浙江省台州市2023-2024学年高一上学期数学1月期末试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一上·台州期末）若幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·台州期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·台州期末）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·台州期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·台州期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·台州期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·台州期末）已知，若是10位数，则的最小值是（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
8．（2024高一上·台州期末）已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一上·台州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·台州期末）已知函，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数在区单调递减
D．函数的最大值为1
11．（2024高一上·台州期末）定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
12．（2024高一上·台州期末）设是正整数，集合.对于集合中任意元素和，记，
.则（ ）
A．当时，若，则
B．当时，的最小值为
C．当时，恒成立
D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合中元素至多7个
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一上·台州期末）角是第 象限角.
14．（2024高一上·台州期末）已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是 .
15．（2024高一上·台州期末）已知，的值为 .
16．（2024高一上·台州期末）若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一上·台州期末）计算：
（1）；
（2）.
18．（2024高一上·台州期末）已知，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（2024高一上·台州期末）已知函数的最大值为2.
（1）求常数的值：
（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间的取值范围.
20．（2024高一上·台州期末）从①；②函数为奇函数；③的值域是这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数，且 ▲ .
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2024高一上·台州期末）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
22．（2024高一上·台州期末）已知函数
（1）用单调性定义证明：在上单调递增；
（2）若函数有3个零点，满足，且，
①求证：；
②求的值（表示不超过的最大整数）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由幂函数的图象过点，所以，
解得，故，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查幂函数的定义.根据幂函数的定义可列出方程：，解方程进而求出，进而得到函数的解析式，再代入可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意，在中，
即，所以的定义域为.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据对数的真数大于0，解不等式可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：A、反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件，A错误；
B、指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件，B错误；
C、对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件，C正确；
D、正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件，D错误.故选：
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的单调性.反比例函数中，，据此可判断出函数的单调性；指数函数的底数满足：，据此可推断函数在定义域上单调递减；对数函数的底数满足：，据此可得推断其定义域上单调递增；根据正切函数的图象可得：正切函数在定义域上不单调.
4．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、若，，
，当且仅当等号成立，A错误；
B、，当且仅当等号成立，B正确；
C、，得，当且仅当等号成立，C错误；
D、，得，当且仅当等号成立，D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.A选项采用“1还原法”，先用乘以1，再将1进行替换可：，观察积为定值，使用基本不等式求出最值，可判断A选项；B选项，通过基本不等式的变形后，再将代入可求出最值，可判断B选项；C选项，对平方，再使用基本不等式变形可得，进而求出式子的最值，据此可判断C选项；D选项：对所求式子平方，再使用基本不等式可得：，据此可求出式子的最值，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，A正确；
B、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误；
C、函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数，C错误；
D、函数与函数，对应关系不同，不是同一函数，D错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查同一函数的概念.同一函数的概念：定义相同，解析式相同的两个函数为同一函数.
对函数化简后，可判断两个函数解析式相同，又知定义域相同，为同一函数；对函数和求定义域后可值，定义域不同，不是同一函数；对函数和求定义域后，可知定义域不同，不是同一函数；对函数化简后可知，函数与函数解析式不同，不是同一函数.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：已知，，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查两角和的正切公式.利用两角和的正切公式，代入数据可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：若 是10位数，则取最小值时，应满足，
则有，，
由，则的最小值是30.
故答案为：B.
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：由函数，令 ，
由二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，
由图象得：，则，
根据复合函数的性质可得：图象关于对称，
时，单调递增，时，单调递减，
在处达到最大值，则，且最大值为，
结合图象可知，所以.
故答案为：C.
【分析】本考查函数的单调性，周期性，最值.采用换元素法令 ，利用二次函数性质分析可知：在处达到最大值，结合函数图象可得：，则。根据复合函数的单调性可得：的对称性和单调性，在处达到最大值.又因为，且最大值为，结合图象可知，进而确定答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A和B、由，得，，AB正确；
C、显然，即，C正确；
D、函数在上单调递增，则，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式两边同时加一个数不等式的方向不改变可判断A选项，根据不等式两边同时乘以一个正数不等式的方向不改变可判断B选项；利用作差法可得：，所以；根据幂函数的单调性可判断D选项.
10．【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：结合题意：，
即.
A、 由可得，所以，A错误；
B、将代入得：
，所以点是函数图象的一个对称中心，B正确；
C、对于，令，则，
因为，所以，而在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，C正确；
D、对于，当，
即，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.利用二倍角公式及辅助角公式可将解析式化简为：，根据周期计算公式可求出周期；将点的横坐标代入解析式可得：，据此可判断点是否是对称中心；采用换元法令，则，根据的范围可变形出：，根据正弦函数的单调性可判断函数在区间上的单调性；当时，可求出函数的最大值.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为，则，
因为为奇函数和为偶函数，所以，
所以，
联立，
可得，，
A、由，易判断函数在上单调递增，
且值域为，故，使得，A正确；
B、由，因为，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
而，当且仅当时取到，
故（不能同时取等），
故不存在，使得，B错误；
C、由，，
可得，而，，
所以，故，都有，C正确；
D、因为为奇函数和为偶函数，
所以，
，
故，都有，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值.先求出根据函数的奇偶性可列出方程组，解方程组可求出：和的解析式，对于选项A：先求出函数的单调性和值域，据此可判断A选项；对于选项B：
利用基本不等式可得：，再结合三角函数的有界性可推出，据此判断B选项；对于选项C利用指数函数的值域和三角函数的有界性可推出，据此判断C选项；对于选项D：已知为奇函数和为偶函数，根据奇偶性可得：，所以，据此判断D选项.
12．【答案】B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】解：A、当时，，A错误，
B、，而，故当时，
此时取最小值，
比如时，，B正确，
C、时，，
，
，不符合，C错误，
D、不妨设中一个元素，
由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同，
若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设此时，
那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同的元素有
此时，其中，，
而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，
若与相同位置中有2对的数字互为相反数，
那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，
因此此时中满足条件的元素有7个，
若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设，
此时与元素重复，
综上可知中元素最多7个，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查集合的新定义问题.已知当时，根据题目定义计算可求出的值；举出反例：当时，；当时，举出反例：，根据题目定义计算出：
，，不符合；对于D选项，分三种情况进行讨论：若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同；若与相同位置中有2对的数字互为相反数；若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同；根据所给定义，可进行判断.
13．【答案】二
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：由象限角的定义可知，的角是第二象限角．
故答案为：二.
【分析】本题考查象限角的概念．因为，所以的角是第二象限角
14．【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：在函数（，且）中，
令，则，所以该定点的坐标是.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数的定点.指数型函数的定点令指数位置的数等于0，即，代入解析式可求出定点纵坐标，反代回函数解析式出定点坐标．
15．【答案】2
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：2.
【分析】本题考查诱导公式的应用，利用诱导公式化简代入数据可求出答案.
16．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题可得，
因为函数在 上的最小值为1，
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查函数的单调性，函数的最值.对函数解析式去绝对值可得：.分两种情况进行讨论：判断出当时，当时，函数在 上的单调性，根据单调性可再结合函数在上的最小值为1，可列出方程， 解方程可求出的值.
17．【答案】（1）解：
（2）
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】本题考查根式的性质及分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，对的的换底公式.
（1）因为，利用二次根式的性质可求出的值；可以写成，指数幂的运算法则求出结果，再将各部分相加可求出原式的答案；
（2）根据对数的运算法则计算：，应用对数换底公式计算：，将各部分相加减可求出原式的答案.
18．【答案】（1）解：若，则，，
所以
（2）解：若是的充分不必要条件，则，
得，故的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，集合间的基本关系.
（1）先解一元二次不等式可求出集合A，由交集的定义可求出答案；
（2）已知是的充分不必要条件，根据集合的包含关系即可求出的取值范围.
19．【答案】（1）解：化简
因为的最大值为2，所以，
故
（2）解：，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，
得，
由，得，
所以，，
故在区间上的取值范围是.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查降幂升角和辅助角公式化简解析式，三角函数图象变换，三角函数的值域.
（1） 利用降幂升角和辅助角公式可将解析式化简为：，根据题目条件可列出方程，解方程可求出m的值；
（2）根据变大横缩纵不变，变小横扩纵不变可得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得函数的图象，再根据左加右减，可得.已根据题目条件变形可得，利用正弦函数的图象和性质可求出取值范围.
20．【答案】（1）解：若填①：
代入得
注：若填②：函数为奇函数，故.
若填③：，得
因为，所以.
由的值域是得，故.
（2）解：，且，有，
所以函数在上单调递减，
又因为，满足，
所以为奇函数.
因此，，可得，
结合单调性，知，所以.
令，记，故.
所以，故的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数的单调性和奇偶性，函数的恒成立问题.
（1）根据题意，①根据题目条件再结合对数恒等式可得：，解此方程可求出a的值；②函数为奇函数，根据奇函数的性质可得：，可列出方程，解此方程可求出a的值；③，由
，变形可得：根据指数函数的值域可列出式子，再结合的值域是，可得，解此方程可求出a的值；
（2）根据函数的单调性的定义判定方法，先判断出在上单调递减，再由为奇函数，可将不等式转化为，结合单调性，进一步转化为：，即恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，可求出答案
21．【答案】（1）解：记轨道圆心为，则，
设劣弧的长为，则，
得，
.
（2）解：由已知，，，，
则，又，所以，
则，
令.则，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义，利用基本不等式求最值.
（1）设轨道圆心为，圆的半径为，劣弧的长为时，有，根据三角函数定义可知：，即，据此可表示出和的长；
（2）根据已知条件可证明，根据相似三角形的性质可得：，进而推出：，使用换元法令.则，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出的最大值.
22．【答案】（1）解：，且
有，
由，得，，
所以，得，
又由，得.于是，
即.所以，函数在上单调递增.
（2）解：①要使有3个零点，由（1）知，函数在
上存在一个零点，在上存在两个零点，且，
代入，得，于是，
因为，所以
②
由，代入式，得，
令，，，且，
有，
故函数在上单调递增，
又因为，，
所以，得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查 用单调性定义证明 函数的单调性，函数零点的定义，函数单调性的应用.
（1）根据函数单调性的定义：先取值，再作差，变形可得：，结合函数的定义域定号可得：，即.据此可证明结论，
（2） ① 已知有3个零点，由（1）知函数在上存在一个零点，因此函数在上存在两个零点，根据二次函数的对称性可得：，代入，化简后可推出，可得.
② 将代入可得，构造函数，研究在上的单调性，结合零点存在定理可求出答案.
1 / 1浙江省台州市2023-2024学年高一上学期数学1月期末试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一上·台州期末）若幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由幂函数的图象过点，所以，
解得，故，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查幂函数的定义.根据幂函数的定义可列出方程：，解方程进而求出，进而得到函数的解析式，再代入可求出答案.
2．（2024高一上·台州期末）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意，在中，
即，所以的定义域为.
故答案为：A.
【分析】本题考查函数定义域的求法.根据对数的真数大于0，解不等式可求出答案.
3．（2024高一上·台州期末）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：A、反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件，A错误；
B、指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件，B错误；
C、对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件，C正确；
D、正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件，D错误.故选：
故答案为：C.
【分析】本题考查函数的单调性.反比例函数中，，据此可判断出函数的单调性；指数函数的底数满足：，据此可推断函数在定义域上单调递减；对数函数的底数满足：，据此可得推断其定义域上单调递增；根据正切函数的图象可得：正切函数在定义域上不单调.
4．（2024高一上·台州期末）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、若，，
，当且仅当等号成立，A错误；
B、，当且仅当等号成立，B正确；
C、，得，当且仅当等号成立，C错误；
D、，得，当且仅当等号成立，D错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查利用基本不等式求最值.A选项采用“1还原法”，先用乘以1，再将1进行替换可：，观察积为定值，使用基本不等式求出最值，可判断A选项；B选项，通过基本不等式的变形后，再将代入可求出最值，可判断B选项；C选项，对平方，再使用基本不等式变形可得，进而求出式子的最值，据此可判断C选项；D选项：对所求式子平方，再使用基本不等式可得：，据此可求出式子的最值，可判断D选项.
5．（2024高一上·台州期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，A正确；
B、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误；
C、函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数，C错误；
D、函数与函数，对应关系不同，不是同一函数，D错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查同一函数的概念.同一函数的概念：定义相同，解析式相同的两个函数为同一函数.
对函数化简后，可判断两个函数解析式相同，又知定义域相同，为同一函数；对函数和求定义域后可值，定义域不同，不是同一函数；对函数和求定义域后，可知定义域不同，不是同一函数；对函数化简后可知，函数与函数解析式不同，不是同一函数.
6．（2024高一上·台州期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：已知，，
则.
故答案为：A.
【分析】本题考查两角和的正切公式.利用两角和的正切公式，代入数据可求出答案.
7．（2024高一上·台州期末）已知，若是10位数，则的最小值是（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：若 是10位数，则取最小值时，应满足，
则有，，
由，则的最小值是30.
故答案为：B.
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
8．（2024高一上·台州期末）已知函数部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的周期性
【解析】【解答】解：由函数，令 ，
由二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，
由图象得：，则，
根据复合函数的性质可得：图象关于对称，
时，单调递增，时，单调递减，
在处达到最大值，则，且最大值为，
结合图象可知，所以.
故答案为：C.
【分析】本考查函数的单调性，周期性，最值.采用换元素法令 ，利用二次函数性质分析可知：在处达到最大值，结合函数图象可得：，则。根据复合函数的单调性可得：的对称性和单调性，在处达到最大值.又因为，且最大值为，结合图象可知，进而确定答案.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高一上·台州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A和B、由，得，，AB正确；
C、显然，即，C正确；
D、函数在上单调递增，则，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式两边同时加一个数不等式的方向不改变可判断A选项，根据不等式两边同时乘以一个正数不等式的方向不改变可判断B选项；利用作差法可得：，所以；根据幂函数的单调性可判断D选项.
10．（2024高一上·台州期末）已知函，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数在区单调递减
D．函数的最大值为1
【答案】B,C
【知识点】二倍角的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：结合题意：，
即.
A、 由可得，所以，A错误；
B、将代入得：
，所以点是函数图象的一个对称中心，B正确；
C、对于，令，则，
因为，所以，而在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，C正确；
D、对于，当，
即，，D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题考查正弦函数的图象和性质.利用二倍角公式及辅助角公式可将解析式化简为：，根据周期计算公式可求出周期；将点的横坐标代入解析式可得：，据此可判断点是否是对称中心；采用换元法令，则，根据的范围可变形出：，根据正弦函数的单调性可判断函数在区间上的单调性；当时，可求出函数的最大值.
11．（2024高一上·台州期末）定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：因为，则，
因为为奇函数和为偶函数，所以，
所以，
联立，
可得，，
A、由，易判断函数在上单调递增，
且值域为，故，使得，A正确；
B、由，因为，
所以，当且仅当，即时，取得最小值，
而，当且仅当时取到，
故（不能同时取等），
故不存在，使得，B错误；
C、由，，
可得，而，，
所以，故，都有，C正确；
D、因为为奇函数和为偶函数，
所以，
，
故，都有，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，函数的最值.先求出根据函数的奇偶性可列出方程组，解方程组可求出：和的解析式，对于选项A：先求出函数的单调性和值域，据此可判断A选项；对于选项B：
利用基本不等式可得：，再结合三角函数的有界性可推出，据此判断B选项；对于选项C利用指数函数的值域和三角函数的有界性可推出，据此判断C选项；对于选项D：已知为奇函数和为偶函数，根据奇偶性可得：，所以，据此判断D选项.
12．（2024高一上·台州期末）设是正整数，集合.对于集合中任意元素和，记，
.则（ ）
A．当时，若，则
B．当时，的最小值为
C．当时，恒成立
D．当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合中元素至多7个
【答案】B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合的表示方法
【解析】【解答】解：A、当时，，A错误，
B、，而，故当时，
此时取最小值，
比如时，，B正确，
C、时，，
，
，不符合，C错误，
D、不妨设中一个元素，
由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同，
若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设此时，
那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同的元素有
此时，其中，，
而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，
若与相同位置中有2对的数字互为相反数，
那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，
因此此时中满足条件的元素有7个，
若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设，
此时与元素重复，
综上可知中元素最多7个，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查集合的新定义问题.已知当时，根据题目定义计算可求出的值；举出反例：当时，；当时，举出反例：，根据题目定义计算出：
，，不符合；对于D选项，分三种情况进行讨论：若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同；若与相同位置中有2对的数字互为相反数；若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同；根据所给定义，可进行判断.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高一上·台州期末）角是第 象限角.
【答案】二
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】解：由象限角的定义可知，的角是第二象限角．
故答案为：二.
【分析】本题考查象限角的概念．因为，所以的角是第二象限角
14．（2024高一上·台州期末）已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是 .
【答案】
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：在函数（，且）中，
令，则，所以该定点的坐标是.
故答案为：.
【分析】本题考查指数函数的定点.指数型函数的定点令指数位置的数等于0，即，代入解析式可求出定点纵坐标，反代回函数解析式出定点坐标．
15．（2024高一上·台州期末）已知，的值为 .
【答案】2
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：2.
【分析】本题考查诱导公式的应用，利用诱导公式化简代入数据可求出答案.
16．（2024高一上·台州期末）若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 .
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题可得，
因为函数在 上的最小值为1，
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在 上，在单调递减，单调递增，
所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查函数的单调性，函数的最值.对函数解析式去绝对值可得：.分两种情况进行讨论：判断出当时，当时，函数在 上的单调性，根据单调性可再结合函数在上的最小值为1，可列出方程， 解方程可求出的值.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2024高一上·台州期末）计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
（2）
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【分析】本题考查根式的性质及分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，对的的换底公式.
（1）因为，利用二次根式的性质可求出的值；可以写成，指数幂的运算法则求出结果，再将各部分相加可求出原式的答案；
（2）根据对数的运算法则计算：，应用对数换底公式计算：，将各部分相加减可求出原式的答案.
18．（2024高一上·台州期末）已知，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若，则，，
所以
（2）解：若是的充分不必要条件，则，
得，故的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，集合间的基本关系.
（1）先解一元二次不等式可求出集合A，由交集的定义可求出答案；
（2）已知是的充分不必要条件，根据集合的包含关系即可求出的取值范围.
19．（2024高一上·台州期末）已知函数的最大值为2.
（1）求常数的值：
（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间的取值范围.
【答案】（1）解：化简
因为的最大值为2，所以，
故
（2）解：，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，
得，
由，得，
所以，，
故在区间上的取值范围是.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查降幂升角和辅助角公式化简解析式，三角函数图象变换，三角函数的值域.
（1） 利用降幂升角和辅助角公式可将解析式化简为：，根据题目条件可列出方程，解方程可求出m的值；
（2）根据变大横缩纵不变，变小横扩纵不变可得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得函数的图象，再根据左加右减，可得.已根据题目条件变形可得，利用正弦函数的图象和性质可求出取值范围.
20．（2024高一上·台州期末）从①；②函数为奇函数；③的值域是这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。
问题：已知函数，且 ▲ .
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：若填①：
代入得
注：若填②：函数为奇函数，故.
若填③：，得
因为，所以.
由的值域是得，故.
（2）解：，且，有，
所以函数在上单调递减，
又因为，满足，
所以为奇函数.
因此，，可得，
结合单调性，知，所以.
令，记，故.
所以，故的最小值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数的单调性和奇偶性，函数的恒成立问题.
（1）根据题意，①根据题目条件再结合对数恒等式可得：，解此方程可求出a的值；②函数为奇函数，根据奇函数的性质可得：，可列出方程，解此方程可求出a的值；③，由
，变形可得：根据指数函数的值域可列出式子，再结合的值域是，可得，解此方程可求出a的值；
（2）根据函数的单调性的定义判定方法，先判断出在上单调递减，再由为奇函数，可将不等式转化为，结合单调性，进一步转化为：，即恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，可求出答案
21．（2024高一上·台州期末）如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
【答案】（1）解：记轨道圆心为，则，
设劣弧的长为，则，
得，
.
（2）解：由已知，，，，
则，又，所以，
则，
令.则，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】本题考查三角函数的定义，利用基本不等式求最值.
（1）设轨道圆心为，圆的半径为，劣弧的长为时，有，根据三角函数定义可知：，即，据此可表示出和的长；
（2）根据已知条件可证明，根据相似三角形的性质可得：，进而推出：，使用换元法令.则，观察可得积为定值，使用基本不等式可求出的最大值.
22．（2024高一上·台州期末）已知函数
（1）用单调性定义证明：在上单调递增；
（2）若函数有3个零点，满足，且，
①求证：；
②求的值（表示不超过的最大整数）.
【答案】（1）解：，且
有，
由，得，，
所以，得，
又由，得.于是，
即.所以，函数在上单调递增.
（2）解：①要使有3个零点，由（1）知，函数在
上存在一个零点，在上存在两个零点，且，
代入，得，于是，
因为，所以
②
由，代入式，得，
令，，，且，
有，
故函数在上单调递增，
又因为，，
所以，得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】本题考查 用单调性定义证明 函数的单调性，函数零点的定义，函数单调性的应用.
（1）根据函数单调性的定义：先取值，再作差，变形可得：，结合函数的定义域定号可得：，即.据此可证明结论，
（2） ① 已知有3个零点，由（1）知函数在上存在一个零点，因此函数在上存在两个零点，根据二次函数的对称性可得：，代入，化简后可推出，可得.
② 将代入可得，构造函数，研究在上的单调性，结合零点存在定理可求出答案.
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