2024年 3月
2024年春季 2022级 3月月考数学试题答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题
B D B B C C DA
二、多项选择题
BCD ACD BC ABD
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13.21 14. 7 15. 100 16. 1
16
四、解答题
17 题 （ 10 分 ）（ 1 ） 因 为 每 组 小 矩 形 的 面 积 之 和 为 1 ， 所 以 ，
（0.005 0.010 0.020 a 0.025 0.010) 10 1
则 a 0.030 .------2分
（2）成绩落在 40,80 内的频率为 0.005 0.010 0.020 0.030 10 0.65 ，
落在 40,90 内的频率为 0.005 0.010 0.020 0.030 0.025 10 0.9 ，
设第 75 百分位数为 m，由0.65 m 80 0.025 0.75 ，
得m 84，故第 75 百分位数为 84.-----5 分
（3）由图根据分层抽样，在 [40，50)内选取 2 人，记为A， B，
在 [90，100]内选取 4 人，记为 a，b，c，d ．
从这 6 人中选取 2 人的所有选取方法：
AB， Aa， Ab， Ac， Ad，Ba，Bb，Bc， Bd ，ab， ac，ad，bc，bd， cd ，共 15 种，
-------8分
2 人成绩之差的绝对值大于 20 的选取方法：
Aa， Ab， Ac， Ad， Ba， Bb， Bc， Bd 共 8 种．
8
∴从这 6 人中随机选取 2 人，且 2 人的竞赛成绩之差的绝对值大于 20 的概率为 .---10 分
15
1
{#{QQABZQIEoggAQoAAABgCUQGCCgEQkAGACKoOhBAMIAAAyAFABAA=}#}
1
18 题（12 分）（1）因为等比数列 an 的首项 a1 81，公比 q ，9
n 1
所以 a 1n a q
n 1
1 81
3
6 2n，----3 分
9
所以 bn log a log 3
6 2n
3 n 3 6 2n，
所以 bn 1 bn 6 2 n 1 6 2 n 2 ，b1 4，
所以 bn 是首项为 4，公差为 2的等差数列；----6 分
4 6 2n n
（2 ）由（1）可得 bn 6 2n，所以 Sn n 5 n ，-----8 分2
令 Sn 36，解得 4 n 9，.------10 分
又 n N*，所以n=1、 2、3、 4、5、6、7、8，
∴1+2+3+4+5+6+7+8=36.
∴所有正整数n的值的和为 36.-----12 分
19 题（12 分）（1）解：依题意记甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为 2分为事件 B，
P A 3 1 2 1 2 3 1 1 2 3 1则
1
1 1
1 1 ，---3分
4 3 2 3 4 2 2 3 4 4
P B 3 2 1 1 1 3 2 1 1 2 3 11
4 3 2 2 4 3 2 3
1 ，----6 分
4 24
1 11
所以甲队总得分为1分的概率为 ， 2分的概率为 ；
4 24
2 3 1 1
（2）解：依题意甲队总得分为 0分的概率为 1 1 3 4
1 ，
2 24
1 11 3 2 1 1
得1分的概率为 ，得 2分的概率为 ，得3分的概率为 ；----8 分
4 24 4 3 2 4
2
3
1 2 2
2
2
乙队总得分为 0分的概率为 1 ，得1分的概率为 1 3 ，
3 27 3 3 9
2
2 2 1 2 3 4 2
3 8
得 分的概率为
，得3分的概率为 ；------10 分
3 3 9 3
27
1 8 11 4 1 2 1
则活动结束后，甲、乙两队共得 4 分的概率 P .-------12分
4 27 24 9 4 9 3
20 题（12 分）（1）依题意，设等差数列 an 的公差为d ，
因为a3、 a4 1、 a5 1成等比数列，所以 a4 1
2
a3 a5 1 ，又 a1 5，
2
{#{QQABZQIEoggAQoAAABgCUQGCCgEQkAGACKoOhBAMIAAAyAFABAA=}#}
即 3d 6 2 2d 5 4d 4 ，整理可得 d 2 8d 16 0，解得 d 4，
故 an a1 n 1 d 5 4 n 1 4n 9，-------3分
当 n=1 1 1时，b1 T1 2 2 4 2 2 b
2 1
， 2 T2 T1 2 2 2 8 4 4，
b2 4 n 1 n
则公比 q 2 b 2 2 2b 2 ，则 n .-------6 分1
（2）由（1）得 cn anbn 4n 9 2n，
R 5 21 1 22 3 23故 n 4n 9 2n，
2R 5 22 1 23 3 24 4n 9 2n 1则 n ,------8 分
R 10 4 22 23 2n n 1两式相减得 n 4n 9 2
22 1 2n 1
10 4 4n 9 2n 1 13 4n 2n 1 26，
1 2
故 Rn 4n 13 2n 1 26 ------12 分
21（12 分）（1）证明： an 1 2an 1， an 1 1 2an 1 1 2 an 1 -------2 分
又 a1 1 2 0，
an 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
an 1 2 2
n 1 2n， a nn 2 1；------4分
n a 1
（2）证明： bn
n
n ，且结合（1）得bn n，2
1 1 1 1 1
b ，-----6 分nbn 2 n n 2 2 n n 2
S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
1
2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2 2 2 n 1 n 2
3 1 1 1
，------8分4 2 n 1 n 2
Sn 1 Sn 0， Sn 是递增数列， S
1 S 11 ，∴ n S1 -------10 分3 3
1 1 3 1 1 1 3
又∵ 0，∴ S
n 1 n 2 n
4 2 n 1 n 2 4
1 S 3∴ n .------12 分3 4
3
{#{QQABZQIEoggAQoAAABgCUQGCCgEQkAGACKoOhBAMIAAAyAFABAA=}#}
22题（12分）（1）因为 Sn 2an 2，
当 n 2时， Sn 1 2an 1 2，
两式相减，得 an 2an 2an 1，即 an 2an 1 n 2 ，
又 n 1时， a1 S1 2a1 2，即 a1 2，
{a } 2 2 a 2 2n 1 n所以数列 n 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 n 2 .-----3 分
1 54 3t
（2）①当 n=1 时，得b1 6 t, n=2时，得b2 6 t； n=3时，得b ，2 3 7
则由b1 b3 2b2，得 t=4．
t=4 6n2而当 时，由 t 3bn n 2bn 0得bn 2n．
由bn+1 - bn = 2，知当 t=4时，数列 bn 为等差数列． ------5 分
②由题意知， c1 a1 2,c2 c3 2,c4 a2 4,c5 c6 c7 c8 2,c9 a3 8,
则当m=1时，T1 2 2c2 4，不合题意，舍去；
当m=2时，T2 c1 c2 4 2c3 ，所以m=2成立； -----7 分
当m 3时，若 cm 1 2，则Tm 2cm 1，不合题意，舍去；
从而 cm 1必是数列 an 中的某一项 ak 1，
Tm a则： 1 2 2 a2 2 2 a3 2 2 a4 ak 2 2
b1个 b2个 b3个 bk个
2 22 23 2k 2 b1 b2 b3 bk
2 k 2 2k k2 1 2 2k 1 2k 2 2k 2又 2cm 1 2ak 1 2 2k 1，所以2
2k 1 2k 2 2k 2 2 2k 1，
即 2k k 2 k k 1 0，所以2 1 k 2 k k k 1 -------10 分
k
因为 2 1 k N * k 2为奇数，而 k k k 1 为偶数，所以上式无解．
即当m 3时，Tm 2cm 1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．------12 分
4
{#{QQABZQIEoggAQoAAABgCUQGCCgEQkAGACKoOhBAMIAAAyAFABAA=}#}绵阳市部分中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
第Ⅰ卷
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知等差数列中，，，则=( )
A． B． C． D．
2．已知等比数列，则数列的前10项和为( )
A．55 B．110 C．511 D．1023
3．某银行为客户定制了A，B，C，D，E共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下四个说法错误的是( )
A．44~56周岁人群理财人数最多 B．18~30周岁人群理财总费用最少
C．B理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高
4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．我国古代数学论著中有如下叙述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四．”意思如下：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层的下一层所挂灯数是上一层所挂灯数的2倍．下列结论不正确的是( )
A．底层塔共挂了128盏灯
B．顶层塔共挂了2盏灯
C．最下面3层塔所挂灯的总盏数比最上面3层塔所挂灯的总盏数多200
D．最下面3层塔所挂灯的总盏数是最上面3层塔所挂灯的总盏数的16倍
6．任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为X，则，定义事件：，，，则( )
A． B．
C． D．B，C相互独立
7．已知数列满足，则( )
A． B． C． D．
8．已知各项都不为零的无穷数列满足: ，若为数列中的最小项，则的取值范围是( )
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是( )
A．数列的首项为4 B．
C． D．数列的公比为
10. 已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则( )
A.
B. 这组数据的众数和中位数均为4
C. 这组数据的方差为3.8
D. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变
11.设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是( )
A． B．为的最大值
C．存在正整数，使得 D．不存在正整数，使得
12.某个足球俱乐部为了提高队员的进球水平，开展罚点球积分游戏，开始记0分，罚点球一次，罚进记2分，罚不进记1分．已知该俱乐部某队员罚点球一次罚进的概率为，罚不进的概率为，每次罚球相互独立．若该队员罚点球积分为的概率为.下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.积分为2分时的概率最大
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13．裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为 ．
14．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为 ．
已知数列满足(n∈N*)，且，则 .
16．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(满分10分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)现从该样本成绩在与两个分数段内的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的竞赛成绩之差的绝对值大于20的概率.
18．(满分12分)已知等比数列的首项，公比，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设数列前项和为，求使的所有正整数的值的和．
19．(满分12分)某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.
(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
(2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.
20．(满分12分)已知等差数列的前项和为，，其中、、成等比数列.等比数列的前项和为，且().
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
21．(满分12分)已知数列，若，且.
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求证：.
22．(满分12分)数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足(，).
①试确定实数的值，使得数列为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．
