2023-2024学年河南省郑州高新技术产业开发区第二中学高一（下）质检数学试卷(含解析）

2023-2024学年河南省郑州市高新二中高一（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为
．( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
4.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能确定三角形有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若：：：：，则( )
A. B. C. D.
8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A. B.
C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的模为
10.已知中，其内角，，的对边分别为，，，下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 若，，则外接圆半径为
C. 若，则为直角三角形
D. 若，，，则
11.设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点是边的中点
B. 若，则点在边的延长线上
C. 若，则点是的重心
D. 若，且，则的面积是面积的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，若与共线，则实数 ______．
13.一条河宽为，一船从处出发垂直航行到达河正对岸的处，船速为，水速为，则船到达处所需时间为______
14.的内角，，的对边分别为，，已知，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设向量，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若、、，求的值；
Ⅲ若，，，求证：，，三点共线．
16.本小题分
某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，求：
Ⅰ处与处之间的距离；
Ⅱ灯塔与处之间的距离．
17.本小题分
单位向量，满足．
求与夹角的余弦值；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，，而且．
求；
求周长的最大值．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
若，求；
若，求，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故，
先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据平面向量的线性运算可得答案．
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、两角和与差的正弦公式的逆用、利用诱导公式化简，属于基础题．
由题意利用正弦定理可得，利用两角和的正弦公式和诱导公式求得的值，进而可得角的大小，由此即可判断的形状．
【解答】
解：的内角，，所对的边分别为，，，由题意知，
由正弦定理得，，，
则，则，
因为，所以
因为，所以，所以，故三角形为直角三角形．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，
则，
向量在上的投影向量为．
故选：．
由已知利用数量积求与的夹角，再由投影向量的概念求解．
本题考查由数量积求夹角，考查投影向量的概念，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题可知，
点在上，
，
，
，，
．
故选：．
根据平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，由对应系数相等列方程求解即可．
本题主要考查了平面向量三点共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：、，，，
由正弦定理得：，
，，
则只有一解，不合题意；
B、，，，
由正弦定理得：，
，，
则有两解，符合题意；
C、，，，
由正弦定理得：，
，，
则只有一解，不合题意；
D、，，，
由正弦定理得：，
，，
则只有一解，不合题意，
故选：．
各项利用正弦定理列出关系式，将，，的值代入求出的值，利用三角形边角关系判断即可．
本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：中，：：：：，
由正弦定理，可得：：：：：，
设，，，
由余弦定理，得．
故选：．
根据正弦定理，结合题意得：：：：：，由此结合余弦定理算出的值，
本题给出三角形三个角的正弦之比，求三角形内角的余弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，以点为坐标原点，
分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为，
则，
所以，，设，
则，，
则，
所以，当点在线段上时，取最小值．
故选：．
以点为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，由即可求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积运算，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知平面向量，，
对于选项A，，即选项A正确；
对于选项B，，则，即与不垂直，即选项B错误；
对于选项C，，即与的夹角为锐角，即选项C错误；
对于选项D，在上的投影向量的模为，即选项D正确．
故选：．
由平面向量的数量积运算，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于当，此时，故A错误；
对于由正弦定理，可知，，故B正确；
对于因为，
所以，即，
整理可得，即，
因为，为三角形的内角，
所以，即为等腰三角形，故C错误；
对于因为，，，
所以，D正确．
故选：．
代入特殊值，即可判断；根据正弦定理即可判断；边角互化，转化为三角恒等变形，即可判断；根据三角形面积公式，即可判断．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：若，则点是边的中点，故A正确；
若，即有，即，
则点在边的延长线上，故B错误；
若，即，则点是的重心，故C正确；
若，且，可得，设，
由右图可得为的中点，则的面积是面积的，故D正确．
故选：．
由向量的中点表示可判断；由向量的加减运算，可判断；由三角形的重心的向量表示可判断；由三点共线的向量表示，以及三角形的面积公式可判断．
本题考查向量的中点表示和三点共线的向量表示，以及三角形的重心的向量表示，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，
则，
若与共线，
则，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：如图，
则，，，
．
所需时间 ．
该船到达处所需的时间为
故答案为：．
根据题意画出示意图，求得实际速度，即可求解．
本题考查平面向量的实际应用，考查建模能力，运算求解能力，属于基础题
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．
直接利用正弦定理求出的值，进一步利用余弦定理求出的值，最后求出三角形的面积．
【解答】
解：的内角，，的对边分别为，，．
，
利用正弦定理可得，
由于，，
所以，
所以，则
由于，
则：，
当时，，
解得，
所以．
当时，，
解得不合题意，舍去．
故：．
故答案为：．
15.【答案】解：Ⅰ向量，，
，
．
Ⅱ，
，
，，
．
证明：Ⅲ，，
，，
，与有公共点，
，，三点共线．
【解析】Ⅰ利用向量的线性坐标运算即可求解．
Ⅱ利用向量的数乘和相等的坐标运算即可求解．
Ⅲ利用向量的共线证明即可．
本题主要考查了平面向量的坐标计算，向量的共线，属中档题．
16.【答案】解：Ⅰ在中，由已知得，
由正弦定理得
Ⅱ在中，由余弦定理得，解得．
所以处与处之间的距离为，灯塔与处之间的距离为．
【解析】Ⅰ利用已知条件，利用正弦定理求得的长．
Ⅱ在中由余弦定理可求得，答案可得．
本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是根据题意建立适当的三角函数模型，利用正弦定理，余弦定理等常用公式来求解．
17.【答案】解：因为，，
所以，即，
则，
则，
即与夹角的余弦值；
因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
当与共线时，有，
即，
由知与不共线，所以，解得，
所以当与不共线时，，
由，得，
即，解得，
所以且，
即实数的取值范围为．
【解析】利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值；
由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解．
本题考查平面向量的夹角及数量积运算，属中档题．
18.【答案】解：因为，所以，
由余弦定理得，
因为，所以；
由可知，，
在中，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以，即周长的最大值为．
【解析】由余弦定理计算即可求得；
由余弦定理和基本不等式计算即可．
本题考查利用正余弦定理和基本不等式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：
中，，，，解得，
，，
故；
，
，
，，
则，
，
，即，
由解得，
，
，又，
．
【解析】根据已知条件，推得，过作，垂足为，依次求出，，即可求解；
根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
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