2024年九年级中考数学二轮专题复习课件 专题七 图形的折叠、旋转与平移 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第二部分 专题复习
专题七 图形的折叠、旋转与平移
(2023·达州改编)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
解：(1)△A1B1C1即为所求，如图．
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C，画出△A2B2C；
解：(2)△A2B2C即为所求，如图．
(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积；
(3)S△ABC＝2×3－×2×1－×2×1－×3×1＝.
∵AC＝＝，∴S扇形AC ) ＝＝.
∴在(2)的运动过程中△ABC扫过的面积为S＝S△ABC＋S扇形AC ＝.
(4)作△A2B2C关于直线l的轴对称图形△A3B3C．
(4)△A3B3C即为所求，如图．
(2023·凉山州)如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ 　2　 ．
2　
(2023·娄底)如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin ∠AFB＝，则DE＝ 　5　 ．
5　
(2021·广东)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．
解：如图，延长BF交CD于点H，连接EH.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠D＝∠DAB＝90°，AD＝CD＝AB＝1.
∴AC＝＝＝.
由翻折的性质可知，AE＝EF，∠EAB＝∠EFB＝90°，∠3＝∠4.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝EF＝.
在Rt△EHD和Rt△EHF中，
∴Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)．∴∠1＝∠2.
∵∠DEF＋∠AEF＝180°，∴2∠1＋2∠3＝180°.
∴∠1＋∠3＝90°.
∵∠3＋∠5＝90°，∴∠1＝∠5.
∴△EDH∽△BAE.
∴＝＝. ∴DH＝. ∴CH＝.
∵CH∥AB，∴△CHG∽△ABG.
∴＝＝.
∴CG＝AC＝.
(2022·深圳节选)(1)发现：如图1所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
(1)证明：∵将△AEB沿BE翻折得到
△FEB，四边形ABCD是正方形，
∴BF＝AB，∠BFE＝∠A＝∠C＝90°.
∴∠BFG＝90°＝∠C．
∵AB＝BC＝BF，BG＝BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)．
(2)探究：如图2，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．
(2)解：延长BH，AD交于点Q，如图．
设FH＝CH＝x，则BH＝6＋x.
在Rt△BCH中，BC2＋CH2＝BH2，
即82＋x2＝(6＋x)2.解得x＝.
∴DH＝DC－CH＝.
∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠GBF＝∠HBC，∴△BFG∽△BCH.
∴＝＝，即＝＝.
∴BG＝，FG＝.
∵DQ∥CB，∴△DHQ∽△CHB．
∴＝，即＝. ∴QD＝.
设AE＝EF＝m，则DE＝8－m.
∴EQ＝DE＋QD＝8－m＋＝－m.
∵EQ∥GB，∴△EFQ∽△GFB．
∴＝，即＝.解得m＝.
∴AE的长为.
(毕节中考)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证：BD＝CE，BD⊥CE；
(1)证明：如答图1，设AC与BF交于点O.
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
又∵∠AOB＝∠COF，∴∠BFC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CE.
(2)如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
(2)解：AF∥DC．
理由如下：如答图2，过点A作AG⊥BF于点G，AH⊥CE于点H.
由(1)知△ABD≌△ACE.
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE.
∴BD·AG＝CE·AH. ∴AG＝AH.
又∵AG⊥BF，AH⊥CE， ∴FA平分∠BFE.
又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°.
∵∠BDC＝135°，∴∠FDC＝45°.
∴∠AFD＝∠FDC．∴AF∥DC．
(2023·自贡)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4.
(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；
解：(1)如答图1，以C为圆心，CM长为半径画圆，连接CN交DE于M1，延长NC交⊙C于M2.
∵△ACB是等腰直角三角形，N是AB的中点，
∴CN平分∠ACB，CN＝AB＝×4＝2.
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴M1是DE的中点．∴CM1＝DE＝×2＝1.
∴点M，N距离的最小值是NM1＝CN－CM1＝2－1＝1，点M，N距离的最大值是NM2＝CN＋CM2＝2＋1＝3.
(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．
(2)如答图2，连接CM，CN，作NH⊥MC交MC的延长线于点H.
∵△ACB是等腰直角三角形，点N是AB的中点，
∴CN＝AB＝2.同理，CM＝DE＝1.
∵△CDE绕顶点C逆时针旋转120°，∴∠MCN＝120°.
∴∠NCH＝180°－∠MCN＝60°.
∴CH＝CN＝1.∴NH＝＝.
∵MH＝MC＋CH＝2，∴MN＝＝.
(广东中考节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋x－与x轴交于点A，B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE.
(1)解：令x2＋x－＝0，解得x1＝1，x2＝－7.
∴A(1，0)，B(－7，0)．
由y＝x2＋x－＝(x＋3)2－2，得D(-3，-2).
(1)求点A，B，D的坐标；
(2)求证：四边形BFCE是平行四边形．
(2)证明：∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ACF＝∠ECF，CF＝CA．
∵CO⊥AF，∴OF＝OA＝1.
∴F(－1，0)．又D(－3，－2)，
易求得直线DF的解析式为y＝x＋.
当x＝0时，y＝.
∴C(0，)．
∴OC＝.
∴CA＝CF＝＝2.
又FA＝2，∴△ACF是等边三角形．
∴∠AFC＝∠ACF.
∴∠ECF＝∠ACF＝∠AFC＝60°.
∴EC∥BF.
∵EC＝DC＝＝6，BF＝6，∴EC＝BF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
(2023·北京)在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.
(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：点D是MC的中点；
(1)证明：由旋转的性质，得DM＝DE，∠MDE＝2α.
∵∠C＝α，∴∠DEC＝∠MDE－∠C＝α.
∴∠C＝∠DEC．∴DE＝DC．
∴DM＝DC，即点D是MC的中点．
(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
(2)解：∠AEF＝90°.证明如下：
如图，延长FE到H使EH＝FE，连接CH，AH，AF.
∵DF＝DC，∴DE是△FCH的中位线．∴DE∥CH，CH＝2DE.
由旋转的性质，得DE＝DM，∠MDE＝2α.∴∠FCH＝2α.
∵∠B＝∠ACB＝α，∴∠ACH＝α，△ABC是等腰三角形．
∴∠B＝∠ACH，AB＝AC．
设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m＋n，DF＝CD＝n.
∴FM＝DF－DM＝n－m.
∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m＋n.
∴BF＝BM－FM＝m＋n－(n－m)＝2m.
∴CH＝BF.
在△ABF和△ACH中，
∴△ABF≌△ACH(SAS)．∴AF＝AH.
∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°.
(2023·濮阳二模)如图，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，点A在x轴的正半轴上，B点坐标为(2，4)，反比例函数y＝(x>0)的图象过斜边OB的中点D，交AB于点C．
(1)求反比例函数的解析式及△OBC的面积；
解：(1)∵B(2，4)，点D为OB的中点，∴OA＝2，AB＝4，D(1，2)．
把D(1，2)代入y＝，得k＝2.
∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0)．
∵C在AB上，∠OAB＝90°，∴设点C(2，m)，代入y＝，得m＝1.
∴C(2，1)．∴AC＝1.∴BC＝AB－AC＝3.
∴S△OBC＝OA·BC＝×2×3＝3.
(2)将Rt△ABO沿x轴向右平移到△A′B′O′的位置，若四边形OBB′O′是菱形，求B′O′与y＝(x>0)图象的交点E的坐标．
(2)在Rt△OAB中，OA＝2，AB＝4，
∴OB＝＝＝2.
∵四边形OBB′O′是菱形，
∴O′(2，0)，B′(2＋2，4)．
设直线B′O′的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)．
把O′(2，0)，B′(2＋2，4)代入y＝k1x＋b1，
得 解得
∴直线B′O′的解析式为y＝2x－4.
∵直线B′O′与反比例函数图象的交点为E，
∴联立，得
解得(负值已舍去)
∴E(+，2－2)．
(2023·萍乡模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在y轴上，AC∥x轴，点C的坐标为(4，6)，AB＝3，将△ABC向下方平移，得到△DEF，且点A的对应点D落在反比例函数y＝(x>0)图象上，点B的对应点E落在x轴上，连接OD，OD∥BC．
(1)求证：四边形ODFE为平行四边形；
(1)证明：由平移的性质，可知BC∥EF，AC∥DF，AB∥DE.
∵AC∥x轴，且OE在x轴上，
∴AC∥OE.∴DF∥OE.
∵OD∥BC，BC∥EF，∴OD∥EF.
∴四边形ODFE为平行四边形．
(2)求反比例函数y＝(x>0)的表达式；
(2)解：连接CD，如图．
∵四边形ODFE为平行四边形，∴OD＝EF＝BC．
又∵OD∥BC，∴四边形BCDO是平行四边形．
∴CD＝OB，CD∥AB．
∵DE∥AB，∴C，D，E三点共线．
∴CE∥AO.
∵AC∥OE，∴四边形ACEO是平行四边形．
∴OE＝AC．
∵点C的坐标为(4，6)，AB＝3，∴OE＝AC＝4，DE＝AB＝3.
∴点D的坐标为(4，3)．
∵点D在反比例函数y＝(x>0)的图象上，∴k＝4×3＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
(3)求△ABC平移的距离及线段BC扫过的面积．
(3)解：连接BE，CF，如图．
在Rt△BOE中，OB＝OA－AB＝6－3＝3，OE＝4，
∴BE＝＝＝5.
∴△ABC平移的距离为5.
∵BC∥EF，BC＝EF，∴四边形BCFE是平行四边形．
∴S BCFE＝2S△BCE＝2×CE·OE＝2××6×4＝24.
∴线段BC扫过的面积为24.