2023-2024学年江苏省泰州市兴化市文正高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年江苏省泰州市兴化市文正高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则和同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
2.已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D. 单位向量都相等
4.如图所示，在三角形中，，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知单位向量，的夹角为，若，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为边上任意一点，为中点，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量，，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，是的外心，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 模为是一个向量方向不确定的充要条件
B. 若向量，满足，与同向，则
C. 若两个非零向量，满足，则，互为相反向量
D. 的充要条件是与重合，与重合
10.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. 向量与的夹角为 B.
C. D. 向量在上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在矩形中，其中，，上的点满足，为上任意一点，则 ______．
13.在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是______．
14.已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
平面内给定三个向量，，．
Ⅰ求满足的实数，；
Ⅱ若，求实数的值．
16.本小题分
在直角坐标系中，为坐标原点，，，．
若，，三点共线，求，的关系；
若，求点的坐标．
17.本小题分
已知向量，满足，，且与的夹角为．
求；
若与相互垂直，求实数的值．
18.本小题分
已知，为单位向量．满足．，，向量，的夹角为．
求的取值范围；
求的最小值．
19.本小题分
如图，在矩形中，点是边上中点，点在边上．
若点是上靠近的三等分点，设，求的值．
若，，当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得同向的单位向量是
故选：．
与同向的单位向量为，计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：不共线的向量可以作为基底，
不能作为基底的便是共线向量，
显然，，
与共线．
故选：．
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
本题考查向量基底的概念，以及共面向量基本定理．
3.【答案】
【解析】解：不正确，两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，故这个向量不一定相等．
不正确，两个向量的模可以比较大小，但两个向量不相等时是不可以比较大小的，向量还有方向．
C正确，当两个向量相等时，这两个向量一定是共线向量．
不正确，因为单位向量的模都相等但它们的方向不一定相同．
故选：．
研究向量时，不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向，相等的向量都是共线的．
本题考查构成向量的个要素：大小和方向，二者缺一不可；两个向量不相等时，是不能比较大小的．
4.【答案】
【解析】解：如图，根据条件：
．
故选：．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义，便有，化简并把分别换上，便可得到答案．
向量加法、减法，以及数乘的几何意义，向量的加法及数乘运算．
5.【答案】
【解析】解：单位向量，的夹角为，
，，
，
，即，解得．
故选：．
根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加、减法运算，属于中档题．
设，将向量用向量、表示出来，即可找到和的关系．
【解答】
解：设，
则
，
由，，，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设平面向量，的夹角为
平面向量，，，，则，
故的最大值为，
故选：．
设平面向量，的夹角为，根据向量的数量积公式即可求出．
本题考查的向量的数量积和向量的模，以及三角函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：过点分别作于点，于点，
根据圆的性质可得，分别为，的中点，
．
故选：．
根据圆的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质进行求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，因为模长为的向量方向是不确定的，所以充分性成立，
因为一个方向不确定的向量的模长为，所以必要性成立，故A正确，
对于，表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，
对于，由可得，即与模长相等，方向相反，所以，互为相反向量，故C正确，
对于，由于向量可以平行移动，所以由不一定能得到与重合，与重合，故D错误，
故选：．
根据向量的定义及其有关概念，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的定义及其有关概念，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，故B正确；
，，与夹角为，与不共线，故A错误；
，故C错误；
，，故D正确．
故选：．
利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，因为，
所以向量 与的夹角为，故A错误；
对于，向量 在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
根据平面向量的坐标运算公式，逐项计算即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量等，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在矩形中，其中，，上的点满足，是的一个等分点，为上任意一点，
所以．
故答案为：．
画出图形，利用向量的数量积转化求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，
因此是船在静水中的航行方向，
，，则，
，
故该船行驶的航程为．
故答案为：．
根据向量加法的三角形法则作出示意图，在三角形中进行计算即可．
本题考查向量加法的实际应用，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：在直角梯形，，，，
则，，，
设，，
则，
又，
则，
则的取值范围为，
故答案为：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
15.【答案】解：Ⅰ，，，，．
，解得，．
Ⅱ，，，，
，
，
，解得．
【解析】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用向量坐标运算性质、向量相等即可得出．
利用向量共线定理即可得出．
16.【答案】解：在直角坐标系中，为坐标原点，
，，．
由题意知，，
．
，，三点共线，
，
，
．
，
，
，解得．
点的坐标为．
【解析】本题考查两实数的关系的判断，考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，由，，三点共线，得，由此推导出．
由，得到，由此能求出点的坐标．
17.【答案】解：，，且与的夹角为，
，
．
与相互垂直，
，
，，
，即，解得．
【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及向量模公式，即可求解．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量模公式，向量垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：，，，，
，，，
的取值范围为．
设与的夹角为，则，
，
，，
，
函数在为减函数，
的最小值为．
【解析】利用平面向量数量积的性质及其运算即可求出的范围．
先求出和，，进而求出，再利用单调性即可求解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
19.【答案】解：
，
又，
，，．
以，为，轴建立直角坐标系如图：，，
则，，，
设，，
，，
，
，
，
．
【解析】本题考查向量的加减的几何意义和向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力．
根据向量的加减的几何意义即可求出；
建立平面直角坐标系，设，根据向量坐标的数量积求出，即求出的长．
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