，再判断函数是否符合预测①与预测②即可；
（2）同样把“第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人”代入解析式，可求得，再结合对数函数的性质分两种情况判断函数是否符合预测①与预测②，最后求的取值范围即可.
22．（2024高一上·越秀期末）已知函数的定义域为，，，，且，在区间上单调递减．
（1）求证：；
（2）求的值；
（3）当时，求不等式的解集．
【答案】（1）解：令得，
（2）解：令，，则．
因为，所以，即，
所以，所以，即，
所以，所以的一个周期为6．
因为，所以，，，
即的连续六项之和等于0，所以
（3）解：令，得，，又，所以．
令，得，，
又，所以，所以是偶函数．
因为在上单调递减，所以在上单调递增．
令得，因为，所以，
所以不等式可化为，解得．
因为，，所以当时，的解集为．
由（2）知，6是函数的一个周期，
所以当时，不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的性质；函数的周期性；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用赋值法，令证明即可；
（2）利用赋值法可得是以6为周期的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可求值；
（3）利用赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得不等式的解集.
1 / 1
