勾股定理(1)教材辅导
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文档简介
课件40张PPT。勾股定理教材版本：人教版
授课年级：八年级一、教材分析
教材地位和作用
勾股定理是义务教育课程标准实验教科书八年级第十八章的内容。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，也是初中数学中的一个重要的学习内容。勾股定理有着悠久的历史和丰富的文化内涵，它在数学的发展中起过重要的作用，在现实的生产生活和其他的学科领域有着广泛的应用。。
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来。同时，它也是初三几何中解直角三角形及圆有关计算必备的基础知识。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）学习目标
依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，应用数学思维方式观察、分析、探索、发现规律，并应用其解决生活中的实际问题，培养学生的实践能力，使学生学有所得，且能学以致用。 1、知识与技能目标
经历勾股定理的探究过程，掌握勾股定理。通过实践操作，理解勾股定理的证明过程，能利用勾股定理进行计算，并且会用勾股定理解决实际问题。
2、过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生在“观察—猜想—归纳—验证”过程中，感受到数学思考过程的条理性，经历由特殊到一般的数学方法，并体会数形结合的数学思想，发展学生数学推理的思维，培养学生的观察力、抽象概况能力、创造想象能力以及科学探究的能力。 3、情感态度与价值观目标
(1) 通过实践、猜想、拼图、证明等操作，使学生深刻感受数学知识的发生发展过程；通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国以及祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感。
(2)让学生体验通过自己的努力获取知识的的成就感，体验数学学习充满探索和创造。 （三）教学重点难点
重点：勾股定理及其应用是本章节的核心内容，应作为本节课的教学重点。
难点：拼图法验证勾股定理。
拼图法验证勾股定理的过程中，需要经历观察、比较、拼图、计算、推理等一系列活动，尤其在构思拼图方法时，需要比较复杂的思维活动，具有一定的挑战性，因而被确定为本节的难点。 教法与学法
1、学生基本情况：
学生心理分析：经过一年多的几何学习，学生对几何图形的观察、分析、归纳、概括等方面，已有了一定的经验，整体感知几何图形的能力以及几何证明的思维能力已初步形成。在新知识的探索过程中，部分学生能够抓住问题的关键所在，有条理的整理归纳所学知识，生成新知识。所以，他们希望老师创设便于他们进行观察的环境，给他们表现才华的机会，满足他们的求知欲，感受成功的喜悦。 学生已有的知识经验：
前面的教材里已经接触过网格中的多边形，对于求网格中各种不规则的多边形的面积，很多学生已经掌握解题技巧，能够运用比较恰当的方法求多边形的面积，这是突破本节重点知识所必有的基础。 2、教法方法与策略：
依据课改精神“以学生为主体，激活课堂气氛，活跃学生的思维，让他们积极主动参与教学过程”，根据本节课的教学目标、教学内容，针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课可选择自主探索与合作交流的研讨式的学习方式，引导学生围绕图形面积，展开一系列由浅入深，由特殊到一般的探索过程。学生通过自己的直观情景观察和计算，以及相互间的合作交流，并从中获取知识。这种教学方式的选择，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法指导：
在教师的组织引导下，学生采用自主探索与合作交流的研讨式学习方法。在探究活动中，通过观察—猜想—整理—归纳等一系列思维活动，培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人。
在学生探究问题，给学生提供充分的时间和空间，让他们充分发表自己见解，展示自己才华，充分发挥学生的主体作用。通过观察分析，动手操作，整理归纳，交流讨论等活动，发展学生的数学推理的意识，培养学生的观察力、抽象概况能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力。 多媒体的运用
本节课采用了多媒体辅助教学，能够直观、生动的展示图形，给人以视觉的冲击，带来一种图像美的享受，吸引学生的注意力，激发学习探究的兴趣。利用多媒体演示各种图形的变化情况，增强教学形象性，有利于突出重点，分散难点，更好的提高课堂效率。
教学流程：
（一）创设情境，导入新课；
（二）探究直角三角形三边 的关系；
（三）拼图法证明勾股定理；
（四）应用知识、回归生活；
（五）总结反思布置作业。
设计说明 1、这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会运用观察、猜想、归纳、验证的过程和数形结合的思想。
2、从学生喜闻乐见的科学家故事到大风断树的题目，选择学生身边的、感兴趣的事物着手，体现了数学源于生活同时又回归于生活服务于生活。 3、探索定理采用了面积法,引导学生利用由特殊到一般的方法对直角三角形三边关系的研究,得出结论.这种方法是认识事物规律重要方法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好思维品质的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。
我国一沿海城市，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
创设情境，导入新课： 设计意图：
依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，激发学生的探究欲望，教师引导学生将实际问题转化成数学问题。这一问题情境也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边”的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且符合《新课程标准》的精神，反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生的这一基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个将实际问题“数学化”的过程。
探究：直角三角形三边的关系
材料：我选用的是课本教材所给的探究题材，毕达哥拉斯从朋友家的地砖中的发现，这个题材来自于传说故事，也是从实际生活中发现的问题。图片不仅给学生带来一种视觉上的刺激，给他们一种图形美的感受，也激发他们的学习兴趣，产生学习的渴望，加上文字说明，学生在不知不觉中进入学习的状态。 探究活动分两部分进行：
活动一：探究等腰直角三角三边关系
活动二：一般的直角三角形三边关系 相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在一次赴晚宴时，看着由正方形木板铺成的地面，他发现了一个很有趣的规律，请同学们也来看看，你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢?【】提出问题发现探索思考：计算图中个正方形的面积，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？（２）、填表：发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积观察：三个正方形围成的直角三角形，说一说直角三角形三边长满足什么关系。探究意图：
数学知识的学习，究其根本就是要让学生实现知识的再创造。在本次探究活动中，以学生的观察、分析、讨论、操作、归纳为主线，感受新的数学原理。就这样在自己的一系列思维活动中产生一种成就感。在整理旧知识生成新知识的过程中，培养了学生的分析问题和解决问题的能力，语言表达能力也得到了锻炼，同时学生也体会了数形结合的数学思想。 等腰直角三角形三边具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”的规律，一般的直角三角形三边也有这个规律吗？ 想一想观察右边两幅图： （每个小正方形的面积为单位1） （1）、填表：计算图中正方形的面积 （2 ）、说一说：图中三个正方形围成的三角形的三边有何关系？ 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 以上图形所给的数据都是整数，如果直角边的长度不是整数，这个结论是否还能成立？ 设计意图：
这一环节采用自主合作探究的学习方式进行，把对问题的探究过程完全交给学生，充分的发挥学生主体地位和作用。
学生通过探究发现，一般的直角三角形，也具有等腰直角三角形三边所所具有的规律，让学生体会到这个结论更具有一般性，实现了知识由特殊到一般的转化，这也是认识事物规律的重要方法之一，掌握了这种方法，有利于学生良好思维品质的形成。
运用手中的四个全等的直角三角形，你能否拼出一个以直角三角形的斜边为边长的正方形吗？比一比 ，看谁先拼出来拼图游戏（三）、拼图游戏 （1）运用四个全等的直角三角形，拼出以直角三角形的斜边为边长的正方形 （2）将各种拼图记录下来，并在各图中用a、b、c分别表示出各线段的（a、b、c是直角三角形的三边长） （3）利用各自的拼图，你能证明 a2+b2=c2吗？
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.游戏意图分析：
本节学习的中心问题是利用拼图方法验证勾股定理。由所拼图形的面积之间的关系，经恒等变形得到勾股定理。
课本教材中，直接介绍了拼图的方法，我在实际教学中没有把教材所提供的方法简单地呈现给学生，因为我认为，如果把图的拼接方法，直接呈现给学生，整个学习过程就变成了一个简单的按图操作活动。应当首先鼓励学生构思自己的拼图方法，并阐述其中的道理。再对学生构思的不同方法进行交流、评判，这样才能使学习活动成为一种具有挑战性的研究活动。
利用所拼图形面积的恒等关系，让学生确信定理的正确性；通过拼图游戏，发散学生的思维，锻炼学生的动脑、动手的实践能力。 我国一沿海城市，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
创设情境，导入新课：（四）、应用知识、回归生活1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、若等腰三角形中，腰长为5，底边长为8，求三角形底边上的高？ 3．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 4、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离
本节课的教学设计能较充分体现 “以学生的发展为本” 的教育理念,借助多媒体手段提高课堂教学效率,激发学生的学习兴趣，培养学生自主、合作、互动的能力，有效的解决了教材重点和难点两大问题，达到了预期的教学目的，体现了新课程标准及素质教育的精神。五、教学反思 谢谢
授课年级：八年级一、教材分析
教材地位和作用
勾股定理是义务教育课程标准实验教科书八年级第十八章的内容。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，也是初中数学中的一个重要的学习内容。勾股定理有着悠久的历史和丰富的文化内涵，它在数学的发展中起过重要的作用，在现实的生产生活和其他的学科领域有着广泛的应用。。
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它安排在学生学习了三角形、全等三角形、等腰三角形等有关知识之后，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来。同时，它也是初三几何中解直角三角形及圆有关计算必备的基础知识。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）学习目标
依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，应用数学思维方式观察、分析、探索、发现规律，并应用其解决生活中的实际问题，培养学生的实践能力，使学生学有所得，且能学以致用。 1、知识与技能目标
经历勾股定理的探究过程，掌握勾股定理。通过实践操作，理解勾股定理的证明过程，能利用勾股定理进行计算，并且会用勾股定理解决实际问题。
2、过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生在“观察—猜想—归纳—验证”过程中，感受到数学思考过程的条理性，经历由特殊到一般的数学方法，并体会数形结合的数学思想，发展学生数学推理的思维，培养学生的观察力、抽象概况能力、创造想象能力以及科学探究的能力。 3、情感态度与价值观目标
(1) 通过实践、猜想、拼图、证明等操作，使学生深刻感受数学知识的发生发展过程；通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国以及祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感。
(2)让学生体验通过自己的努力获取知识的的成就感，体验数学学习充满探索和创造。 （三）教学重点难点
重点：勾股定理及其应用是本章节的核心内容，应作为本节课的教学重点。
难点：拼图法验证勾股定理。
拼图法验证勾股定理的过程中，需要经历观察、比较、拼图、计算、推理等一系列活动，尤其在构思拼图方法时，需要比较复杂的思维活动，具有一定的挑战性，因而被确定为本节的难点。 教法与学法
1、学生基本情况：
学生心理分析：经过一年多的几何学习，学生对几何图形的观察、分析、归纳、概括等方面，已有了一定的经验，整体感知几何图形的能力以及几何证明的思维能力已初步形成。在新知识的探索过程中，部分学生能够抓住问题的关键所在，有条理的整理归纳所学知识，生成新知识。所以，他们希望老师创设便于他们进行观察的环境，给他们表现才华的机会，满足他们的求知欲，感受成功的喜悦。 学生已有的知识经验：
前面的教材里已经接触过网格中的多边形，对于求网格中各种不规则的多边形的面积，很多学生已经掌握解题技巧，能够运用比较恰当的方法求多边形的面积，这是突破本节重点知识所必有的基础。 2、教法方法与策略：
依据课改精神“以学生为主体，激活课堂气氛，活跃学生的思维，让他们积极主动参与教学过程”，根据本节课的教学目标、教学内容，针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课可选择自主探索与合作交流的研讨式的学习方式，引导学生围绕图形面积，展开一系列由浅入深，由特殊到一般的探索过程。学生通过自己的直观情景观察和计算，以及相互间的合作交流，并从中获取知识。这种教学方式的选择，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
学法指导：
在教师的组织引导下，学生采用自主探索与合作交流的研讨式学习方法。在探究活动中，通过观察—猜想—整理—归纳等一系列思维活动，培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主人。
在学生探究问题，给学生提供充分的时间和空间，让他们充分发表自己见解，展示自己才华，充分发挥学生的主体作用。通过观察分析，动手操作，整理归纳，交流讨论等活动，发展学生的数学推理的意识，培养学生的观察力、抽象概况能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力。 多媒体的运用
本节课采用了多媒体辅助教学，能够直观、生动的展示图形，给人以视觉的冲击，带来一种图像美的享受，吸引学生的注意力，激发学习探究的兴趣。利用多媒体演示各种图形的变化情况，增强教学形象性，有利于突出重点，分散难点，更好的提高课堂效率。
教学流程：
（一）创设情境，导入新课；
（二）探究直角三角形三边 的关系；
（三）拼图法证明勾股定理；
（四）应用知识、回归生活；
（五）总结反思布置作业。
设计说明 1、这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会运用观察、猜想、归纳、验证的过程和数形结合的思想。
2、从学生喜闻乐见的科学家故事到大风断树的题目，选择学生身边的、感兴趣的事物着手，体现了数学源于生活同时又回归于生活服务于生活。 3、探索定理采用了面积法,引导学生利用由特殊到一般的方法对直角三角形三边关系的研究,得出结论.这种方法是认识事物规律重要方法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对于学生良好思维品质的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。
我国一沿海城市，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
创设情境，导入新课： 设计意图：
依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，引导学生投入到探索与交流的学习活动中，激发学生的探究欲望，教师引导学生将实际问题转化成数学问题。这一问题情境也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边”的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且符合《新课程标准》的精神，反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生的这一基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个将实际问题“数学化”的过程。
探究：直角三角形三边的关系
材料：我选用的是课本教材所给的探究题材，毕达哥拉斯从朋友家的地砖中的发现，这个题材来自于传说故事，也是从实际生活中发现的问题。图片不仅给学生带来一种视觉上的刺激，给他们一种图形美的感受，也激发他们的学习兴趣，产生学习的渴望，加上文字说明，学生在不知不觉中进入学习的状态。 探究活动分两部分进行：
活动一：探究等腰直角三角三边关系
活动二：一般的直角三角形三边关系 相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯在一次赴晚宴时，看着由正方形木板铺成的地面，他发现了一个很有趣的规律，请同学们也来看看，你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢?【】提出问题发现探索思考：计算图中个正方形的面积，你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？（２）、填表：发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积观察：三个正方形围成的直角三角形，说一说直角三角形三边长满足什么关系。探究意图：
数学知识的学习，究其根本就是要让学生实现知识的再创造。在本次探究活动中，以学生的观察、分析、讨论、操作、归纳为主线，感受新的数学原理。就这样在自己的一系列思维活动中产生一种成就感。在整理旧知识生成新知识的过程中，培养了学生的分析问题和解决问题的能力，语言表达能力也得到了锻炼，同时学生也体会了数形结合的数学思想。 等腰直角三角形三边具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”的规律，一般的直角三角形三边也有这个规律吗？ 想一想观察右边两幅图： （每个小正方形的面积为单位1） （1）、填表：计算图中正方形的面积 （2 ）、说一说：图中三个正方形围成的三角形的三边有何关系？ 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 以上图形所给的数据都是整数，如果直角边的长度不是整数，这个结论是否还能成立？ 设计意图：
这一环节采用自主合作探究的学习方式进行，把对问题的探究过程完全交给学生，充分的发挥学生主体地位和作用。
学生通过探究发现，一般的直角三角形，也具有等腰直角三角形三边所所具有的规律，让学生体会到这个结论更具有一般性，实现了知识由特殊到一般的转化，这也是认识事物规律的重要方法之一，掌握了这种方法，有利于学生良好思维品质的形成。
运用手中的四个全等的直角三角形，你能否拼出一个以直角三角形的斜边为边长的正方形吗？比一比 ，看谁先拼出来拼图游戏（三）、拼图游戏 （1）运用四个全等的直角三角形，拼出以直角三角形的斜边为边长的正方形 （2）将各种拼图记录下来，并在各图中用a、b、c分别表示出各线段的（a、b、c是直角三角形的三边长） （3）利用各自的拼图，你能证明 a2+b2=c2吗？
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.游戏意图分析：
本节学习的中心问题是利用拼图方法验证勾股定理。由所拼图形的面积之间的关系，经恒等变形得到勾股定理。
课本教材中，直接介绍了拼图的方法，我在实际教学中没有把教材所提供的方法简单地呈现给学生，因为我认为，如果把图的拼接方法，直接呈现给学生，整个学习过程就变成了一个简单的按图操作活动。应当首先鼓励学生构思自己的拼图方法，并阐述其中的道理。再对学生构思的不同方法进行交流、评判，这样才能使学习活动成为一种具有挑战性的研究活动。
利用所拼图形面积的恒等关系，让学生确信定理的正确性；通过拼图游戏，发散学生的思维，锻炼学生的动脑、动手的实践能力。 我国一沿海城市，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
创设情境，导入新课：（四）、应用知识、回归生活1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、若等腰三角形中，腰长为5，底边长为8，求三角形底边上的高？ 3．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 4、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离
本节课的教学设计能较充分体现 “以学生的发展为本” 的教育理念,借助多媒体手段提高课堂教学效率,激发学生的学习兴趣，培养学生自主、合作、互动的能力，有效的解决了教材重点和难点两大问题，达到了预期的教学目的，体现了新课程标准及素质教育的精神。五、教学反思 谢谢