天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高三上·天津市期中）已知集合A=，B=，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：C
【分析】用列举法求出集合B，利用集合的交集运算即可求解.
2．（2023高三上·天津市期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：已知在中，角，，的对边分别为，，，
先证充分性，
因为，所以2A=2B或所以A=B或
当A=B时，由正弦定理得出，所以a=b；
当时，不一定等于，由正弦定理得出a，b不一定相等；
所以充分性不成立；
再证必要性，
当a=b时，由三角形中边与角的关系，进而得出A=B，所以2A=2B，所以，
所以必要性成立；
则“”是“”的必要不充分条件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形中的边角关系，再结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确的选项。
3．（2023高三上·天津市期中）已知4a=5，log89=b，则22a-3b=（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：已知4a=5，log89=b，
则
则22a-3b=
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和指数幂的运算法则，进而得出22a-3b的值。
4．（2023高三上·天津市期中）已知x=1.20.9，y=1.10.8，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知x=1.20.9，y=1.10.8，，
又因为
又因为，所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合放缩法，从而比较出x，y，z的大小。
5．（2023高三上·天津市期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由函数的部分图象得出图象关于原点对称，进而判断出函数为奇函数，从而排除A；
又因为函数的图象过原点，进而排除B；
当x=1时，函数值为负，进而排除D；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再由奇函数的图象关于原点对称、函数的图象过原点以及特殊点排除法，进而找出满足要求的函数可能的解析式。
6．（2023高三上·天津市期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且AB=2EF=2BC=8， EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，在线段CD上取点H，N，使得DH=CN=2，HN=4，
在线段AB上取点G，M，使得AG=MB=2，GM=4，
连接EG，EH，GH，FM，FN，MN，设P，Q分别为GH，MN的中点，连接EP，FQ，
由题意可得，
则连接PQ，则
以Q为原点，以QM，QP，QF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面ADE的一个法向量为
则则则可取
则点F到平面ADE的距离为
又因为
所以三棱锥F－ADE的体积为
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合空间建系的方法，从而得出点到坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，进而得出三棱锥的高，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥F－ADE的体积。
7．（2023高三上·天津市期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：由函数的图象可得所以
所以将点代入可得
所以函数
令解得
故函数f(x)的单调递增区间为，所以A错；
由
所以是函数的一条对称轴，所以B对；
令
所以函数图象的对称中心是所以C错；
将函数f(x)的图象向左平移个单位后，
得到
因为该函数为偶函数，所以D错。
故答案为：B.
【分析】利用三角型函数的部分图象结合函数的最值求解方法得出A的值、三角型函数的最小正周期公式得出的值、特殊点代入法得出的值，进而得出三角型函数f(x)的解析式，再利用换元法结合正弦函数的图象判断单调性的方法，进而得出三角型函数f(x)的单调区间；再利用换元法结合正弦函数的图象的对称性，进而得出正弦型函数f(x)的对称性；再结合函数f(x)的解析式和三角型函数的图象变换，进而得出变换后函数的图象，再结合奇函数和偶函数的图象的对称性，进而判断出变换后函数的奇偶性，进而找出正确的选项。
8．（2023高三上·天津市期中）已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：已知在所在平面内，，
、分别为线段、的中点，直线与相交于点，
所以
则
设则
因为所以
故G为线段EF的中点，且
所以
且若，
则
即
故等号成立，
所以
此时，此时的最大值为
故答案为：D.
【分析】利用向量的线性运算和数量积的公式，再结合基本不等式求最值的方法，进而得出的最大值。
9．（2023高三上·天津市期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．(
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知函数，作出函数的图象如下：
由图可知，当f(x)=0时，此时有两个根，分别为-2和1，
当时，此时f(x)=t有4个交点，
当时，此时f(x)=t有3个交点，
当时，此时f(x)=t有2个交点，
故要使得关于x的方程恰有6个不同的实数根，
则令f(x)=t，有六个不同的实数根，
所以f(x)=0显然不是的根，
设的两个零点分别为且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需满足，解得，
综上所述，则m的取值范围为
故答案为：A.
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象和分类讨论的方法，再利用函数的图象与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，再由根与系数的关系和二次函数的对称性，从而由并集的运算法则得出实数m的取值范围。
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）
10．（2023高三上·天津市期中）复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数的模为 .
【答案】
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，所以
则，
所以的共轭复数为
则的共轭复数的模为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义得出对应的复数z，再结合复数的乘除法运算法则得出复数，再利用复数与共轭复数的关系得出的共轭复数，再结合复数的模求解方法得出的共轭复数的模。
11．（2023高三上·天津市期中）在中，内角所对的边分别为.已知，，，则△ABC的面积为 .
【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，内角所对的边分别为，
已知，，，
则，
因为所以b=5，
由因为所以，
所以，
则△ABC的面积
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出实数b的值，再利用同角三角函数关系式得出角A的正弦值，再结合三角形的面积公式得出的面积。
12．（2023高三上·天津市期中）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量、满足，且，
若为在方向上的投影向量，并满足，
则
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和数量积求投影向量的方法，进而得出实数的值。
13．（2023高三上·天津市期中）在等比数列中，，是函数的两个不同极值点，则 ．
【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解： 函数定义域为R，且，
令即，因为，
所以，方程有两个不相等的实数根不妨令，
则当时，当时，
所以，函数f(x)在上单调递增，在时单调递减，
所以，函数f(x)在处取得极大值，在处取得极小值，
又因为所以
又因为是函数的两个不同极值点，所以
则又因为所以，。
故答案为：-3.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，从而结合判别式法和导数判断函数单调性的方法，进而得出函数的极值点，再结合函数的极值点合韦达定理和数列中项的正负，从而由等比数列的性质得出数列第五项的值。
14．（2023高三上·天津市期中）设，，当x= 时，取最大值，最大值为 .
【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以，当且仅当x=2y（1）取等号，
令，则，
当时，取到最大值，则
此时，（1），（2）联立得出，当时，取最大值，
最大值为
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法和换元法以及二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最大值和此时对应的x的值。
15．（2023高三上·天津市期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设E是的中点，连接OF，AF，BF，
由于所以三角形AOF和三角形BOF是等边三角形，
则四边形AOBF是菱形，则，
由于所以
所以
所以的取值范围是。
故答案为：.
【分析】利用转化法结合向量数量积的运算、三角函数值域等知识求得正确答案。
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2023高三上·天津市期中）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：由
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得，
令，，
解得，，
即的单调递增区间为，.
（2）解：由，可得，
因为，可得，所以，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的正弦公式和辅助角公式以及相邻对称轴与周期的关系，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合最小正周期公式得出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间。
（2）利用（1）得出的正弦型函数f(x)的解析式和代入法以及角的取值范围和平方关系，进而得出的值，再结合角之间的关系和诱导公式，进而得出的值。
17．（2023高三上·天津市期中）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求角B的大小；
（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
【答案】（1）解：根据正弦定理得
，
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形，
所以；
（2）解：（i）在中，由余弦定理及，，，
有，故.
（ii）由，可得.
∵，故，
则，
，
∴.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180°的性质和诱导公式，从而由锐角三角形中角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）（i)利用已知条件结合余弦定理得出b的值。
（ii)利用已知条件结合正弦定理和边角关系，进而得出角A的余弦值，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及两角和的余弦公式，进而得出的值。
18．（2023高三上·天津市期中）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；
（3）求点到PD的距离.
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接
因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面
（2）解：，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线PB与平面所成角为，
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）可知，，
设点到PD的距离为
.
所以点到PD的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由中位线的性质证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，再由线面平行证出面面平行，从而证出平面。
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求线面角的方法和诱导公式，进而得出直线PB与平面所成角的正弦值。
（3）由（2）可知的坐标，再利用数量积和勾股定理，进而得出点到PD的距离。
19．（2023高三上·天津市期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设数列的前项和为，且，求
（3）设数列满足：．证明：．
【答案】（1）解：由，得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
即．
（2）解：当时，有，
当时，，
可得时，，可得，6分
=
（3）解：当n为奇数时，，
，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而证出数列是等比数列。
（2）由（1）证出的数列是等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再由的关系式和分类讨论的方法，进而得出数列的通项公式，再根据，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法求出。
（3）由数列和数列的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再利用分类讨论的方法结合裂项相消求和的方法以及放缩法和作差法，进而证出不等式成立。
20．（2023高三上·天津市期中）已知函数，..
（1）若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
（2）当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为
所以，即
（2）解：，即
当时，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
，，；
所以，即
（3）解：因为(x)对恒成立，
即对恒成立.
设，其中，
所以，
，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，数函单调递增，所以.
因为，则，
由（2）得，当时，在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.
所以实数a的取值范围为.1
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线在切点处的斜率，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合函数零点求解方法，进而得出实数m的取值范围。
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
1 / 1天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2023高三上·天津市期中）已知集合A=，B=，则=（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三上·天津市期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高三上·天津市期中）已知4a=5，log89=b，则22a-3b=（ ）
A． B．5 C． D．25
4．（2023高三上·天津市期中）已知x=1.20.9，y=1.10.8，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三上·天津市期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高三上·天津市期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且AB=2EF=2BC=8， EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为（ ）
A． B．3 C． D．
7．（2023高三上·天津市期中）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的单调递增区间是
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是，
D．函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象
8．（2023高三上·天津市期中）已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
9．（2023高三上·天津市期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．(
C． D．
二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）
10．（2023高三上·天津市期中）复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数的模为 .
11．（2023高三上·天津市期中）在中，内角所对的边分别为.已知，，，则△ABC的面积为 .
12．（2023高三上·天津市期中）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则
13．（2023高三上·天津市期中）在等比数列中，，是函数的两个不同极值点，则 ．
14．（2023高三上·天津市期中）设，，当x= 时，取最大值，最大值为 .
15．（2023高三上·天津市期中）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上（包含端点），则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（2023高三上·天津市期中）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值．
17．（2023高三上·天津市期中）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求角B的大小；
（2）设，，
（i）求，
（ii）求的值.
18．（2023高三上·天津市期中）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；
（3）求点到PD的距离.
19．（2023高三上·天津市期中）已知数列的前n项和，数列满足：，．
（1）证明：是等比数列；
（2）设数列的前项和为，且，求
（3）设数列满足：．证明：．
20．（2023高三上·天津市期中）已知函数，..
（1）若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
（2）当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，
故答案为：C
【分析】用列举法求出集合B，利用集合的交集运算即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：已知在中，角，，的对边分别为，，，
先证充分性，
因为，所以2A=2B或所以A=B或
当A=B时，由正弦定理得出，所以a=b；
当时，不一定等于，由正弦定理得出a，b不一定相等；
所以充分性不成立；
再证必要性，
当a=b时，由三角形中边与角的关系，进而得出A=B，所以2A=2B，所以，
所以必要性成立；
则“”是“”的必要不充分条件。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形中的边角关系，再结合充分条件和必要条件的判断方法，进而找出正确的选项。
3．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：已知4a=5，log89=b，
则
则22a-3b=
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合指数与对数的互化公式和指数幂的运算法则，进而得出22a-3b的值。
4．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：已知x=1.20.9，y=1.10.8，，
又因为
又因为，所以。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合放缩法，从而比较出x，y，z的大小。
5．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由函数的部分图象得出图象关于原点对称，进而判断出函数为奇函数，从而排除A；
又因为函数的图象过原点，进而排除B；
当x=1时，函数值为负，进而排除D；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数的图象，再由奇函数的图象关于原点对称、函数的图象过原点以及特殊点排除法，进而找出满足要求的函数可能的解析式。
6．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：如图，在线段CD上取点H，N，使得DH=CN=2，HN=4，
在线段AB上取点G，M，使得AG=MB=2，GM=4，
连接EG，EH，GH，FM，FN，MN，设P，Q分别为GH，MN的中点，连接EP，FQ，
由题意可得，
则连接PQ，则
以Q为原点，以QM，QP，QF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则
所以
设平面ADE的一个法向量为
则则则可取
则点F到平面ADE的距离为
又因为
所以三棱锥F－ADE的体积为
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合空间建系的方法，从而得出点到坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，进而得出三棱锥的高，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥F－ADE的体积。
7．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：由函数的图象可得所以
所以将点代入可得
所以函数
令解得
故函数f(x)的单调递增区间为，所以A错；
由
所以是函数的一条对称轴，所以B对；
令
所以函数图象的对称中心是所以C错；
将函数f(x)的图象向左平移个单位后，
得到
因为该函数为偶函数，所以D错。
故答案为：B.
【分析】利用三角型函数的部分图象结合函数的最值求解方法得出A的值、三角型函数的最小正周期公式得出的值、特殊点代入法得出的值，进而得出三角型函数f(x)的解析式，再利用换元法结合正弦函数的图象判断单调性的方法，进而得出三角型函数f(x)的单调区间；再利用换元法结合正弦函数的图象的对称性，进而得出正弦型函数f(x)的对称性；再结合函数f(x)的解析式和三角型函数的图象变换，进而得出变换后函数的图象，再结合奇函数和偶函数的图象的对称性，进而判断出变换后函数的奇偶性，进而找出正确的选项。
8．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：已知在所在平面内，，
、分别为线段、的中点，直线与相交于点，
所以
则
设则
因为所以
故G为线段EF的中点，且
所以
且若，
则
即
故等号成立，
所以
此时，此时的最大值为
故答案为：D.
【分析】利用向量的线性运算和数量积的公式，再结合基本不等式求最值的方法，进而得出的最大值。
9．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：已知函数，作出函数的图象如下：
由图可知，当f(x)=0时，此时有两个根，分别为-2和1，
当时，此时f(x)=t有4个交点，
当时，此时f(x)=t有3个交点，
当时，此时f(x)=t有2个交点，
故要使得关于x的方程恰有6个不同的实数根，
则令f(x)=t，有六个不同的实数根，
所以f(x)=0显然不是的根，
设的两个零点分别为且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需满足，解得，
综上所述，则m的取值范围为
故答案为：A.
【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象和分类讨论的方法，再利用函数的图象与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，再由根与系数的关系和二次函数的对称性，从而由并集的运算法则得出实数m的取值范围。
10．【答案】
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为复数在复平面内对应的点为，所以
则，
所以的共轭复数为
则的共轭复数的模为
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合复数的几何意义得出对应的复数z，再结合复数的乘除法运算法则得出复数，再利用复数与共轭复数的关系得出的共轭复数，再结合复数的模求解方法得出的共轭复数的模。
11．【答案】
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，内角所对的边分别为，
已知，，，
则，
因为所以b=5，
由因为所以，
所以，
则△ABC的面积
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合余弦定理得出实数b的值，再利用同角三角函数关系式得出角A的正弦值，再结合三角形的面积公式得出的面积。
12．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量、满足，且，
若为在方向上的投影向量，并满足，
则
所以
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理和数量积求投影向量的方法，进而得出实数的值。
13．【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解： 函数定义域为R，且，
令即，因为，
所以，方程有两个不相等的实数根不妨令，
则当时，当时，
所以，函数f(x)在上单调递增，在时单调递减，
所以，函数f(x)在处取得极大值，在处取得极小值，
又因为所以
又因为是函数的两个不同极值点，所以
则又因为所以，。
故答案为：-3.
【分析】利用已知条件结合导数求极值点的方法，从而结合判别式法和导数判断函数单调性的方法，进而得出函数的极值点，再结合函数的极值点合韦达定理和数列中项的正负，从而由等比数列的性质得出数列第五项的值。
14．【答案】；
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，所以，
所以，当且仅当x=2y（1）取等号，
令，则，
当时，取到最大值，则
此时，（1），（2）联立得出，当时，取最大值，
最大值为
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法和换元法以及二次函数的图象求最值的方法，进而得出的最大值和此时对应的x的值。
15．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设E是的中点，连接OF，AF，BF，
由于所以三角形AOF和三角形BOF是等边三角形，
则四边形AOBF是菱形，则，
由于所以
所以
所以的取值范围是。
故答案为：.
【分析】利用转化法结合向量数量积的运算、三角函数值域等知识求得正确答案。
16．【答案】（1）解：由
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得，
令，，
解得，，
即的单调递增区间为，.
（2）解：由，可得，
因为，可得，所以，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的正弦公式和辅助角公式以及相邻对称轴与周期的关系，进而得出正弦型函数的最小正周期，再结合最小正周期公式得出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象的单调性，进而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间。
（2）利用（1）得出的正弦型函数f(x)的解析式和代入法以及角的取值范围和平方关系，进而得出的值，再结合角之间的关系和诱导公式，进而得出的值。
17．【答案】（1）解：根据正弦定理得
，
即，
因为，所以，
，且为锐角三角形，
所以；
（2）解：（i）在中，由余弦定理及，，，
有，故.
（ii）由，可得.
∵，故，
则，
，
∴.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180°的性质和诱导公式，从而由锐角三角形中角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）（i)利用已知条件结合余弦定理得出b的值。
（ii)利用已知条件结合正弦定理和边角关系，进而得出角A的余弦值，再结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及两角和的余弦公式，进而得出的值。
18．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接
因为为中点，，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面，故平面
（2）解：，
设平面的法向量为，
则，解得，
取，则，所以平面的一个法向量为，
设直线PB与平面所成角为，
则.
所以直线PB与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）可知，，
设点到PD的距离为
.
所以点到PD的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）由中位线的性质证出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，再由线面平行证出面面平行，从而证出平面。
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而得出平面的法向量，再结合数量积求线面角的方法和诱导公式，进而得出直线PB与平面所成角的正弦值。
（3）由（2）可知的坐标，再利用数量积和勾股定理，进而得出点到PD的距离。
19．【答案】（1）解：由，得，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
即．
（2）解：当时，有，
当时，，
可得时，，可得，6分
=
（3）解：当n为奇数时，，
，
当n为偶数时，，
，
设，
，
两式相减得
得，
所以，
所以．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而证出数列是等比数列。
（2）由（1）证出的数列是等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式，再由的关系式和分类讨论的方法，进而得出数列的通项公式，再根据，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法求出。
（3）由数列和数列的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再利用分类讨论的方法结合裂项相消求和的方法以及放缩法和作差法，进而证出不等式成立。
20．【答案】（1）解：因为
所以，即
（2）解：，即
当时，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
，，；
所以，即
（3）解：因为(x)对恒成立，
即对恒成立.
设，其中，
所以，
，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，数函单调递增，所以.
因为，则，
由（2）得，当时，在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.
所以实数a的取值范围为.1
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线在切点处的斜率，进而得出实数a的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合函数零点求解方法，进而得出实数m的取值范围。
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
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