绝密★启用前
石家庄二中西校区2023-2024学年度第二学期3月月考
高二年级数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
2．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
3．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．我国在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
6．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加，，三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 .（用数字作答）
13．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
14．已知函数，若，则函数的最小值为 ;
若，都有，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）
记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
16．（本小题满分15分）
已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
17．（本小题满分15分）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分17分）
电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（简要说明列式并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
19．（本小题满分17分）
定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．绝密★启用前
石家庄二中西校区2023-2024学年度第二学期3月月考
高二年级数学试题
（考试时间：120分钟，满分：150 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．72种 B．36 种 C．12种 D．6种
【答案】C【分析】利用排列知识计算即可.
【详解】由题意可知六种原料中可以把香菌、新笋、豆腐干看成一种，即有种放法，
又茄子净肉放在鸡脯肉后，则有种放法.
故选：C
2．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据导数值的定义计算即可.
【详解】根据导数值的定义：.
故选：C
3．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图像在点处的切线为：，即，符合题意.
故选：B
4．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.
当时，从左向右，是递增、递减、递增，
对应导数的符号为，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
5．我国在2024年2月17日举行“十四冬”赛事，需两名技术志愿者在其中一个星期分别值班4天，且每天都有人值班，则值班的所有可能性有（ ）
A．140种 B．280种 C．320种 D．720种
【答案】A
【分析】由分步乘法计数原理以及组合数计算即可得解.
【详解】设甲、乙两人值班，因为各值4天，共需7天，所以两人仅有一天是同时值班，有种选择方法；
剩余6天各值3天，有种选择方法．所以共有（种）选择方法．
故选：A
6．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围.
【详解】依题意，即对任意恒成立，
即恒成立，因为（当且仅当时取“=”），
所以.
故选：D
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020
C．2022 D．2024
【答案】A
【分析】首先利用二项式定理化简，再确定被10除的余数，结合选项，即可求解.
【详解】因为
所以被10除得的余数为8，而2018被10除得的余数是8.
故选：A．
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将三个幂式分别取对数，根据相同结构，构造函数，求导后，注意到导函数分子的相同结构，再次构造函数，利用其单调性推出的单调性，推理即得.
【详解】由，，两边分别取自然对数得：，
不妨设，则，
再设，则，故函数在上单调递增，
因，则，故，即，因，故.
于是，在上单调递增，故，即，故得.
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于某些数或式的大小问题，看似与函数的单调性无关，仔细探究问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易，化繁为简的作用.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．2023年海峡两岸花博会的花卉展区设置在福建漳州，某花卉种植园有2种兰花，2种三角梅共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将去，展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若展馆需要3种花卉，有4种安排方法
B．共有14种安排方法
C．若“绿水晶”去展馆，有8种安排方法
D．若2种三角梅不能去往同一个展馆，有4种安排方法
【答案】AB
【分析】根据排列、组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若展馆需要3种花卉，则有种安排方法，正确.
B选项，4种花卉按去，展馆参展有种方法；
按去，展馆参展有种方法；
因此不同的安排方法种数是，正确.
C选项，若“绿水晶”去展馆，若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，
若展馆有种花卉，则安排方法数有种方法，所以共有种方法，错误.
D选项，由选项B知，4种精品花卉将去，展馆参展共有14种安排方法，
若2种三角梅去往同一个展馆，有种安排方法，
则2种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法，错误.
故选：AB
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项
【答案】AC
【分析】设，利用赋值法可判断ABC选项，利用二项式系数的单调性可判断D选项.
【详解】设.
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
所以，，C错；
对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.
故选：AB.
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
【答案】ABD
【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定极值点的个数和零点个数，从而判断选项的对错.
【详解】因为，
所以，
令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
对于A：当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以函数恰有1个零点，A正确；
对于B：当时，，
令，有，设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，作出图象如下图：
又，所以方程必有个根，
即必有两个零点，设为，且，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即函数恰有2个极值点，B正确；
对于CD：当函数有2个零点时，或，
所以或，
将或代入得
或，
解得或，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会转化，比如零点个数问题转化方程根的个数，或者函数图象交点个数.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加，，三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 .（用数字作答）
【答案】36
【分析】先将5人分成3组，甲、乙两人去同一组，再将所分3组全排列，对应3个贫困县，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】解：将5人分成3组，有：1，2，2和1，1，3这两种情况.
甲、乙两人去同一个贫困县：（1）另外3人中的两人去同一个贫困县，有种分法；
（2）另外3人中有1人与甲、乙两人一组去同一个贫困县，有种分法；
将分好的三组全排列，对应3个贫困县，有种情况，所以有种不同的派遣方案.
故答案为：36
13．（23-24高二上·山东青岛·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）．
【答案】
【解析】因为，
其中展开式的通项为（且），
所以的展开式中含的项为，
所以展开式中的系数为.
14．已知函数，若，则函数的最小值为 ;若，都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】导数法判断单调性；即可求出最小值；由题意易知，在单调递增，从而，即可解题.
【详解】若，则，
∴，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴.
若，都有，
则，
∴在单调递增，
∴在恒成立，
∴即，
又，
当且仅当时，等号成立；
∴.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）
记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）求导，即可代入求解，
（2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可.
【详解】（1） 2分
因为，所以，解得 4分
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得 6分
所以函数在，单调递增；在单调递减 8分
又，，，． 10分
所以，， 12分
所以函数在上的值域为． 13分
16．（本小题满分15分）
（23-24高二上·山东青岛·期末）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）
【答案】（1）7；（2）702.
【解析】（1）依题意，展开式的通项公式
， 2分
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此， 4分
解得，所以的值为7. 6分
（2）由（1）知， 7分
当时，对应的项是有理项， 8分
当时，展开式中对应的有理项为； 10分
当时，展开式中对应的有理项为 12分
当时，展开式中对应的有理项为 14分
所以展开式中有理项的系数之和为． 15分
17．（本小题满分15分）已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．
【详解】（1）函数定义域是， 1分
， 3分
时，恒成立，在上是增函数； 5分
a 0时，时，，递减，时，，递增． 7分
（2）即在上恒成立，则， 9分
设，则，时，，递增， 11分
时，，递减， 13分
，所以． 15分
18．（本小题满分17分）
电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（简述思路，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 2分
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 4分
由分步乘法计数原理，共有种排法； 5分
（2）先将3名男生排好，共有种排法， 7分
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 9分
再由分步乘法计数原理，共有种排法； 10分
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 12分
由于甲乙相邻，则有种排法， 14分
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法， 16分
由分步计数原理，共有种排法. 17分
19．（本小题满分17分）
定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断；
（2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围；
（3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解.
【详解】（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以， 2分
令，即，解得，
所以与具有C关系. 3分
（2）令，
因为，，所以，
令，则，故， 5分
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，
即在上恒成立， 7分
当时，显然成立；
当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即. 9分
（3）因为和，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意； 12分
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则， 14分
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即. 17分
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解.
