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期中复习专项真题汇编1：平面向量
范围：向量的定义，线性运算，平面向量基本定理，数量积
一、单选题（共16道题）
1．（2023春 矿区校级期中）下列命题中真命题的个数是
①温度、速度、位移、功都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④直角坐标平面上的轴、轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023春 麒麟区校级期中）如图，在中，向量，，是
A．有相同起点的向量 B．共线向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
3．（2023春 金凤区校级期中）给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若，则或．
则所有正确命题的序号是
A．③ B．① C．①③ D．①②
4．（2023春 南关区校级期中）下列向量中不是单位向量的是
A． B．
C． D．
5．（2023春 钦南区校级期中）已知向量，，且，则
A．6 B． C． D．
6．（2023春 静海区期中）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是 A． B． C． D．且
7．（2023春 武强县校级期中）已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023春 霞浦县期中）关于向量，，下列命题中，正确的是
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023春 金安区校级期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点，，共线，则的值为
A． B．8 C．6 D．
10．（2023春 台江区校级期中）已知向量满足，则
A． B． C．0 D．2
11．（2023春 长安区校级期中）已知向量，，，若，则
A． B．3 C． D．5
12．（2023春 永昌县校级期中）如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则
A． B． C． D．
13．（2023春 南阳期中）在中，，．为边上的动点，则的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2023春 广州校级期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则
A． B． C． D．
15．（2023春 拱墅区校级期中）已知等边的边长为2，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，
A． B． C． D．
16．（2023春 龙岗区校级期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为
A． B． C． D．
二．多选题（共10小题）
17．（2023春 贡井区校级期中）下列结果为零向量的是
A． B．
C． D．
18．（2023春 月湖区校级期中）下列说法错误的为
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
19．（2023春 金安区校级期中）向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是
A．1 B． C． D．2
20．（2023春 漳州期中）如图，在四边形中，，点满足，是的中点．设，，则下列等式正确的是
A． B． C． D．
21．（2023春 镇江期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是
A．设，，若，则，
B．设，则
C．设，，若，则
D．设，，若与的夹角为，则
22．（2023春 武强县校级期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
23．（2023春 长寿区校级期中）给出下列命题，其中正确的选项有
A．等边中，向量与向量的夹角为
B．，，则向量在向量上的投影向量为，
C．非零向量、满足，则与的夹角为
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围
三．填空题（共10小题）
24．（2023春 东湖区校级期中）在矩形中，，，则 ．
25．（2023春 拱墅区校级期中）向量在向量方向上的投影向量是 ．
26．（2023春 龙凤区校级期中）已知向量，，且，则 ．
27．（2023春 福州期中）已知向量，，若，则 ．
28．（2023春 武汉期中）已知向量满足，则与的夹角为 ．
19．（2023春 西城区校级期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ．
30．（2023春 温州期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形．若，则 ．
31．（2023春 双塔区校级期中）已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则 ．
32．（2023春 太康县期中）如图．在直角梯形中．，，，，点是腰上的动点，则的最小值为 ．
33．（2023春 福州期中）在中，已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则线段长度的最小值为 ．
四．解答题（共13小题）
34．（2023春 金安区校级期中）在中，，，为的中点，点为线段上一点，且，延长线与交于点．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示．
35．（2023春 姑苏区校级期中）已知向量，．
（1）若与共线，求实数的值：
（2）求向量与夹角的大小．
36．（2023春 金水区校级期中）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边上有点，使得，求证：，，三点共线．
37．（2023春 涪城区校级期中）已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求，的值；
（2）若，，三点共线，求的最大值．
38．（2023春 新安县校级期中）平面内三个向量，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，；
（3）若，求实数．
39．（2023春 沈阳期中）如图，在直角三角形中，，．点，分别是线段，上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
40．（2023春 包河区期中）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）．
（1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值．
41．（2023春 招远市校级期中）如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用向量表示；
（2）过点作直线分别交线段，于点，，记，，求证：不论点，在线段，上如何移动，为定值．
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期中复习专项汇编1：平面向量
范围：向量的定义，线性运算，平面向量基本定理，数量积
一、单选题（共16道题）
1．（2023春 矿区校级期中）下列命题中真命题的个数是
①温度、速度、位移、功都是向量
②零向量没有方向
③向量的模一定是正数
④直角坐标平面上的轴、轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可．
【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量．
故选．
2．（2023春 麒麟区校级期中）如图，在中，向量，，是
A．有相同起点的向量 B．共线向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
【答案】
【分析】根据向量的定义，逐一判断各选项即可．
【解析】对于：根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量；不对；
对于：共线向量知识点方向相同或者相反的向量，不对；
对于：因为是圆心，那么向量，，的模长的一样的，对；
对于：相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，不对；
故选．
3．（2023春 金凤区校级期中）给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若，则或．
则所有正确命题的序号是
A．③ B．① C．①③ D．①②
【答案】
【分析】根据向量的基本概念分别判断即可．
【解析】①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故选．
4．（2023春 南关区校级期中）下列向量中不是单位向量的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案．
【解析】对于，由于，故，故为单位向量；
对于，，则，故不是单位向量；
对于，，则，故为单位向量；
对于，根据单位向量的定义可知为单位向量，
故选．
5．（2023春 钦南区校级期中）已知向量，，且，则
A．6 B． C． D．
【答案】
【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值．
【解析】向量，，且，
，
解得．
故选．
6．（2023春 静海区期中）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是
A． B． C． D．且
【答案】
【分析】利用共线定理即可得出结论．
【解析】是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
若使成立，则与方向相同，
结合选项可知，只有选项中与方向相同．
故选．
7．（2023春 武强县校级期中）已知向量，则“与夹角为锐角”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解析】若与夹角为锐角，则，解得，
所以由“与夹角为锐角”可以推出“”，
若，取，则，此时，与夹角为，
所以由”推不出“与夹角为锐角”，
所以“与夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选．
8．（2023春 霞浦县期中）关于向量，，下列命题中，正确的是
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】
【分析】根据平面向量的定义以及性质，以及向量共线的定义逐一检验选项即可．
【解析】选项，两个向量的模相等，但是方向不确定，所以不一定相等，错误；
选项，若，则与任意向量共线，而与的方向不确定，错误；
选项，两个向量不能比较大小，错误；
选项，若，则，正确．
故选．
9．（2023春 金安区校级期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点，，共线，则的值为
A． B．8 C．6 D．
【答案】
【分析】先求出，然后利用存在实数使，列方程求的值．
【解析】由已知得，
三点，，共线，
存在实数使，
，
，解得．
故选．
10．（2023春 台江区校级期中）已知向量满足，则
A． B． C．0 D．2
【答案】
【分析】根据向量的数量积的性质与定义，即可求解．
【解析】根据题意可得，
故选．
11．（2023春 长安区校级期中）已知向量，，，若，则
A． B．3 C． D．5
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可．
【解析】，，
，
，，
，
．
故选．
12．（2023春 永昌县校级期中）如图，平行四边形中，分别是的中点，若，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解析】平行四边形中，分别是的中点，
，，
故选．
13．（2023春 南阳期中）在中，，．为边上的动点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意画出图形，建立平面直角坐标系，再由平面向量的坐标运算求解．
【解析】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，
设，，
则，，
可得，，
的取值范围是，．
故选．
14．（2023春 广州校级期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先由三角形与三角形相似可得，从而可得，再利用三角形法则转化即可．
【解析】因为为平行四边形，故，故易知，
故可得，
故，
故选．
15．（2023春 拱墅区校级期中）已知等边的边长为2，为的中点，为线段上一点，，垂足为，当时，
A． B． C． D．
【答案】
【分析】设，由求出，得到为的重心，为的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．
【解析】设，则，，
，
，或（舍去），
为的重心，，为的中点，
，
故选．
16．（2023春 龙岗区校级期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
【解析】在中，因为，
所以，
所以，
又因为，，三点共线，
所以，
即，
所以，
又，
又，，，
所以
，
故选．
二．多选题（共10小题）
17．（2023春 贡井区校级期中）下列结果为零向量的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可．
【解析】对于选项，，故选项错误，
对于选项，，故选项正确，
对于选项，，故选项正确，
对于选项，，故选项正确，
故选．
18．（2023春 月湖区校级期中）下列说法错误的为
A．共线的两个单位向量相等
B．若，，则
C．若，则一定有直线
D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上
【答案】
【分析】由相等向量与共线向量的定义逐一分析四个选项得答案．
【解析】共线的两个单位向量不一定相等，方向可能相反，故错误；
当时，由，，不一定得到，故错误；
若，则直线或直线与直线重合，故错误；
若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上，故正确．
故选．
19．（2023春 金安区校级期中）向量满足：，，，则向量在向量上的投影向量的模的可能值是
A．1 B． C． D．2
【答案】
【分析】根据题意，结合向量在向量上的投影向量的模公式，即可求解．
【解析】由题意，向量满足且，
所以向量在向量上的投影向量的模为．
故选．
20．（2023春 漳州期中）如图，在四边形中，，点满足，是的中点．设，，则下列等式正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题设条件，结合向量的线性运算即可判定各选项．
【解析】由已知：
选项，，故错误；
选项，，故正确；
选项，，故正确；
选项，，故错误．
故选．
21．（2023春 镇江期中）如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是
A．设，，若，则，
B．设，则
C．设，，若，则
D．设，，若与的夹角为，则
【答案】
【分析】把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．
【解析】对于：显然正确．
对于，，故错误．
对于，，，，，故正确；
对于：根据夹角公式得，故，即，则，故错误；
故答案为：．
22．（2023春 武强县校级期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图．其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用正八边形的特征以及平面向量基本定理对各个选项逐个化简即可判断求解．
【解析】在正八边形中，，
则，所以，故正确；
在直角三角形中，，且，，
则，故正确；
又，因为，，且，则，故错误；
由平行四边形法则可得，故错误．
故选．
23．（2023春 长寿区校级期中）给出下列命题，其中正确的选项有
A．等边中，向量与向量的夹角为
B．，，则向量在向量上的投影向量为，
C．非零向量、满足，则与的夹角为
D．若，，，为锐角，则实数的取值范围
【答案】
【分析】选项，由向量夹角的含义，即可得解；
选项，根据投影向量的求法，进行计算，即可；
选项，设，，可得为等边三角形，再结合向量加法运算法则与向量夹角的含义，得解；
选项，易得，，取，有，即，不符合题意，得解．
【解析】选项，向量与向量的夹角为，而为等边三角形，所以，即选项正确；
选项，因为，，
所以，，，
所以向量在向量上的投影向量为，，，即选项正确；
选项，设，，
因为，所以，即为等边三角形，所以，
而与的夹角为，即选项正确；
选项，因为，，，
所以，，
当时，，，此时有，即，无法构成三角形，即选项错误．
故选．
三．填空题（共10小题）
24．（2023春 东湖区校级期中）在矩形中，，，则 5 ．
【答案】5．
【分析】根据平行四边形法则我们易得，根据四边形为矩形，且，，结合勾股定理，我们易求出得到答案．
【解析】矩形中，，，
，
，
．
故答案为：5．
25．（2023春 拱墅区校级期中）向量在向量方向上的投影向量是 ．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解析】，，
向量在向量方向上的投影向量是：
．
故答案为：．
26．（2023春 龙凤区校级期中）已知向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐标运算，得到，再利用模的坐标公式求．
【解析】已知向量，，，
，
，解得，
，．
故答案为：．
27．（2023春 福州期中）已知向量，，若，则 ．
【答案】．
【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解之即可．
【解析】因为，
则，
即，
整理可得，
又因为向量，，
则，
解得．
故答案为：．
28．（2023春 武汉期中）已知向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】．
【分析】根据向量数量积公式，求得的值，再根据夹角公式，即可求解．
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以．
故答案为：．
19．（2023春 西城区校级期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 2 ； ．
【答案】2；3．
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得．
【解析】如图建立平面直角坐标系，
所以，，，
所以，，．
故答案为：2；3．
30．（2023春 温州期中）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形．若，则 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解．
【解析】如图，以为原点，分别以为，轴建立平面直角坐标系：
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为，
可知，，，，
则，，即，
又，
，
即，即，
化简得．
故答案为：．
31．（2023春 双塔区校级期中）已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则 ．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据△求出，再根据及数量积的运算计算可得．
【解析】因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以．
故答案为：．
32．（2023春 太康县期中）如图．在直角梯形中．，，，，点是腰上的动点，则的最小值为 4 ．
【答案】4．
【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．
【解析】在直角梯形中，，，，，
则，则以为原点，，为，轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，，，
故，，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4．
33．（2023春 福州期中）在中，已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则线段长度的最小值为 ．
【答案】．
【分析】利用，，三点共线可求出，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．
【解析】，且，
所以，
，，三点共线，
，
即．
，
又，且，
，
即，
，
，
当且仅当时等号成立．
故答案为：．
四．解答题（共13小题）
34．（2023春 金安区校级期中）在中，，，为的中点，点为线段上一点，且，延长线与交于点．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解；
（2）根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解；
【解析】（1）由，，为的中点，
得，
，
，
．
（2）设，则，①
设，则②
，不共线，由①②得，解得，
．
35．（2023春 姑苏区校级期中）已知向量，．
（1）若与共线，求实数的值：
（2）求向量与夹角的大小．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）求出与的坐标，再利用向量平行的坐标公式计算即可；
（2）利用公式求解即可．
【解析】（1）由已知，
，
与共线，
，解得；
（2）由已知，
又，，．
36．（2023春 金水区校级期中）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边上有点，使得，求证：，，三点共线．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）可设，而得出，从而得出；可设，然后可得出，从而根据平面向量基本定理得出，可解出，，从而得出；
（2）根据可得出，进而得出，最后得出，，三点共线．
【解析】（1）设，由题意，
所以，①，
设，由，，②，
由①、②得，，
所以，解得，所以；
（2）证明：由，得，所以，
所以，因为与有公共点，所以，，三点共线．
37．（2023春 涪城区校级期中）已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求，的值；
（2）若，，三点共线，求的最大值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由已知求得，再根据向量的线性运算可求得答案；
（2）由，，三点共线得，存在不为零的数，使得，继而有，再得，根据二次函数的性质可求得其最大值．
【解析】（1）因为，，所以，
又因为，
所以，；
（2），，
由，，三点共线，存在不为零的数，使得，
即，
则，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值．
38．（2023春 新安县校级期中）平面内三个向量，，．
（1）求；
（2）求满足的实数，；
（3）若，求实数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）可求出向量的坐标，然后求出的值；
（2）根据，即可得出，然后解出，的值即可；
（3）由，，然后根据，即可得出关于的方程，再解出的值即可．
【解析】（1），
；
（2）由，得，，，
，解得；
（3），，
，，
解得．
39．（2023春 沈阳期中）如图，在直角三角形中，，．点，分别是线段，上的点，满足．
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，．
【分析】（1）由题意得，结合即可得解；
（2）由，求解即可．
【解析】（1）在直角三角形中，，，
，，，
，
；
（2），
令，得或（舍，
存在实数，使得．
40．（2023春 包河区期中）如图，数轴，的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是．由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）．
（1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
（2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再利用模长公式计算可得答案；
（2）根据向量的模长公式、数量积公式计算可得答案．，
【解析】（1）当时，坐标系为平面直角坐标系，
设点，则有，而，
又，
所以，又因，
解得，故点的坐标是；
（2）依题意夹角为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
41．（2023春 招远市校级期中）如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
（1）试用向量表示；
（2）过点作直线分别交线段，于点，，记，，求证：不论点，在线段，上如何移动，为定值．
【答案】（1），
（2）证明详见解析．
【分析】（1）由向量共线定理即可求出；
（2）设，由（1）可得，问题得以证明．
【解析】（1）设，由，，三点共线可得存在实数使得
，
同理由，，三点共线可得存在实数使得
，
，解得，
，
（2）证明：设，
则，即，即，
故不论点，在线段，上如何移动，为定值．
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