2023-2024学年数学七年级不等式与不等式组单元测试试题（人教版）（五四制）提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级不等式与不等式组（人教版）（五四制）
单元测试 提升卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）如果，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）已知点在第三象限，则实数的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）设实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列选项中的式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）已知关于x的不等式的负整数解只有, 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
7．（本题3分）若干辆载重的卡车来运载货物，若每辆卡车装，则剩下货物；若每辆卡车装，则最后一辆汽车有货物但不足，则可能有（ ）辆汽车．
A． B． C． D．
8．（本题3分）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知两个非负实数满足，，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（本题3分）在平面直角坐标系中，点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）不等式的最大整数解是 ．
12．（本题3分）“的减去的差不小于”用不等式表示为 ．
13．（本题3分）当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
14．（本题3分）若不等式组的最大整数解是 ．
15．（本题3分）平面直角坐标系中，关于点，点的说法：①当时，点A在第二象限：②当时，三角形的面积为12；③当A，B两点在不同象限内时，必有；④点为y轴上一点，连接AC并延长至D，使，则D点坐标为．其中正确的结论是 （填写序号）．
16．（本题3分）对于任意实数p，q，定义一种运算：，如：．请根据以上定义解决问题：若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围为是 ．
17．（本题3分）已知关于的不等式组的解集是，则 ．
18．（本题3分）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数（，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（本题8分）解不等式组：．
21．（本题10分）当地时间年月日，第届联合国大会协商一致通过决议，将春节（农历新年）确定为联合国假日．某校为庆祝举行了“春节习俗”知识竞赛，本次知识竞赛共题，答对一题得分，答错一题或不答题扣分，设小凌同学在这次竞赛中答对了道题．
(1)请根据上述条件，填写下表：
答题情况 题数 得分（分）
答对 __________
答错或不答 __________ __________
(2)若小凌同学的竞赛成绩不低于分，则小凌至少要答对几道题？
22．（本题10分）某学校七年级甲、乙两班为丰富学生的体育活动购买了一批足球和篮球，足球和篮球的价格不同，如图是两个班级购买的足球和篮球的数量及消费的金额．
(1)求每个足球和篮球的价格；
(2)若该校八年级在同一商店采购同种型号的足球和篮球共10个，且他们的消费金额不少于460元，则该校八年级至少购买了多少个足球？
23．（本题10分）关于的方程组，若满足，求的取值范围．
24．（本题10分）为鼓励学生，陈老师准备购买一批笔记本和文具袋作为表现进步的学生的奖品，已知购买1个笔记本和2个文具袋需20元，购买2个笔记本，3个文具袋需31元．
(1)求笔记本和文具袋的单价．
(2)陈老师计划使用50元同时购买笔记本和文具袋两种奖品若干个，问两种奖品各买多少个可以恰好使用完50元．
25．（本题10分）定义：数轴上有三个点，，，如果点到，两个点的距离成三倍关系，则称点是（，）的“三倍关联点”．例如，如图1，点表示的数是，点表示的数是，表示的点到点的距离是，到点的距离是，点到点的距离是到点距离的倍，那么称点是（，）的“三倍关联点”．

(1)如图2，点A表示的数是，点表示的数是，点分别表示数，，则两个点中是的“三倍关联点”的是 ．

(2)如图3，点表示的数是，点表示的数是．点是数轴上一动点，当其恰好是的“三倍关联点”时，求点表示的数．

(3)点表示的数是，点表示的数是（），点表示的数的最大值为，最小值为，若点是的“三倍关联点”，则的最小值为 ，的最大值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】
本题考查解一元一次不等式，并在数轴上表示．解出该不等式，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴该不等式的解集在数轴上表示为：
故选D．
2．A
【分析】
根据不等式的基本性质，依次计算，即可判断，
本题考查了，不等式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握不等式的基本性质．
【详解】解：、，在不等式两边同时乘以，得：，该选项正确，符合题意，
、，在不等式两边同时加上，得：，该选项错误，不符合题意，
、，在不等式两边同时加上，得：，该选项错误，不符合题意，
、，在不等式两边同时乘以，得：，该选项错误，不符合题意，
故选：．
3．B
【分析】
本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减同一个数，不等号不改变方向；不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号不改变方向；不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可，熟知上述性质是解题的关键．
【详解】解：A、，
，故A不成立；
B、，
，故B成立；
C、，
，故C不成立；
D、，
，故D不成立，
故选：B．
4．D
【分析】
本题主要考查了平面直角坐标系，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：点在第三象限，
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
实数的取值范围在数轴上表示正确的为
故选：D．
5．A
【分析】
本题主要考查了实数与数轴，正确得出格式的符号是解题的关键．
直接利用数轴得出各式的符号，进而分别判断即可得出答案．
【详解】解：由图可得
A. ∵，∴，故此选项符合题意；
B. ∵，∴，∴，故此选项不符合题意；
C. ∵，且，∴，故此选项不符合题意；
D. ∵，且，∴，∴，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∵不等式的负整数解只有,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴，
故选B．
7．C
【分析】本题考查不等式组的应用，设有辆汽车，根据题意列不等式组解题，取符合题意的整数即可，根据题意列出不等式组是解题的关键．
【详解】设有辆汽车，由题意得，
，
解得：，
∵是正整数，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质解答即可判断求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
、∵，当都为负数时，有，∴该不等式不一定成立，符合题意；
、∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
、∵，∴，该选项一定成立，不合题意；
故选：．
9．D
【分析】利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，，
由得：，故A选项错误，不符合题意；
由①得：，
将代入②得：，
整理得：，故B选项错误，不符合题意；
为非负实数，
，，故C选项错误，不符合题意；
，
，
，
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据“点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为”，得出除了点外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出的取值范围．
【详解】解：∵点在点的右侧，
∴，
解得：，
记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个，
∵点，，的坐标分别是，，，
∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上，
∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的个都在线段上，如图，
∴，
解得：，
综上所述，的取值范围为．
故选：B．

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的个点存在于线段AB上是解题的关键．
11．3
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式．移项合并同类项，再把系数化为1，可得，即可求解．
【详解】解：，
移项合并同类项得：，
解得：，
∴不等式的最大整数解是3．
故答案为：3
12．
【分析】
本题主要考查根据题意列不等式，掌握不等式的表示是解题的关键．注意不小于包含了大于或等于．
【详解】根据题意列不等式得，，
故答案为：．
13．
【分析】
本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不鞥与0列式求解即可．
【详解】解：∵不等式是关于x的一元一次不等式
∴且，
∴．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出最大整数解．
【详解】解：∵，
，
不等式组的解集为，即最大整数解为2．
故答案为：2．
15．①④
【分析】
本题考查坐标与图形，一元一次方程组，象限内点的坐标特征等．
①直接代入求解即可；②当时，点，，根据三角形面积公式计算即可；③当A，B两点在不同象限内时，则或，计算即可；④设D点坐标为，根据得到，，计算即可.
【详解】解：①当时，点的坐标为，
∴点A在第二象限，说法正确；
②当时，点，，
三角形的面积为：，原说法错误；
③当A，B两点在不同象限内时，
则或
解得：或，原说法错误；
④设D点坐标为，
则，，
解得：，，
即D点坐标为，说法正确；
其中正确的结论是①④，
故答案为：①④．
16．
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出的范围即可．
【详解】解：，
中，
解①得：，
，
；
解②得：，
，
；
不等式组有且仅有2个整数解，
，
，
，
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∵不等式的解集为，
∴，，
解得：，，
∴．
18． 15 3105
【分析】
由四位正整数M为“共进退数”推出，由推出，从而解得，，继而得解；由推出N的各位数字，继而表示出与，由N是一个“共进退数”推出，利用是一个平方数推出，从而得到z的值和，从而利用是整数求出x，从而得解．
【详解】
解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则，
∵四位正整数M为“共进退数”，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即M各数位上的数字之和为15．
∵，
即N的千位数字是，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是，
∴，
，
又∵N是一个“共进退数”，
∴，
化简得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵是一个平方数，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
又∵是整数，
∴是13的倍数，
∴，，
∴．
故答案为：15；3105
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解不等式组等知识，读懂题意，推导出与是解题的关键．
19．，数轴见详解
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
【详解】
解：解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
20．无解
【分析】
此题考查了求不等式组的解集和算术平方根，先求出每个不等式的解集，根据不等式解集的公共部分即可解答．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组无解．
21．(1)填写表格见解析
(2)小凌至少要答对道题
【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，
（1）根据“答对题目数答错或不答题目数、答对题数答对题得分、答错或不答题数答错或不答题得分”及本次知识竞赛的题目总数及小凌同学答对题目数，即可得解；
（2）根据“小凌同学的竞赛成绩不低于分”可得出关于的一元一次不等式，解之即可求出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出各数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）
解：∵本次知识竞赛共题，且小凌同学在这次竞赛中答对了道题，
∴答错或不答道题，
又∵答对一题得分，答错一题或不答题扣分，
∴答对题目的得分为分，答错或不答题目的得分为分，
填写表格如下：
答题情况 题数 得分（分）
答对
答错或不答
（2）
根据题意得：，
解得：，
又∵为整数，
∴的最小值为，
答：小凌至少要答对道题．
22．(1)每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
(2)该校八年级至少购买了6个足球．
【分析】
此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，根据图形提供的等量关系列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设八年级购买了m个足球，则购买了个篮球，根据消费金额不少于460元列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）
解：设每个足球和篮球的价格分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
答：每个足球的价格是50元，每个篮球的价格是40元；
（2）
）解：设八年级购买了m个足球，则购买了个篮球。
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为6，
答：该校八年级至少购买了6个足球．
23．
【分析】
本题考查解二元一次方程组求参数，涉及二元一次方程组的解法、解一元一次不等式等知识，先利用两个方程求和得到，再由题意列不等式求解即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法及解一元一次不等式的方法是解决问题的关键．
【详解】
解：，
由①②得：，
，
∵，
∴，解得．
24．(1)每个笔记本2元，每个文具袋9元
(2)笔记本买7个，文具袋买4个或笔记本买16个，文具袋买2个
【分析】
本题考查了二元一次方程组一元一次不等式的应用，得出正确的数量关系是解题的关键．
（1）设每个笔记本x元，每个文具袋y元，依据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
（2）设笔记本m个，文具袋n个，由题意得：，则，解不等式，由于m，n都得是正整数，依次讨论即可．
【详解】（1）解：设每个笔记本x元，每个文具袋y元，
由题意得：，
解得：
答：每个笔记本2元，每个文具袋9元．
（2）解：设笔记本m个，文具袋n个，
由题意得：，
∴，解得：，且n为整数，
∴n可取5，4，3，2，1，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
答：笔记本买7个，文具袋买4个或笔记本买16个，文具袋买2个．
25．(1)
(2)C对应的数为：或或或．
(3)，
【分析】（1）先计算，，，，再根据新定义判断即可；
（2）设对应的数为，可得，，结合C是的“三倍关联点”时，可得，，再建立方程求解即可；
（3）如图，当A在C的右边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，由，可得，而，再求解即可，如图，当A在C的左边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，由或，同法可求解．
【详解】（1）解：是的“三倍关联点”；
理由：点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为0，
，，
∴，
∴不是的“三倍关联点”；
点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为1，
∴，，
∴，
是的“三倍关联点”；
（2）设对应的数为，
∴，，
∵C是的“三倍关联点”时，
∴，，
当时，
∴，
∴或，
解得：或，
当时，
∴，
∴或，
解得：或；
综上：C对应的数为：或或或．
（3）如图，当A在C的右边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，

∴，
∴，
∴，而，
∴，
解得：，
如图，当A在C的左边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，
∴或，

当时，
∴，
解得：，
∴，
解得：，
当时，
，
∴，
∴，
解得：，
综上：的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查的是新定义的理解，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，不等式组的应用，理解题意，熟练的利用方程与不等式组解题是关键．
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