2023学年第二学期浙江省精诚联盟 3月联考
高二年级数学学科参考答案
一、单选题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A B D A C B
二、多选题：本小题共 3 题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
9 10 11
ACD ABC ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分(两空第一空 2分，第二空 3分)
12. 2 13. 5/7 82/35 14. [4 2√3, 4 + 2√3]
四、解答题：本小题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
A6
15. （1）从A1到D4的路线共有
6 = 20条，………………………………2 分
A3A33 3
4 1
其中使得X = 3的路线有C34 = 4，因此P(X = 3) = = …………….5 分 20 5
（2）由题意可知 X 的取值可以为 3、5、6，所以
4 1
P(X = 3) = =
20 5
A24 3
P(X = 5) = =
20 5
1
C4 1
P(X = 6) = =
20 5
（写出一个给 1 分，两个给 3 分）…………..9 分
因此 X 的分布列为
X 3 5 6
1 3 1
P
5 5 5
…………………11 分
所以E(X) = 3 × 1+5 × 3+6 × 1 = 24………………………………13 分
5 5 5 5
15、（1） ′(x) = eax
2
+2ax2eax
2 2 2= (1 + 2ax )eax ……………………….2 分
（i）当a = 0时，则 ′(x) = 1 > 0，从而 (x)在R上单调递增；……………….4 分
√
（ii）当a < 0时，令 ′(x) = 0，得1 + 2ax2 = 0，故x = ± 1 = ± 2a.
√ 2a 2a
√ √
从而 (x)在区间( 2a , 2a)上单调递增，
2a 2a
高一数学学科答案 第 1 页(共 4 页)
{#{QQABLQCAogiIQIBAABgCQQXACAAQkAEACKoOxBAEIAIASBNABAA=}#}
√ 2a √ 2a
在区间( ∞, )，( ,+∞)单调递减…....7 分
2a 2a
（2）（i）当a = 0时， (x)在区间[0，2]上的最大值是 (2) = 2；……………………9 分
（ii）当 1 < a < 0时， (x)在区间[0，2]上的最大值是 (2) = 2 4a；………………..12 分
8
√ 2a √ 2a 1
（iii）当a ≤ 1时， (x)在区间[0，2]上的最大值是 ( ) = 2……………15 分
8 2a 2a
16、（1）取 AD 中点 E，连接 PE、CE.
∵PA=PD，PD⊥PA，∴△PDA 为等腰直角三角形，∵AD=2，且 E 为 AD 的中点，
∴PE⊥AD，且 PE=DE=AE=1，∵AB=BC=AD=2，DC=4，
∴CE = √DE2 +DC2 2DE ·DC · cos∠ADC = √12 + 42 2 × 1 × 4 × cos60° = √13，….2 分
∵PC = √14∴PE2 +CE2 = PC2，即 PE 为四棱锥P ABCD的高………………………4 分
(2+4)·√3
∴ 四 棱 锥 P ABCD 的 体 积 V 1P ABCD = SABCD · PE =
1 · · 1 = √3 ………….6 分
3 3 2
（2）如图建立空间直角坐标系
易得A(3，√3，0)，B(1，√3，0)，C(0，0，0)，D(4，0，0)…………………….7 分
√
∵ 为 3
√3
E AD 的中点，∴E(7， ，0)∴P(7， ，1)
2 2 2 2
√
又∵M是PC的中点 ∴M(7， 3，1)
4 4 2
∴B A
√ √
= (2,0,0)，BP = (5，
3，1)，B M = (3， 3 3，1)……………9 分
2 2 4 4 2
设平面 PAB 和平面 MAB 的法向量分别为n = (x1, y1, z1)和m = (x2, y2, z2)
B
2x = 0
∴{ A · n = 0
1
，即 √3
B P · n = 0 5{ x1 y1 + z1 = 02 2
B A · m = 0
2x2 = 0
{ ，即
3√3
BM · m = 0 3 1{ x2 y2 + z = 04 4 2 2
∴n = (0,2,√3)，m = (0,2,3√3)………………………13 分（方程给出给 2 分，算对给 4 分）
高一数学学科答案 第 2 页(共 4 页)
{#{QQABLQCAogiIQIBAABgCQQXACAAQkAEACKoOxBAEIAIASBNABAA=}#}
2×2+√3×3√3 13√217
∴cos n , m = n ·m = = 4+9 = 。…………..15 分
|n ||m | 2 2 √ 217
√22+(√3) √22
7·31
+(3√3)
18.（1）已知渐近线 ± y = 0，则 = b，带入点 P(3,1)可得 2 = 2 = 8，
x2 y2
即双曲线方程为： = 1………………………………….3 分
8 8
（2）设 1: = 1 + , 2: = 1 + ,( ≠ ),Q( 1, 1)
∵ p ∈ 1,∴ 1 = 3 1 + 即 = 1 3 1 ○1
= 1 +
联立{ x2 y2 ，可得( 2 2 2
= 1 1
1) + 2 1 + + 8 = 0
8 8
2 21 +8
则 + = 2 ,○2 = 2 ○3 …………………5 分 1 1 1 1
= +
联立{ 1 ,解得 = ,则A ( , )，同理可得B ( , )，………7 分
= 1 1 1 1 1 1 1+1 1+1
即A
2 2
= ( , 1),又 ∕∕ ，| | = | |，
2 1 2 1 1 21 1
2 2 2
可得 P Q = A , ∴ 1 = 2 ○4 ,由○2 -○4可得2 = 2 2 = 6 1 1 1 1 1 1
化简得 1 + = 3
2
1 + 3,
把○1带入得 = 3 21 + 3 1 = 3 1○5 …………………9 分
1 1 1 1+1
设直线 QB的斜率为 2，则 2 = = =
1
= ， 3 3 3 1+3 1 1
3+ 1 1+1 1
带入○5可得 2 = = ，…………………11 分 3+ 1 3 1+3 1
1
∴直线 QB的方程为 = ( + ),
1+1 1 1+1
3 1 1 3 即 = ( + 1
1
) + 1 = ( + 3),所以过定点( 3, 1)…………13 分
1+1 1 1+1 1
|n m| |2
（3） 1
+2|
直线 1与 2的距离为 = 带入 ○1○5可得 = ，
√ 21+1 √
2
1+1
2 2(3 )
由题意可得 1四边形 ABPQ是平行四边形，而| | = √ 21 + 1 | | = √
2 + 1 | |，………15 分
2 1 1 21 1 1
4( 3) 2
故四边形 ABPQ的面积为S = | | = | 1 | = 4 |1 + |，
1 1 1 1
∵ 1 < 0且直线 PQ与双曲线右支的交点，故 1 < 1，∴ S ∈ (4,8)…………………17 分
19.（1）已知集合A = {1,2,3,4}的非空子集有 15个：{1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3} {1,2,3,4}
计算可得 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},即 ( ) = 10……………………………………2 分
集合B = {1,2,4,8}的非空子集有 15个：{1}, {2}, {4}, {8}, {1,2}, {1,4} {1,2,4,8}
计算可得 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15},即 ( ) = 15……………………5 分
（2）○1 集合S = { 1, 2, 3 , }共有2 1个非空子集， ( )的最大值为2 1……7 分
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{#{QQABLQCAogiIQIBAABgCQQXACAAQkAEACKoOxBAEIAIASBNABAA=}#}
○2 ∵ 1 = 2 ,
∴ = 1 + 2 + 3 + + = 1 2
0 + 2 2
1 + + 2 1
= 0 1 1 1 + 2 + + (2 + 2 + + 2 ) = ∑ =1 (2 1) ≥ 0……….10 分
即证∑ =1 ≥ 2 1
不妨设 1 < 2 < 3 < < ,即S的非空子集中元素和最小的子集的为{ 1},最大的为{ 1, 2, 3 , }
∵集合S是极异集合, ∴ ( ) = 2
1,代表有2 1个不同的正整数
即
= { 1, ,∑ }
=1
……………………….14 分
中有2 1个元素，有元素互异性可得
∑ ≥ 1 + 2 2
=1
∵ 1 ≥ 1，即可得
∑ ≥ 1 + 2
2 ≥ 2 1
=1
……………………….17 分
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{#{QQABLQCAogiIQIBAABgCQQXACAAQkAEACKoOxBAEIAIASBNABAA=}#}绝密★考试结束前
2023学年第二学期浙江省精诚联盟 3月联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、单选题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．从 5 名女生 3名男生中选出 2名女生 1名男生，则不同的选取方法种数为（ ）
A．25 B．27 C．30 D．60
2
2．设F 21, F2 为椭圆 C: + = 1的两个焦点，点 P 在C 上，若PF PF 0，则 PF1 PF2 1 2 （ ） 4
A．1 B．2 C．4 D．5
2 83．在( 2 ) 的二项展开式中，第 4 项的二项式系数是（ ）
A．56 B． 56 C．70 D． 70
4．平面α的法向量 = ( 1,1,0), 平面β的法向量 = (1,0, 1),则平面α与平面β的夹角为（ ）
A．300 B．600 C．600或1200 D．1200
5．若直线 : + + √3 = 0与直线x + y 3 = 0的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
5 3 3 3
A．( , ) B．( , ) C．( , ) ∪ ( , ) D． ( , )
3 6 6 4 3 2 2 4 3 4
A 6 +45
6．已知两个等差数列{ }与{ }的前n项和分别为A 和B ，且 = ，则使得 为整数的正整数n的个数是B +2
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若过点( , )可以作曲线 = 的两条切线，则（ ）
A． > 0 > B． > 0 > C． > > 0 D． > > 0
2 2 1
8．已知 O为坐标原点，椭圆 C: + = 1上两点 A,B满足 = ,若椭圆 C上一点 M满足 = + ,6 3 2
则λ + μ的最大值是（ ）
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{#{QQABLQCAogiIQIBAABgCQQXACAAQkAEACKoOxBAEIAIASBNABAA=}#}
A.1 B.√2 C. √3 D. 2
二、多选题：本小题共 3题，每小题 6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得
6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
9．某批水稻种子有 5%的是变异种，变异种当中有 90%的是长不大的．在正常的种子中，90%的都能长大．下列说法
正确的有（ ）
A．这批水稻长不大的占比超过 10%
B．这批水稻种子既是变异种又是长不大的概率低于 1%
C．如果有种子长不大，那么它是变异种的概率高于 30%
D．如果有种子长大了，那么它是变异种的概率高于 0.3%
10．我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中
正确的有（ ）
r
A．由“在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Cn 1 C
r 1
n C
r
n
B． 在杨辉三角第十行中，从左到右第 7个数是 84
C．去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5, ，则此数列的前37项和为1014
D．由“ 3 5111 11，112 121，11 1331”猜想11 15101051
11.已知函数 ( ) = 2 2 + ,若 ( )有两个极值点 1, 2( 1 < 2),则下面判断正确的是（ ）
3
A. 1 2 > 1 B. ( 2) < C. ( 1) > 0 D. ( 1) + ( 2) < 3 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
(5 1)
12．设数列{ }的前 项和为 ，
1
= （对于所有n 1），且 4 = 250，则 1的数值是 ． 4
13．一个盒子中有黑、白颜色的小球各 3个，红色小球 1个，每次从中取出一个，取出后不放回，当取出第二种颜
色时即停止．设停止取球时，取球的次数为 ，则 ( = 2) = ,则 ( ) =
14. 已知圆M: 2 + 2 4 4 = 0,直线 : + 8 = 0,过直线上的一点 A,作 ABC,使∠ = 300,边 AB过圆
心 M，且 B,C在圆 M上，则点 A的横坐标的取值范围是
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四、解答题：本小题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（13 分）如图九宫格棋盘上有 16 个定点分别为 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,先从 1出发只能向上或者向右，走
到 4为止，每走向上一步得一分，向右不得分，若连续向上两步则得分翻倍（例如路线： 1 1 1 2 3 4
4得分为(1 + 1) × 2 + 1 = 5），记得分为随机变量 X
（1）求X = 3的概率.
1 2 3 4
（2）求X的分布列及期望.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2
16．（15分）已知函数 ( ) = ，其中a 0，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数 ( )的单调性.
(2)求函数在区间[0,2]上的最大值．
17．（15分）如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是等腰梯形，AB = BC = AD = 2,DC = 4，PA PD，
PD PA，PC= √14，
（1）求四棱锥P ABCD的体积.
（2）若M 为边PC的中点，求二面角 P- AB-M的余弦值.
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x2 y2
18.（17分）已知双曲线C: 2 2 = 1，过该曲线上的点 P(3,1)作不平行于坐标轴的直线 1交双曲线的右支于另一点
Q，作直线 2// 1交双曲线的渐近线于两点 A,B（A在第一象限）,其渐近线方程为 ± y = 0，且| | = | |,
(1)求双曲线方程. y
(2)证明直线 QB过定点.
A
P(3,1)
(3)当 PQ的斜率为负数时，求四边形 ABPQ的面积的取值范围.
o x
B Q
19.（17 分）设自然数 ≥ 3,由 个不同正整数 1, 2, 3 , 构成集合S = { 1, 2, 3 , },若集合 S 的每一个非空
子集所含元素的和构成新的集合 ,记 ( )为集合 元素的个数
（1）已知集合A = {1,2,3,4},集合B = {1,2,4,8},分别求解 ( ), ( ).
（2）对于集合S = { 1, 2, 3 , },若 ( )取得最大值，则称该集合 S为“极异集合”
○1 求 ( )的最大值（无需证明）.
○2 已知集合S = { 1, 2, 3 , }是极异集合，记 =
1
2 求证：数列{ }的前 项和 ≥ 0.
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