★机密·启用前
2023-2024 学年第二学期高二年级诊断性监测试题
高二数学·参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C A D A B
题号 7 8 9 10 11 12
答案 A C ACD ABD AD ABC
二、填空题
13．6n 2 14．20 15．192 16．3 2100 3
四．解答题
2
17．(1)b 3n 1n (2) S
n 6n
n 8
【详解】（1）数列 bn 为等比数列，设公比为q，
b2 b1 2，b3 b2 6，则 q 1，
b1(q 1) 2 b2
则 b (q 1) 6，解得
q 3 ，b1 1
2 b
，
1
b 3n 1则 n .
（2）数列 an 为等差数列，设公差为d ，
2 3
由（1）知 S6 b3 3 9， S12 b4 3 27，
S 6a
6 5
6 1 d 9
1
2
d
4
，解得： ，
S 12 11 712 12a1 d 27 a 2 1 8
S 7n n(n 1) 1 n
2 6n
则 n .8 2 4 8
17n 2n2 ,n 4
18．(1) an 4n 19， n N*， 36 (2)Tn
2n
2 17n 72,n 5
【详解】（1）由数列 an 2的前 n 项和 Sn 2n 17n ，
当 n 1时， a1 S1 2 17 15；
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★机密·启用前
2
当 n 2 2时， an Sn Sn 1 2n 17n 2 n 1 17 n 1 4n 19 ；
令 n 1时， a1 4 19 15，满足题意，
所以数列的通项公式 an 4n 19， n N*
由 a 4n 19 0 n
19
n 得 ，4
∴ n 1,2,3,4时 an 0， n 5时， an 0
∴ S
4 3
n 的最小值为 S4 4a1 d 36 .2
（2）由（1）知，当 n 4时，bn an an ；
n 5时，bn an an ， Sn 2n
2 17n ，
当 n 4 T S 2时， n n 17n 2n .
当 n 5时，Tn a1 a2 a3 a4 a5 a6 an S 2S 2n2n 4 17n 72，
2
∴T
17n 2n ,n 4
n .
2n
2 17n 72,n 5
19．(1) an 2n 1 b 3n T n2 2n
1
(2) 3n 1
3
， n n 2 2
【详解】（1）设 an 的公差为d ， bn 的公比为q，由3a4 b3可得：3(3 3d) 3q2，即3 3d q2①，
由 a10 b2 12可得：3 9d 3q 12，即3d q 3②，
d 2
1
d
联立①②解得： 或 3 ，因bn 0，故 d 2,q 3，
q 3 q 2
n 1
于是 an 3 (n 1) 2 2n 1，bn 3 3 3
n .
（2）由（1）得： an 2n 1，bn 3
n
，则 cn an bn 2n 1 3
n
，
故Tn c1 c2 cn (3 5 7 2n 1) (3 3
2 33 3n )
n(3 2n 1) 3(1 3 n)
n2 2n 1 3 3n 1 .
2 1 3 2 2
20．(1) an 2n 1(2)证明见解析
【详解】（1）依题意 a2 a1 d a1 2， a5 a1 4d a1 8，
又 a1、 a2、 a5成等比数列，
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★机密·启用前
2 2
所以 a1a5 a2 ，即 a1 a1 8 a1 2 ，解得 a1 1，
所以 an a1 n 1 d 2n 1 .
1 1 1 1 1
（2）由（1）可得bn an an 1 2n 1 n 1 2 2n 1 2n 1
，
所以 Sn b1 b2 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2 3 5
2 2n 1 2n 1
1
1 1 1 1 1 1
2 3 3 5 2 n 1 2 n 1
1
1 1 1 1 1 .2 2n 1 2 4n 2 2
n 3n 4
21．(1)证明见解析；(2) ；(3) 4 n .3n 1 2
1 3an 1 1 1 1 1
【详解】（1）由题设 3 3a ，又
= 1，
n 1 an an an 1 an a1
1
所以数列 a
是首项为 1，公差为 3的等差数列.
n
1
（2）由（1）可得 1 3(n 1) 3n 2
1
，故 an a ，n 3n 2
b 1 1 ( 1 1所以 n )(3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1 ，
S 1则 n (1
1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 ) n .
3 4 4 7 3n 2 3n 1 3 3n 1 3n 1
3n 2 1 4 7 3n 5 3n 2
（3）由（2）得 cn ，则T 2n n 2 22 23
2 n 1
，
2 n
1T 1 4 7 3 n 5 3 n 2所以 n 2 2 2 23
4 2 2 n 2 n 1 ，
1 1 3 3 3 3 3n 2 3 3 3 3 3 n 2
两式作差得 Tn 2 2 22 23 24 2n
n 1 ，即Tn 1 2 2 2 2 23 2 n 1 2 n
，
1 (1 1 n 1 )
所以Tn 1 3 2 2
3n 2 3n 4
1 2n
4
1 2
n .
2
22．(1)2，5，8，11，8，5，2(2)答案见解析
【详解】（1）设{bn}的公差为d ，则b4 b1 3d 2 3d 11，解得d 3，
数列{bn}为 2，5，8，11，8，5，2．
（2）若1,2,22 , , 2m 1 依次是该数列中连续的项，且是对称数列，
则至少有1 2 m 1 2m 1项，
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从而所有项数不超过 2m 的“对称数列”有：
, 2, 22 , , 2m 2 , 2m 1, 2m 1, 2m 2, , 2 2, 2,1， 1
2m 1, 2m 2 , , 22 , 2,1,1,2,22 , , 2m 2 , 2m 1，
1,2,22, , 2m 2, 2m 1, 2m 2, , 22, 2,1 ，
2m 1, 2m 2 , , 22 , 2,1,2,22 , , 2m 2 , 2m 1，
共有 4个这样的数列（2个 2m 项的，2个2m 1项的）；
当m 10时，求数列1,2,22, , 2m 2, 2m 1, 2m 2, , 22, 2,1 的前19项，
则 S19 1 2 22 28 29 28 22 2 1
1 210 1 29
210 1 29 1 1534 .
1 2 1 2
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{#{QQABIQKEogAgAIIAARgCQQGACECQkAGAAIoOxFAIMAIAyAFABAA=}#}2022-2023 学年第二学期高二年级诊断性监测试题
数 学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题
卡上。并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案
无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题的四个选项中，只有一项符合
题目要求。
1, 1 1 1 11．数列 , , , , 的一个通项公式是（ ）
3 5 7 9
1 1 1 1
A． B． C． D．
2n 1 2n 1 n 1 n
2．已知 an 是等比数列， a3a 25 8a4，且 a2， a6是方程 x 34x m 0两根，则m （ ）
A．8 B． 8 C．64 D． 64
3．若数列{an}是等差数列，且 a2 a4 a6 72，则3a6 a10 （ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
4．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S4 2,S8 16，则 S12 （ ）
A．30 B．26 C．56 D．42
2a
5 n．若数列 an 满足递推关系式 an 1 a 2，且 a1 2，则 a2024 （ ）n
1 2 1 2
A． B． C． D．
1012 2023 1011 2021
6．在等差数列 an 中， a 1
S S
1 ，其前 n项和为 Sn，若 8 6 2，则 S8 6 10
等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
1
{#{QQABIQKEogAgAIIAARgCQQGACECQkAGAAIoOxFAIMAIAyAFABAA=}#}
S 3n 4 a a
7．已知等差数列 an 和 bn 的前 n项和分别为 Sn T n 5 7n，若 T ，则 （ ）n n 2 b2 b10
37 111 111 37
A． B． C． D．
13 13 26 26
8 n．将数列 3n 1 与 2 的公共项从小到大排列得到数列 an ，则 a20 （ ）
A．237 B． 238 C． 239 D． 240
二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，全答对得 5 分，答对部分选项得 2 分，有答错得 0 分）
9．下列选项中能满足数列 1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有（ ）
A a 1 (-1)
n 1 nπ
． n B． an sin2 2
n 1 π 1，n是奇数
C． an cos
2 D． an 2 0，n是偶数
10．下列结论正确的是（ ）
A a 2．若 an 是等差数列，则 2 n 是等比数列 B．若 an 是等比数列，则 an 是等比数列
C．若 an 是等比数列，则 an an 1 是等比数列 D．若 ln an 是等差数列，则 an 是等比数列
11．公差为 d的等差数列 an ，其前 n项和为 Sn， S11 0， S12 0，下列说法正确的有（ ）
A．d 0 B． a7 0 C． Sn 中 S5最大 D． a4 a9
12．若数列 an 满足 a1 1,a2 1,an a n 1 an 2 (n 3,n N )，则称数列 an 为斐波那契数列，又称黄金分
割数列，在现代物理、准晶体结构.化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用，则下列结论成立的是（ ）
A．a7 13 B． a1 a3 a5 a2019 a2020
C． S7 33 D． a2 a4 a6 a2020 a2021
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13 2．已知数列 an 的前 n项和为 Sn 3n n，则数列 an 的通项公式 an .
14．设等比数列 an 中，每项均是正数，且 a5a6 81，则 log3 a1 log3 a2 log3 a10 ．
2
{#{QQABIQKEogAgAIIAARgCQQGACECQkAGAAIoOxFAIMAIAyAFABAA=}#}
15．有一座七层塔，若每层所点灯的盏数都是上面一层的两倍，一共点 381 盏，则底层所点灯的盏数
是 ．
16．已知数列{an}中， a1 1， a nnan 1 2 ，则{an}的前 200 项和 S200 .
四、解答题（共 70 分，第 17 题 10，其它每题 12 分）
17．已知数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列，b2 b1 2，b3 b2 6 .
(1)求数列 bn 的通项公式；
(2)设数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S6 b3， S12 b4 ，求 Sn .
18 2．设 Sn是数列 an 的前 n项和， Sn 2n 17n .
(1)求 an 的通项公式，并求 Sn的最小值；
(2)设bn an ，求数列 bn 的前 n项和Tn .
19．已知等差数列 an 和正项等比数列 bn 满足： a1 b1 3，3a4 b3， a10 b2 12 .
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)已知数列 cn 满足 cn an bn，求数列 cn 的前 n项和Tn .
3
{#{QQABIQKEogAgAIIAARgCQQGACECQkAGAAIoOxFAIMAIAyAFABAA=}#}
20．已知 an 为等差数列，公差 d 2，且 a1、 a2、 a5成等比数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
b 1 b n S S 1(2)记 n a n a
，数列 n 的前 项和为 n，证明： n ．
n 1 2
a
21．已知数列 a a 1 a n n N*n 满足： 1 ， n 1 3an 1
.
1
(1)求证：数列 为等差数列；
an
(2)设bn anan 1，求数列 bn 的前 n项和 Sn；
1
(3)设 cn 2na ，求数列 cn 的前 n项和Tn .n
22．若有穷数列 a1， a2 , ,an , (n是正整数），满足 a1 an，a2 an 1, ,an a1即 ai an i 1(i是正整数，且
1 i n)，就称该数列为“对称数列”．例如，数列 1，3，5，5，3，1 就是“对称数列”.
(1)已知数列{bn}是项数为 7 的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1 2，b4 11，试写出{bn}的每
一项；
(2)对于确定的正整数m 1，写出所有项数不超过 2m 的“对称数列”，使得1,2,22 , , 2m 1 依次是该数列中连
续的项；当m 10时，求其中一个“对称数列”前 19 项的和 S19
4
{#{QQABIQKEogAgAIIAARgCQQGACECQkAGAAIoOxFAIMAIAyAFABAA=}#}
