(共32张PPT)
19.1.2 矩形的判定
华师大版 八年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.探索并证明菱形
的性质定理.
2.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
新知导入前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形 (矩形,由角变化得到)如果从边的角度,将平行四边形特殊化,又会得到什么特殊的四边形呢 新知讲解
合作学行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
试一试
将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
四边形的四条边相等
？
平行
四边形
矩形
有一个角是直角
有一组邻边相等
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢
结论：这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形.
A
B
C
D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
∵四边形ABCD是平行四边形,
AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
几何语言:
注意：定义中的“平行四边形”
不能写成“四边形”。
中心对称
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称
轴对称
四条边都相等
对角相等
对角线互相平分且垂直
观察所示的菱形，将你的发现填入下表.
菱形有几条对称轴？
对称中心在哪里？
如图，我们发现，菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线.
由此，很容易猜想菱形所具有的特殊性质：
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直.
如何证明这两个猜想？
菱形的性质1：菱形的四条边都相等.
已知：如图,四边ABCD是菱形
求证：AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等）
∵ AB=BC（菱形的定义）
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角.
已知:如图，四边形ABCD是菱形.
证明：AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
A
B
C
D
O
提炼概念
A
B
C
D
O
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质
典例精讲
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
解： 在菱形ABCD中，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴ ∠B=60°
在菱形ABCD中，∵AB=BC(菱形的四条边都相等)，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
例2: 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等).
在△ABO和△ADO中，
∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD,
∴△ABO≌△ADO,
∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°.
在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°,
∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2.
在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
∴△AOB为直角三角形，
∴
∴
例3: 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
解 ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°.
归纳概念
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
课堂练习
必做题
1.菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）.
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相平分
D
选做题
2.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由．
理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
又∵AE∥DF，
∴∠1＝∠3，而∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AF＝DF，
∴ AEDF为菱形．
解：平行四边形AEDF为菱形
综合拓展题
3.菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
=4×
=4×
=
课堂总结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
作业布置
必做题
1.菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
C
选做题
2.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
=2×△ABD的面积
∴∠AED=900,
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
综合拓展题
3．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
(2)解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，
又∵∠BAF＝∠BAC－∠EAC＝30°＝∠EAC，
∴AF是等边△ABC的角平分线，
∴BF＝CF，∴点F是线段BC的中点.
谢谢
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分课时教学设计
第4课时《19.2.1 菱形的性质 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是新授课，主要学习菱形概念及性质，为了使学生便于感受、理解和掌握概念的产生和由来，我设置了一组学生熟悉的图片，让学生在欣赏、观察图片的过程中，发现菱形的特点，再通过引导学生进行猜想、动手度量、折叠、旋转、剪裁等活动，引导出菱形的概念，进而通过类比的方法，归纳总结出菱形的性质，使学生加深对菱形与平行四边形性质的区别，探索总结出菱形的所有性质．
学习者分析 经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力．
教学目标 1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质． 2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算．2
教学重点 菱形的性质与应用．
教学难点 探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 【来在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？ 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 强化探究四边形问题的一般思路．活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.体会菱形与平行四边形之间特殊与一般的关系．环节二：新课讲解首先，因为菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形所具有的所有性质。那么由于菱形的特殊性，它还具有什么性质呢，我们接下来进行研究。 同学们拿出长方形纸片、剪刀，将矩形对析两次，沿图中虚线剪下，再打开，即可得到的菱形。 操作完之后，教师提出问题： （1）．它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）．哪些线段是相等的？哪些角是相等的？ （3）．有哪些是等腰三角形？直角三角形？ 教学时教师组织学生总结菱形完整的性质，从边、角、对角线、对称性四个角度总结，不要忘记“每条对角线平分一组对角”这条性质。 还要提醒学生：对角线互相垂直平分，会有勾股定理参与计算。 归纳： 菱形的性质1：菱形的四条边都相等. 已知：如图,四边ABCD是菱形 求证：AB=BC=CD=AD 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ AB=CD，AD=BC (平行四边形的两组对边分别相等） ∵ AB=BC（菱形的定义） ∴ AB=BC=CD=AD 菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角. 已知:如图，四边形ABCD是菱形. 证明：AC⊥BD, AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB(菱形的定义)， OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）， ∴ AC ⊥ DB ，AC平分∠DAB（三线合一）. 同理： AC平分∠DCB ；DB平分∠ADC和∠ABC. 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．1世活动意图说明： 指导学生建立模型，鼓励学生大胆探索．经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力． 环节三：例题讲解例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形. 2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长. 解：在菱形ABCD中， AB＝BC ∠B＋∠BAD＝180° 又已知∠BAD＝2∠B 可得∠B＝60° 所以△ABC是一个角为60°的等腰三角形，即为等边三角形. 例2 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号) ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AB＝AD(菱形的四条边都相等). 在△ABO和△ADO中， ∵AB＝AD，AO＝AO, OB＝OD, ∴△ABO≌△ADO, ∴∠BAO＝∠DAO ＝ ∠BAD＝60°. 在△ABC中，∵AB＝BC，∠BAC＝60°, ∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2. 在菱形ABCD中， ∵AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， ∴△AOB为直角三角形， ∴ ∴ 例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝DC＝CB＝BA(菱形的 四条边都相等). 又∵AE垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴AC＝AD＝DC＝CB＝BA， 即△ADC与△ABC都为等边三角形， ∴∠ACD＝∠ACB＝60°. ∴∠BCD＝120°.2 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学．能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算．掌握菱形的性质与应用．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）. A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相平分 选做题： 2.AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试探究四边形AEDF是什么特殊四边形，说明理由． 【综合拓展类作业】 3.菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 选做题： 2.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积. 【综合拓展类作业】 3．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
教学反思 课堂小结
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分课时学案
课题 19.2.1 菱形的性质 单元 第一单元 学科 数学 年级 七年级下
学习目标 1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算．
重点 菱形的性质与应用．
难点 探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．
教学过程
导入新课 【引入思考】在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？拿出课前已经剪好的平行四边形，改变平行四边形的边，让它的一组邻边相等，并将其剪下。 如右图，这就是菱形。菱形是有 的平行四边形。
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容 合作探究【我们是研究生】先自己独立思考，再小组合作探究：1、菱形与平行四边形的关系： 2、探究菱形的性质：（1）菱形是特殊的平行四边形，具有________________形的一般性质。（2）探究： ①动手操作：拿出刚才剪下的菱形进行折叠，发现它是_____________图形，有___条对称轴，对称轴是_____________________________________。 ②大胆猜想：菱形具有哪些特殊性质：对称性边角对角线菱形的特殊性质（3）小组合作，证明猜想。（4）归纳总结菱形的性质：①对称性：________________________________。②边：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，______ ______________。③角：____________________________________；用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，____ ___ _________________。④对角线：________________________________。用数学符号语言表示：在菱形ABCD中，_____________ ____________。我们通过折纸观察得出菱形的性质，那么如何证明它们呢？菱形的性质1：菱形的四条边都相等.已知：如图,四边ABCD是菱形求证：AB=BC=CD=AD证明：已知：如图，四边形ABCD是菱形.如图，四边形ABCD是菱形，求证：（1）AB=BC=CD=DA （2）AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC提炼概念（本节课主要内容提炼）菱形特征1：菱形的四条边都相等．菱形特征2：菱形的对角线互相垂直．并且每一条对角线平分一组对角.典例精讲 例1 如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形. 2例2 ，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长.例2 如图，已知菱形ABCD的边长为 2 cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O. 试求这 个菱形的两条对角线AC与BD的长. (结果保留根号)例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E. 求∠BCD的大小.
课堂练习 巩固训练做题：1.菱形对角线的平方和等于一边平方的 （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍选做题：2.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积.【综合拓展类作业】3．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．
课堂小结
A
B
C
D
O
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级下册 第19章
课标要求 掌握平矩形、菱形、正方形的概念；了解它们之间的关系；探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算；通过经历特殊平行四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情理推理能力；结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
内容分析 专注于三种基础的平面图形：矩形、菱形和正方形。这三种形状不仅在日常生活中随处可见，而且在几何学中占有重要地位．它们各自具有独特的性质，同时也存在许多共性。本章将深入探讨这三种形状的性质、特点、计算方法以及实际应用．
学情分析 通过深入学习华师大第19章关于矩形、菱形和正方形的知识，我们可以更好地理解和掌握这三种基础平面图形的性质、特点和计算方法．同时，通过实际应用和图示例题的讲解，我们也可以提高解决实际问题的能力．为了进一步提高学习效果，建议同学们多做练习题、积极参与课堂讨论并善于总结归纳所学知识．
单元目标 教学目标1、掌握平矩形、菱形、正方形的概念；了解它们之间的关系；2、掌握矩形，菱形，正方形的判定和性质，会用矩形，菱形，正方形的性质和判定解决简单问题会用矩形，菱形，正方形年的知识解决有关问题．（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的概念定义、性质和判定．教学难点：各种特殊的平行四边形之间的联系与区别．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：教材为学生提供数学活动的线索：问题情境（以学生自身和周围环境中的现象，以自然、社会与其他学科中的问题为知识学习的切入点。突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系，使学生感受到数学的现实意义和应用价值）。问题串（设立有层次的问题）——活动（自主探索与合作交流）——思考与整理（提炼出数学对象）——表达（用自己熟悉的方式、语言及数学符号表达学习对象）明晰（较为正规的数学语言表达主要的数学对象，形式多样化）“试一试”、“做一做”、“想一想”以及动手实践的过程：教材在提供学习素材的基础之上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的学习机会。回顾与思考：以问题的形式出现，以帮助学生通过思考与交流，去梳理所学的知识、建立符合个体认知特点的知识结构。2.本章教学建议：1. 误认为所有的四边形都是矩形、菱形或正方形。实际上，四边形具有多种形态，这三种形状只是其中的一部分。2. 在计算面积和周长时，容易忽略单位的使用。要确保使用相同的单位进行计算，以避免结果出现错误。3. 在判定形状的性质时，需要注意充分条件和必要条件的区别。例如，虽然矩形的对角线相等且互相平分，但并非所有对角线相等且互相平分的四边形都是矩形。矩形、菱形和正方形在实际生活中的应用非常广泛。例如，房屋、门窗、地板等建筑设计中常常涉及矩形；菱形则常用于装饰艺术，如菱形图案的地毯或墙壁装饰；而正方形则广泛应用于棋盘、地砖、壁纸等。了解这些形状的性质和特点，有助于我们更好地理解和设计实际生活中的各种物品．3.重视数学思想方法的教学以“问题情景－－建立模型－－解释、应用与拓展、反思”的基本模式来展现空间与图形内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程。这与以前几何教材主要采取“定义－－性质－－例题－－习题”的结构形式，有较大区别．有“序”研究几何概念及其发展。按“特殊——一般——特殊”的认识规律，揭示新生知识之间的联系。红色：生成性知识蓝色过程性知识黑色方法性知识绿色终结性知识3 有“序”研究过程性知识和生成性知识．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1.1.1 矩形的性质119.1.1.2 矩形的性质的运用119.1.2 矩形的判定119.2.1 菱形的性质1 19.2.2菱形的判定1 19.3 正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1.1.1 矩形的性质1.理解矩形有关概念，根据定义探究并掌握矩形的有关性质.2.了解矩形在生活中的应用，根据矩形的性质解决简单的实际问题. 1.理解并掌握矩形的概念及其性质．2.矩形的性质的灵活应用．活动一：创设情境，导入新知。通过演示，让学生认识矩形与平行四边形的关系．活动二：类比平行四边形的性质，理解矩形与平行四边形的共性，探究矩形特有的性质及推论．19.1.1.2 矩形的性质的运用1. 掌握矩形的特殊性质．2.会应用矩形性质解决相关问题．1.掌握矩形的特殊性质．2.应用矩形性质解决相关问题.活动一：探索并掌握矩形的概念及其特殊的性质．活动二：在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力．19.1.2 矩形的判定1.探索并证明矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题．1.矩形的判定．2．矩形的判定及性质的综合应用．活动一：类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法．活动二：激发学生的求知欲，从情景中看出数学问题，并且从此引入新课，调动起学生的积极性.活动三：巩固例题．19.2.1 菱形的性质1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算． 1.菱形的性质与应用．2.探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．活动一：体会菱形与平行四边形之间特殊与一般的关系.活动二：强化探究四边形问题的一般思路．19.2.2菱形的判定1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用.2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.1.菱形判定定理的掌握和应用.2.菱形判定定理的灵活应用.活动一：经历探索菱形判定的过程，进一步发展合情推理能力.活动二：理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用.19.3 正方形1、掌握正方形的定义和性质定理．2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算.1.掌握正方形的性质及判定条件.2.会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明.活动一：进行探究活动．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力.活动二：体会正方形是特殊的矩形、菱形和平行四边形．活动三：巩固例题.
《第19章 》单元教学设计
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