2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年江苏省常州二中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则的形状一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
4.已知向量，，那么“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
7.若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
8.已知中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 在中，，，，若，则为锐角三角形
B. 非零向量和满足，，则
C. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
D. 在中，若，则与的面积之比为
10.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称，则的最小值是
D. 若实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则．
11.直角中，斜边，为所在平面内一点，其中，则( )
A. 的取值范围是
B. 点经过的外心
C. 点所在轨迹的长度为
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，，，则______．
13.设、、是单位向量，且，则的最小值为______．
14.笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，当 时，．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
当为何值时，与垂直
若，且、、三点共线，求的值．
16.本小题分
已知向量和，则，，求：
的值；
的值；
与的夹角的余弦值．
17.本小题分
如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点．若，．
试以为基底表示，；
求证：，，三点共线．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ化简的表达式并求函数的周期；
Ⅱ当时，若函数在时取得最大值，求的值；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，将函数图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递增区间．
19.本小题分
已知点为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
设函数，试求的相伴特征向量；
记向量的相伴函数为，当，且时，求的值；
已知点、，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
直接利用向量的数量积化简求解即可．
本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数的应用，是基本知识的考查．
2.【答案】
【解析】解：设，则，
，解得，
．
故选：．
可设，根据条件可得出，然后得到，的值，从而得出点的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，即，
所以，
所以是直角三角形．
故选：．
先用向量表示出，结合向量运算可进行判定．
本题主要考查平面向量的运算，结合向量的运算判断三角形的形状，侧重考查数学运算的核心素养．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，以及向量平行，属于基础题．
由向量平行求出的值，再根据充分、必要条件的定义判断即可．
【解答】
解：向量，，，则，解得，
则“”是“”的充分而不必要条件，
即向量，，那么“”是“”的充分而不必要条件，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：在上的投影向量是，
故选：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于一般题．
法：由已知的等式记作，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作，再根据为锐角，联立求出和的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．
法：利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式，通过同角三角函数基本关系式求解即可．
【解答】
解：法：由，，
又，且，
联立解得：，，
．
故选：．
法：，且，可得，
即：，，
则．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：将函数
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，
令，求得，可得的减区间为，，
故选：．
利用三角恒等变换化简的解析式，再根据的图象变换规律求得的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数的单调递减区间．
本题主要考查三角恒等变换，的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，
设，且，，三点共线，，，三点共线，
，，且，
，，解得，
，
，，设，，，则，
，解得，
．
故选：．
可画出图形，可设，根据，，三点共线，，，三点共线即可求出，，然后可设，，，然后可得出，解出，，然后即可求出的值．
本题考查了共线向量基本定理，三点共线的充要条件，平面向量基本定理，三角形的面积公式，考查了计算能力，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于，在中，，，，若，说明是锐角，不能判断、的大小，所以判断为锐角三角形是不正确的，所以不正确；
对于，非零向量和满足，，可得，可得，，所以，所以B正确；
对于，因为，，且与的夹角为锐角，所以 ，
且与不共线，
所以 ，
所以，
当与共线时，，解得，
所以的取值范围为且，
所以不正确；
对于，中，，
所以，
分别取、的中点，，连接、和，
则，所以，
所以，
所以．
又因为，
所以同理，所以，
所以，所以D正确．
故选：．
利用向量的数量积判断角的大小，判断的正误；利用向量的模的运算法则求解判断的正误；利用向量的数量积，转化求解的范围判断的正误；通过向量关系，转化求解三角形的面积的比值，判断的正确即可．
本题考查了向量在几何中的应用问题，以及向量的数量积的应用，模的运算法则的应用，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
对于，令，
所以，
因为，
所以令，则，
所以单调增区间是，故正确；
对于，因为，所以不是对称中心，故错误；
对于，的图象向左平移个单位长度后得到，
且是偶函数，
所以，所以且，
所以时，，故正确；
对于，因为，作出在上的图象如图所示：
与有且仅有三个交点：
因为，，所以，
所以，又因为时，且、关于对称，
所以，所以，故正确．
故选：．
先利用辅助角公式化简，再根据函数，结合三角函数的性质及图形，对各选项依次判断即可．
本题考查了三角函数的图象与性质，作出图象是关键，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以，，共线，故在线段上，轨迹长为，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确．
故选：．
由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断；若为中点，根据已知有，，共线，即可判断、；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
，且，
，
，
，且，
，
．
故答案为：．
根据条件即可得出，然后可得出，然后根据两角差的余弦公式即可求出答案．
本题考查了正余弦函数在各象限的符号，不等式的性质，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，余弦函数的值域，把要求的式子化为是解题的关键．
由题意可得，故要求的式子即，再由余弦函数的值域求出它的最小值．
【解答】
解：、、 是单位向量，，
．

．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的运算法则，属于基础题．
根据题意，得到，，再利用数量积的法则，把式子展开即可求出．
【解答】
解：由题意得，，，
，
，．
故答案为：．
15.【答案】解：，，
因为垂直，所以，
即，得．
，
因为，，三点共线，所以．
所以，即，
所以．
【解析】与垂直，即与的数量积为，利用坐标计算可得值；
因为，，三点共线，所以，利用平面向量共线的坐标公式计算可得的值．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
16.【答案】解：，，，
；
，
；
，
．
【解析】根据平面向量的数量积的定义即可求解；
根据平面向量的数量积的性质与定义即可求解；
根据平面向量的夹角公式即可求解．
本题考查平面向量的数量积的定义及性质，属基础题．
17.【答案】解：是的中点，，，
，．
证明：由图可知，，，三点共线，
则存在实数，使得，
，
，
同理，由，，三点共线，可得存在实数，使得，
根据平面向量的基本定理可得，，解得，
，即，共线，且，有公共点，
，，三点共线．
【解析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．
根据已知条件，结合，，三点共线，，，三点共线，以及平面向量的基本定理，即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ
，
的周期为；
Ⅱ函数在时取得最大值，
，，
又，；
Ⅲ由Ⅱ可知，则将函数图象上各点的横坐标扩大
到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
由，解得，
所以的单调递增区间为．
【解析】Ⅰ利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，然后利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；
Ⅱ当时，由可得的值；
Ⅲ由Ⅱ可得，利用伸缩变换法则得到函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调递增区间．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，诱导公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的图象变换及正弦函数性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：
，
故函数的伴随特征向量．
因为向量的相伴函数为
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故
．
函数，
若为的伴随向量，则，
所以，
设点，
又点、，
所以，，
因为，所以，
所以，
整理得，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
即当且仅当时，，上述等式成立，
所以在的图象上存在点，使得成立．
【解析】本题考查平面向量的新定义问题、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、利用余弦函数的单调性解不等式、正弦型函数的图象变换、三角恒等变换的综合应用、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用诱导公式化简、求余弦型函数的值域或最值，属于难题．
利用两角和的正弦公式以及诱导公式化简的解析式，结合伴随向量的定义求出的相伴特征向量．
利用伴随向量的定义结合辅助角公式求出的值，由同角三角函数基本关系求出的值，根据两角差的正弦公式求出的值．
由向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，结合余弦型函数的性质求出点的坐标．
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