人教版物理必修2同步练习：7.3 万有引力理论的成就（能力提升）
一、选择题
1．（2024高三上·岳阳模拟） 如图甲所示，小明在地球表面进行了物体在竖直方向做直线运动的实验，弹簧原长时，小球由静止释放，在弹簧弹力与重力作用下，测得小球的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，地球的半径为R，万有引力常量为G，不考虑地球自转影响，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球的位移为x0时，小球正好处于完全失重状态
B．小球的最大速度为
C．小球的质量为
D．地球的密度为
【答案】B
【知识点】超重与失重；牛顿定律与图象；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由题图乙可知，小球的位移为x0时，小球的加速度为0，小球的合力为0，弹簧的拉力与小球的重力等大方向，小球既不是失重状态也不是超重状态，故A错误；
B、小球的加速度a与位移x的关系图像与坐标轴围成的面积表示速度平方的一半，当小球的加速度为零时，小球的加速度最大，设小球的最大速度为v，则有
得小球的最大速度
故B正确；
C、设地球表面的重力加速度为g，小球的质量为m，当小球向下运动的位移为x，弹簧的伸长量也为x，设小球的加速度为a，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得
整理可得
结合图乙可得
，
故C错误；
D、设地球的质量为M，由
又有
月球的密度为
联立得
故D错误。
故答案为：B。
【分析】加速为零时，物体处于平衡状态。加速度a与位移x的关系图像与坐标轴围成的面积表示速度平方的一半，当小球的速度最大时，加速度为零。根据小球的受力情况结合牛顿第二定律确定图像的函数表达式，再根据图像确定小球的质量。地球表面的物体重力等于万有引力。
2．（2024高三上·长沙期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行投课，若梦天实验舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为地球半径的倍。已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在实验舱中的宇航员不受地球引力
B．实验舱绕地球运动的线速度大小约为
C．实验舱绕地球运动的向心加速度大小约为
D．地球的密度约为
【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供做宇航员随飞船做匀速圆周运动的向心力，A不符合题意；
B.设空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有
又
联立解得实验舱绕地球运动的线速度大小为
B符合题意；
C.由牛顿第二定律可得
又
解得实验舱绕地球运动的向心加速度大小为
C不符合题意；
D.由
，
可得地球的平均密度约为
D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】处于完全失重状态的宇航员受到的万有引力充当其做圆周运动的向心力；根据所受万有引力提供向心力和万有引力与重力的关系，求解实验舱绕地球运动的线速度大小；由牛顿第二定律推导实验舱绕地球运动的向心加速度；由密度公式计算地球的平均密度。
3．（2023高三上·番禺期中）为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信，我国新研制的“鹊桥二号”中继通信卫星计划2024年上半年发射，并定位在地月拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地、月中心间的距离约为点与月球中心距离的6倍，如图所示。则地球与月球质量的比值约为（ ）
A．36 B．49 C．83 D．216
【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设点与月球中心距离为r，则地、月中心间的距离为6r，设地球质量为M，月球质量为m，拉格朗日点处的卫星质量为，月球绕地球运动的周期为T，则根据万有引力充当向心力，对月球有
对卫星有
联立解得地球与月球质量的比值为
C符合题意，ABD不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据万有引力充当向心力，分别对月球和卫星绕地球的圆周运动列式，求出方程组即可。
4．（2024高二上·怀柔期末）如图所示，人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道；然后在点近地点点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在点远地点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ下列说法正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ上点的速度一定不超过第一宇宙速度
B．如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则在该轨道上运行的任何卫星，其角速度和北京“鸟巢”的角速度相同
C．在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，所以卫星发射场必须建在赤道上
D．卫星在圆轨道上运行时的周期和向心加速度小于在圆轨道Ⅲ上的周期和向心加速度
【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、在轨道Ⅱ上A点，万有引力小于向心力，做离心运动，该点的速度会大于第一宇宙速度，故A错误。
B、同步卫星的周期与地球自转的周期相等，可知同步轨道上卫星的角速度与北京“鸟巢”的角速度相同，故B正确。
C、虽然在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，但是发射场并不是必须建在赤道上的，如我国酒泉卫星发射中心不在赤道上，故C错误。
D、根据得，，，轨道I的半径小于轨道Ⅲ的半径，则卫星在轨道I上的向心加速度大于轨道Ⅲ上的向心加速度，卫星在轨道I上的周期小于轨道Ⅲ上的周期，故D错误。
故选：B。
【分析】根据变轨的原理判断轨道Ⅱ上A点的速度大小；同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等；在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，但是发射场并不是必须建在赤道上；根据万有引力提供向心力得出周期、向心加速度与轨道半径的关系，从而比较大小
5．（2016·厦门模拟）宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于其运动周期），运动的弧长为L，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，则下列说法中正确的是（ ）
A．“悟空”的质量为
B．“悟空”的环绕周期为
C．“悟空”的线速度大于第一宇宙速度
D．“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】解：A、“悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故A错误；
B、“悟空”经过时间t（t小于“悟空”的周期），它运动的弧长为L，它与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），
则“悟空”的角速度为：ω= ，周期T= ，故B正确；
C、“悟空”在低于地球的同步轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：G ，得 v= ，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；
D、由G 得：加速度a= ，由于“悟空”做圆周运动的半径较小，所以“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故D错误．
故选：B
【分析】已知“悟空”经过时间t（t小于“悟空”的周期），它运动的弧长为L，它与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），根据线速度和角速度定义可求得“悟空”的线速度和角速度，根据万有引力提供向心力求得地球的质量，不能求解“悟空”质量．
6．（2023高三上·大庆期中） 为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内圈的半径为），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式，则太阳的密度可近似的表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设太阳的半径为R，地球到太阳的距离为d，则根据相似三角形对应边成比例可得
地球绕太阳做圆周运动
太阳的密度
解得
故答案为：C。
【分析】根据几何知识用题中物理量表示出地球到太阳距离即地球做圆周运动半径，结合万有引力定律求解。
7．（2023高三上·泊头月考） 我国计划在2030年前实现载人登月，如图所示为登月飞船飞行任务中的某个阶段。登月飞船绕月球做顺时针匀速圆周运动，轨道半径为r，周期为T；月球在同一平面内绕地球做顺时针匀速圆周运动，公转周期为。已知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．由已知信息可求出登月飞船的质量
B．由已知信息可求出地球的质量
C．由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为
D．由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为
【答案】D
【知识点】线速度、角速度和周期、转速；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.已知飞船围绕月球转动的的周期和半径，可以求出中心月球的质量，不能求飞船质量，A错误；
B.绕地球转动的月球只知道其环绕周期，不知环绕半径，无法求得中心地球的质量，B错误；
CD.再次共线过程满足方程
求得
D正确，C错误。
故正确答案为：D。
【分析】用环绕公式只能求中心天体的质量；再次共线时飞船绕月球转动角度大于半个圆周，多出来的角度恰好是月球绕地球转过的角度。
8．（2019·黑龙江模拟）2018年12月8日2时23分，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，开启了月球探测的新旅程，“嫦娥四号”于2019年1月3日10时26分成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地。探测器上有一可认为光滑的滑梯固定在月球表面上，将滑梯与月块表面的夹角调为 ，月球车从滑梯上由静止滑到底部的过程中下滑长度为L，所用时间为t，已知月球半径为R，则月球的第一宇宙速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】匀变速直线运动的位移与时间的关系；牛顿第二定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】月球车从滑梯上的运动过程，根据位移时间公式有
根据牛顿第二定律得
设月球的第一宇宙速度为v， 则有
联立得 ，ACD不符合题意，B符合题意。
故答案为：B。
【分析】利用位移公式结合牛顿第二定律和引力提供向心力可以求出第一宇宙速度的大小。
9．（2024高三上·扬州期末）在“天宫课堂”第四课中，神舟十六号航天员朱杨柱、桂海潮展示了在微重力环境下用“特制”球拍击打水球的现象，下列说法正确的是（ ）
A．在地面附近也可以获得微重力环境
B．在微重力环境下，水球的惯性减小
C．水球悬浮时所受浮力与地球引力平衡
D．物体在空间站中受地球引力比在地面小很多
【答案】A
【知识点】惯性与质量；超重与失重；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、在地面附近也可以获得微重力环境，如自由落体的过程，故A正确；
B、在微重力环境下，水球的质量不变，惯性不变，故B错误；
C、水球悬浮是由于完全失重的原因，故C错误；
D、物体在空间站中的轨道半径与地球半径相差不大，根据万有引力公式可知物体在空间站中受地球引力比在地面并非小很多，故D错误；
故答案为：A。
【分析】质量不变，惯性不变。悬浮是由于完全失重的原因。物体在空间站中的轨道半径与地球半径相差不大，根据万有引力公式分析引力的大小情况。
10．（2024高三上·东莞期末） 已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4 倍. 若在月球和地球表面以相同的初速度竖直向上抛出物体，不计一切阻力，抛出点与最高点间的距离分别为h 和h ，则h ：h 最接近
A．1：1 B．1：6 C．9：4 D．5：1
【答案】D
【知识点】自由落体运动；万有引力定律的应用
【解析】【解答】由自由落体运动的位移公式可得
根据万有引力等于重力可得
联立可得
故
D符合题意，ABC不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力等于重力和自由落体运动的位移公式综合推导。
11．（2017·海南）已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月：s地约为（ ）
A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1
【答案】A
【知识点】重力加速度；平抛运动；万有引力定律的应用
【解析】【解答】解：设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R．
已知 =81， =4，
根据万有引力等于重力得： =mg
则有：g=
因此 = …①
由题意从同样高度抛出，
h= gt2= g′t′2…②，
①、②联立，解得t′= t，
在地球上的水平位移s=v0t，
在月球上的s′=v0t′；
因此s月：s地约为9：4，故A正确，BCD错误；
故选：A．
【分析】根据万有引力等于重力，求出月球表面重力加速度和地球表面重力加速度关系，运用平抛运动规律求出两星球上水平抛出的射程之比．
12．（2023高三上·许昌月考）地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到潮汐的影响，自转速度持续减小，现在地球自转周期为24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑潮汐的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足常量，其中表示地球各部分的质量为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．潮汐的影响使地球自转的角速度变大
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，地球自转周期会变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，地球自转周期会变小
【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由题中信息，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，使地球自转的角速度变小，故A错误；
B、根据
可知
若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变大，故B错误；
C、根据
若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，则转动半径r减小，则角速度ω变大，则会使地球自转周期变小，故C正确；
D、根据
若仅考虑B处板块向赤道漂移，则转动半径变大，则角速度ω减小，则会使地球自转周期变大，故D错误。
故答案为：C。
【分析】本题为信息处理题。确定赤道处物体跟随地球自转的向心力来源，结合牛顿第二定律进行分析。根据题意分析不同情况下，转动半径的变化情况，再根据题中结论进行分析。
13．（2022高三上·湖北期中）已知质量为m的卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。某质量为m的卫星原来在半径为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过多次喷气，卫星变轨到低轨道做匀速圆周运动，半径为，不考虑空气阻力，此过程中卫星喷气做的功为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】根据题意可知，由于卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为
时有
卫星的引力势能为
轨道半径为 时有
卫星的引力势能为 设卫星喷气做的功为W，根据能量守恒定律得
联立可得 。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力提供向心力，从而得出卫星的引力势能和卫星的引力势能，结合能量守恒定律得出卫星喷气做的功 。
14．（2024高三上·邢台月考）格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。下列说法正确的是（ ）
A．果实3的向心加速度最大
B．果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行
C．果实2的运动周期大于果3的运动周期
D．果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动
【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】AC、 如果1、2、3长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，说明三者的角速度相同，则三者的运动周期相同，由
知道，1的转动半径最大，则1的向心加速度最大，AC错误；
B、题意“ 果实2在地球同步轨道上 ”， 果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行，B正确；
D、对于果实1还没成熟时，由万有引力和豆秧的拉力提供向心力，所以当 果实1成熟自然脱离豆秧后 ，只有万有引力提供向心力了，可果实1需要的向心力不变，所以果实1受到的万有引力不足以提供果实1所需要的向心力时，果实1将做离心运动，D错误。
故答案为：B。
【分析】本题考查圆周运动的应用，根据三颗果实随地球一起自转判断三颗果实的角速度相同，根据判断三者的向心加速度关系，比较物体受到的指向圆心的合力和物体做圆周运动所需要的向心力的大小关系来判断物体做离心运动还是近心运动，还是圆周运动。
15．（2023高三上·深圳月考）2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入空间站天和核心舱，正式开启6个月的太空之旅，已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。若科研任务圆满完成后，三名宇航员搭乘返回舱返回地球表面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为
B．天和核心舱匀速圆周运动的周期为
C．返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，向后喷出灸热气体
D．返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，动能逐渐减小
【答案】B
【知识点】万有引力定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A． 已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h ，根据牛顿第二定律有
可得天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为
故A错误；
B．根据
可得天和核心舱匀速圆周运动的周期为
故B正确；
C． 返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，则应向前喷出灸热气体从而提供反向推力，故C错误；
D． 返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力一直做负功，但由于万有引力先大于阻力，后小于阻力，即合力先做正功，后做负功，所以返回舱的动能应该是先增大然后再逐渐减小 ，故D错误。
故选B。
【分析】根据万有引力提供向心力求向心加速度即周期；返回舱要减速，则需要向运动的前方喷气，从而获得反向推力；根据返回舱受到的合力先做正功后做负功，从而判断出动能先增大后减小。
16．（2023高三上·胶州期中）如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB=1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是（ ）
A．探测器的速度一直减小
B．探测器在距星球A为处加速度为零
C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D．若探测器能到达星球B，其速度一定等于发射时的初速度
【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】AB、开始运动时，星球A对探测器的引力大于星球B对探测器的引力，探测器做减速运动。当探测器的加速度为零，即所受合力为零。设此时探测器距A星球距离为r，则有
因为
则
即此后B星球对探测器的引力将大于A星球对探测器的引力，探测器开始做加速运动，故探测器的速度先减小后增大，故A错误，B正确；
CD、探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B的过程中，万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的速度，故CD错误。
故答案为：B。
【分析】当加速度为零时，探测器的速度达到最大，此时受到的合外力为零。根据平衡条件即可得知探测器此时所处位置。此位置也为探测器所受合外力方向变换的点。再根据功的定义判断整个运动过程，万有引力的做功情况。万有引力做正功，动能增加。
二、多项选择题
17．（2024高三下·长沙月考）2023年春节黄金档期中我国科幻电影《流浪地球2》再获口碑、票房双丰收，极具科幻特色的“太空电梯”设定吸引了众多科幻爱好者研究的兴趣。太空电梯是从地面基座连接距离地球表面约静止轨道空间站的直立式电梯，若地球的半径近似为，下列关于太空电梯设定的说法正确的是（ ）
A．电梯轨道基座能建设在广州市
B．若发生意外，断裂在太空里的电梯部件将不会掉落到地球上
C．若电梯临时停在距离地表为的高空，其重力加速度只有地球表面的
D．登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地面的
【答案】C,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.由于太空电梯要与同步轨道的空间站进行连接，而同步卫星的轨道与赤道共面，所以太空电梯应该建立在同步卫星轨道所在的平面内，即赤道上，不可能建在广州市，A不符合题意；
B.太空电梯的设定实际为建于地球之上，由大型基座、牵引钢缆等组建连接于同步轨道的垂直电梯，实际是地表建筑物，跟随地球自转且具有相同的角速度，故其自转的角速度、线速度明显小于第一宇宙速度，故除静止轨道外的部分断裂皆因其受到的万有引力大于向心力才会掉落，电影内也有这一情节，B不符合题意；
C.距离地表18000km的高空处，距离地心距离约为18000km+6400km，约为地球半径的3.8倍，根据万有引力与重力的关系可得
得
其重力加速度约为地球表面的
C符合题意；
D.静止轨道距地球表面高36000km处，该处到地心距离为42400km，约为地球半径的6.6倍，根据万有引力公式
可得，登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地球表面的
D符合题意。
故答案为：CD。
【分析】根据同步卫星的轨道与赤道共面的特点，分析太空电梯基座建设的位置；根据电梯部件的受力分析断裂在太空里的电梯部件能否掉落地球上；根据重力与万有引力的关系，推导18000km处重力加速度与地表处重力加速度的数值关系；根据万有引力定律公式，计算登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力与其在地球表面受到的万有引力的数值关系。
18．（2023高一下·长寿月考） 已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为，地球自转的周期为，地球绕太阳公转周期为，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．地球的密度为
B．地球的质量为
C．月球运动的加速度为
D．月球的质量为
【答案】A,C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】当月球绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有：可以求出地球的质量为：，所以B错；再根据密度公式有：，且可以解得地球的密度为：，所以A对；根据向心加速度与周期的关系可以求出月球的加速度为：，所以C对；根据引力提供向心力时月球的质量在等式中被消去所以不能求出月球的质量，所以D错；正确答案为AC
【分析】利用引力提供向心力可以求出地球的质量和月球的向心加速度，结合密度公式可以求出地球的密度；月球的质量不能求解。
19．（2023高三上·唐山期末）海王星质量约为地球质量的16倍，第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2倍。忽略行星自传，关于海王星的说法正确的是（ ）
A．半径约是地球半径的4倍
B．表面的重力加速度约等于地球表面的重力加速度
C．平均密度与地球的平均密度相同
D．受到太阳的引力约等于地球受太阳的引力
【答案】A,B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由第一宇宙速度的表达式，可知， 海王星质量约为地球质量的16倍，第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2倍 则海王星的半径约为地球半径的4倍，A正确。
B、星球表面万有引力等于重力，则有，可知， 海王星质量约为地球质量的16倍 ，海王星的半径约为地球半径的4倍，则两者表面的重力加速度相等，B正确。
C、星球的体积为，则，海王星质量约为地球质量的16倍，海王星的半径约为地球半径的4倍，则海王星的密度为地球密度的，C错误。
D、海王星和地球与太阳之间的距离未知，无法比较两者所受太阳万有引力的大小，D错误。
故答案为：AB
【分析】第一宇宙速度为最小的发射速度和最大的环绕速度，即，忽略星球自转，物体在星球表面的万有引力等于物体所受的重力，即。
20．（2023高一下·郑州期中）如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆形轨道Ⅰ上运动，再次经过点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为、高度为，远地点为、高度为的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过点时的加速度一定大于经过点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过点时的速率可能小于经过点时的速率
【答案】B,C
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、根据卫星做匀速圆周运动的引力提供向心力，则有：，由于卫星在轨道I的半径不变所以线速度的大小保持不变，所以A错；
B、根据开普勒第三定律：，由于卫星在轨道I的半径大于在轨道II的半径所以卫星在轨道I的周期比较大，所以B对；
根据牛顿第二定律有：，所以卫星在Q点的加速度大于在P点加速度的大小，所以C对；
根据开普勒第二定律，卫星经过近月点Q的速度大于经过远月点P的速度大小，所以D错；
正确答案为BC
【分析】利用引力提供向心力可以判别加速度和线速度的大小；利用开普勒第三定律可以比较周期的大小。
21．（2023高一下·深圳期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（ ）
A．在相同时间内a转过的弧长最长
B．b的向心加速度近似等于重力加速度g
C．c在6h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是25h
【答案】B,C,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、根据引力提供向心力有：则线速度的大小有：，且由于c为同步卫星，所以，且rc>ra，则四颗卫星中b线速度最大，相同时间内转过的弧长也最长，则A错；
B、根据，所以b的向心加速度有：，则B对；
由于c一个周期运动时间为24h，所以在6h转过的圆心角等于，则C对；
根据，所以d的运行周期大于c的运行周期，所以d的周期可能为25h，则D对；
正确答案为BCD
【分析】利用引力提供向心力可以比较线速度、向心加速度和周期的大小；利用同步卫星运动的时间结合周期可以求出转过的圆心角大小。
22．（2023高二上·越秀开学考）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星公转半径比地球大，火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的动能之比
B．地球与火星的公转周期之比
C．地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
【答案】B,D
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.设地球和火星的公转周期分别为、，轨道半径分别为、，由开普勒第三定律可得
可求得地球与火星的轨道半径之比，由万有引力提供向心力可得，得，地球与火星的线速度之比，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A不符合题意；
B.地球和火星的角速度分别为，，由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径， 则，由以上可解得，则地球与火星绕太阳的公转周期之比，B符合题意；
C.由万有引力等于重力可得，解得，由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，可知两星球表面重力加速度的关系不可求，C不符合题意；
D.由牛顿第二定律可得，可得行星的向心加速度大小为，由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D符合题意。
故答案为：BD。
【分析】根据开普勒第三定律和万有引力提供向心力推导行星的线速度表达式，由行星的追及相遇原理推导行星周期的表达式，根据重力等于万有引力推导重力加速度的表达式，由牛顿第二定律推导向心加速度的表达式，根据各物理量的表达式，结合已知条件分析各物理量之间的比值能否求解。
23．（2023高一下·昆明期末） 用弹簧测力计分别在地球两极和赤道上测量一个物体的重力，物体的质量为，在两极时弹簧测力计的读数为，在地球赤道上时弹簧测力计的读数为。已知地球半径为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．地球的自转角速度为 D．地球的自转角速度为
【答案】A,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】 在两极时，，在赤道，，联立可得：，，AD正确；BC错误；
故答案为：AD。
【分析】 在两极时，地球对物体的万有引力等于物体重力，在赤道，地球对物体的万有引力等于物体重力和向心力的和，列式求解。
三、非选择题
24．（2024高一上·南京期末）如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为M，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300M，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力，，则求：
（1）木星地表的重力加速度为多大？
（2）木星冲日平均多少年出现一次？
【答案】（1）解：行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时受到的重力，有
解得
已知地球质量为M，半径为R，而木星质量是300M，半径是10R，则木星表面的重力加速度为
（2）解：根据开普勒第三定律有
可得
设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则
解得
【知识点】开普勒定律；万有引力定律；万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）利用万有引力等于重力，结合地球与木星的质量和半径特点，可求出木星表面的重力加速度；（2）根据开普勒第三定律，结合地球与木星的半径，可求出周期，进而利用追及相遇的特点，可求出时间。
25．（2023高三上·胶州期中）万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。
（1）不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小。
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。
（3）电影《流浪地球》中的人们住在“地下城”。假设“地下城”建在半径为r的巨大空腔中，空腔与地球表面相切，如图所示。O和O′分别为地球和空腔的球心，地球表面上空某处P离地球表面的距离为H，空腔内另一处Q与球心O′的距离为L，P、Q、O′和O在同一直线上。对于质量为m的人，求
①在P处受到地球的万有引力大小；
②在Q处受到地球的万有引力大小。
【答案】（1）解：不考虑地球的自转，在地球表面附近
解得
（2）解：设地球平均密度为ρ，则
在矿井底部
而
深度为d的矿井底部的重力加速度大小
（3）解：①质量为m的人在P处受到地球的万有引力大小
其中
解得
②质量为m的人在Q处受到地球的万有引力大小
其中
解得
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）地球表面的物体受到万有引力的距离等于地球的半径，不考虑自转，万有引力等于重力，根据万有引力定律进行解答即可；
（2）根据题意可知，半径为R的地球对深度为d的矿井底部的万有引力与半径为R-d的球体对其表面的物体的万有引力大小相等。由于质量均匀分布，故需要根据体积之比，计算得出R-d的球体的质量与地球质量的关系，再根据万有引力与重力的关系进行求解；
（3）本小问采用割补法进行求解，P点受到的万有引力可看出是地球以及半径与空腔球体相等的球体对p点万有引力之差。由于质量分布均匀，根据体积之比，求出半径等于空腔球体的球体与地球总质量的关系。再根据万有引力定律进行求解。Q点P点受到的万有引力可看出是半径等于R-r+L的球体以及半径等于L的球体对Q点万有引力之差。由于质量分布均匀，根据体积之比，求出各球体与地球总质量的关系。再根据万有引力定律进行求解。
26．（2023高三上·通州月考）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：
（1）某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；
（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力与的平方成反比
（3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为，自转周期为，万有引力常量为。将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。
【答案】（1）解：根据万有引力定律可得：
，
解得
答：行星在近日点和远日点的加速度大小之比为；
（2）解：行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有
又由于，
解得
可知，太阳对行星的作用力与的平方成反比。
（3）解：在赤道地面附近
在北极地面附近有
解得
答：比值的表达式为。
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）行星在运动的过程中，近日点和远日点均由太阳对其万有引力提供向心加速度，故根据万有引力与加速度的关系进行解答，即可求出加速度之比；
（2）行星绕太阳做匀速圆周运动，则由万有引力提供向心力，求出万有引力与线速度的关系，再根据线速度与周期的关系，结合开普勒第三定律即可得出万有引力与半径平方的关系；
（3）在赤道上，由于物体随地球自转，故地球对物体的万有引力等于物体在该点的受到重力与物体做圆周运动的向心力之和。而两极位于地球的自转轴上，无自转，故此处地球对物体的万有引力等于物体在该点受到的重力。根据万有引力定律与重力及向心力的关系，即可求出赤道与两极物体的加速度，继而得出比值大小。
27．（2023高一下·深圳期中）在距离地球4.22光年以外的比邻星系，存在着一颗“超级地球”——比邻星b，环境与地球类似。已知比邻星b的半径R1是地球半径R2的2倍，比邻星b的质量M1为地球质量M2的倍。假定多年之后，科学家已经实现了星际航行，人类的足迹可以到达比邻星b。若在比邻星b上的科学家在比邻星b表面利用如图所示的装置研究小球的运动，光滑水平面OA与竖直面内的粗糙半圆形导轨在A点相接，半圆形导轨半径r=8m。一质量为m=1kg小球（可视为质点）将弹簧压缩至O点处由静止开始释放，在弹力的作用下，小球获得某一向右的速度后脱离弹簧，从轨道最低点A进入半圆形轨道，测得小球在A点对轨道的压力为重力的7倍，且小球恰好能够通过最高点B点，随后从最高点B脱离轨道后做平抛运动，最终与一斜面相碰于C点，C点与B点之间高度差h=5m。已知地球表面重力加速度g=10m/s2，忽略星球自转影响，不计空气阻力。求：
（1）比邻星b表面的重力加速度g1；
（2）小球从A点运动至B点过程中阻力做的功Wf；
（3）小球从B点运动至C点所需的时间t及小球在C点处的动能Ek。
【答案】（1）解：由
得 ，
故
解得
（2）解：小球在A点时，根据牛顿第二定律有，
解得
而小球恰好能通过B点
故
解得
从A至B，由动能定理可得
（3）解：由
可得t=4s
小球从B运动至C，由机械能守恒可得
解得
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）在星球表面万有引力等于重力，根据重力加速度与半径的关系分析求解。
（2）对小球在A点受力分析，根据牛顿第二定理计算A点的速度，再由重力提供向心力计算B点速度，最后根据动能定理计算求解。
（3）小球从B运动到C的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律分析求解。
28．（2023高一下·郑州期末） 地球绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道，已知轨道半径为，公转周期为年约。地球半径为，地面重力加速度. 取。已知万有引力常量。请根据上述数据，估算：
（1）太阳的质量结果保留两位有效数字；
（2）地球的质量结果保留两位有效数字。
【答案】（1）解： 根据万有引力提供向心力有
阳的质量为
答：太阳的质量为；
（2）解：根据万有引力与重力的关系有
地球的质量为
答：地球的质量为。
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）太阳对地球的引力提供向心力，利用牛顿第二定律结合万有引力定律可以求出太阳质量的大小；
（2）由于地球对表面物体的引力产生重力，利用牛顿第二定律结合万有引力定律可以求出地球质量的大小。
1 / 1人教版物理必修2同步练习：7.3 万有引力理论的成就（能力提升）
一、选择题
1．（2024高三上·岳阳模拟） 如图甲所示，小明在地球表面进行了物体在竖直方向做直线运动的实验，弹簧原长时，小球由静止释放，在弹簧弹力与重力作用下，测得小球的加速度a与位移x的关系图像如图乙所示。已知弹簧的劲度系数为k，地球的半径为R，万有引力常量为G，不考虑地球自转影响，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球的位移为x0时，小球正好处于完全失重状态
B．小球的最大速度为
C．小球的质量为
D．地球的密度为
2．（2024高三上·长沙期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行投课，若梦天实验舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为地球半径的倍。已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转的影响，则（ ）
A．漂浮在实验舱中的宇航员不受地球引力
B．实验舱绕地球运动的线速度大小约为
C．实验舱绕地球运动的向心加速度大小约为
D．地球的密度约为
3．（2023高三上·番禺期中）为顺利完成月球背面的“嫦娥六号”探测器与地球间的通信，我国新研制的“鹊桥二号”中继通信卫星计划2024年上半年发射，并定位在地月拉格朗日点，位于拉格朗日点上的卫星可以在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做匀速圆周运动。已知地、月中心间的距离约为点与月球中心距离的6倍，如图所示。则地球与月球质量的比值约为（ ）
A．36 B．49 C．83 D．216
4．（2024高二上·怀柔期末）如图所示，人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道；然后在点近地点点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在点远地点再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ下列说法正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ上点的速度一定不超过第一宇宙速度
B．如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则在该轨道上运行的任何卫星，其角速度和北京“鸟巢”的角速度相同
C．在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，所以卫星发射场必须建在赤道上
D．卫星在圆轨道上运行时的周期和向心加速度小于在圆轨道Ⅲ上的周期和向心加速度
5．（2016·厦门模拟）宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t（t小于其运动周期），运动的弧长为L，与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），引力常量为G，则下列说法中正确的是（ ）
A．“悟空”的质量为
B．“悟空”的环绕周期为
C．“悟空”的线速度大于第一宇宙速度
D．“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
6．（2023高三上·大庆期中） 为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内圈的半径为），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式，则太阳的密度可近似的表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三上·泊头月考） 我国计划在2030年前实现载人登月，如图所示为登月飞船飞行任务中的某个阶段。登月飞船绕月球做顺时针匀速圆周运动，轨道半径为r，周期为T；月球在同一平面内绕地球做顺时针匀速圆周运动，公转周期为。已知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．由已知信息可求出登月飞船的质量
B．由已知信息可求出地球的质量
C．由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为
D．由图示位置到地、月、飞船再次共线，所用时间为
8．（2019·黑龙江模拟）2018年12月8日2时23分，我国成功发射“嫦娥四号”探测器，开启了月球探测的新旅程，“嫦娥四号”于2019年1月3日10时26分成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地。探测器上有一可认为光滑的滑梯固定在月球表面上，将滑梯与月块表面的夹角调为 ，月球车从滑梯上由静止滑到底部的过程中下滑长度为L，所用时间为t，已知月球半径为R，则月球的第一宇宙速度为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·扬州期末）在“天宫课堂”第四课中，神舟十六号航天员朱杨柱、桂海潮展示了在微重力环境下用“特制”球拍击打水球的现象，下列说法正确的是（ ）
A．在地面附近也可以获得微重力环境
B．在微重力环境下，水球的惯性减小
C．水球悬浮时所受浮力与地球引力平衡
D．物体在空间站中受地球引力比在地面小很多
10．（2024高三上·东莞期末） 已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4 倍. 若在月球和地球表面以相同的初速度竖直向上抛出物体，不计一切阻力，抛出点与最高点间的距离分别为h 和h ，则h ：h 最接近
A．1：1 B．1：6 C．9：4 D．5：1
11．（2017·海南）已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月：s地约为（ ）
A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1
12．（2023高三上·许昌月考）地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到潮汐的影响，自转速度持续减小，现在地球自转周期为24小时。与此同时，在数年、数十年的时间内，由于地球板块的运动、地壳的收缩、海洋、大气等一些复杂因素以及人类活动的影响，地球的自转周期发生毫秒级别的微小波动。科学研究指出，若不考虑潮汐的影响，在地球的总质量不变的情况下，地球上的所有物质满足常量，其中表示地球各部分的质量为地球各部分到地轴的距离，ω为地球自转的角速度，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．潮汐的影响使地球自转的角速度变大
B．若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变小
C．若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，地球自转周期会变小
D．若仅考虑B处板块向赤道漂移，地球自转周期会变小
13．（2022高三上·湖北期中）已知质量为m的卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为，其中G为引力常量，M为地球质量。某质量为m的卫星原来在半径为的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过多次喷气，卫星变轨到低轨道做匀速圆周运动，半径为，不考虑空气阻力，此过程中卫星喷气做的功为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024高三上·邢台月考）格林童话《杰克与豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生长，长得很高很高。如果长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，其中果实2在地球同步轨道上。下列说法正确的是（ ）
A．果实3的向心加速度最大
B．果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行
C．果实2的运动周期大于果3的运动周期
D．果实1成熟自然脱离豆秧后，将做近心运动
15．（2023高三上·深圳月考）2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，成功将航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲顺利送入空间站天和核心舱，正式开启6个月的太空之旅，已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。若科研任务圆满完成后，三名宇航员搭乘返回舱返回地球表面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为
B．天和核心舱匀速圆周运动的周期为
C．返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，向后喷出灸热气体
D．返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力做负功，动能逐渐减小
16．（2023高三上·胶州期中）如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB=1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是（ ）
A．探测器的速度一直减小
B．探测器在距星球A为处加速度为零
C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D．若探测器能到达星球B，其速度一定等于发射时的初速度
二、多项选择题
17．（2024高三下·长沙月考）2023年春节黄金档期中我国科幻电影《流浪地球2》再获口碑、票房双丰收，极具科幻特色的“太空电梯”设定吸引了众多科幻爱好者研究的兴趣。太空电梯是从地面基座连接距离地球表面约静止轨道空间站的直立式电梯，若地球的半径近似为，下列关于太空电梯设定的说法正确的是（ ）
A．电梯轨道基座能建设在广州市
B．若发生意外，断裂在太空里的电梯部件将不会掉落到地球上
C．若电梯临时停在距离地表为的高空，其重力加速度只有地球表面的
D．登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地面的
18．（2023高一下·长寿月考） 已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球之间的距离（两球中心之间的距离）为L。月球绕地球公转的周期为，地球自转的周期为，地球绕太阳公转周期为，假设公转运动都视为圆周运动，万有引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．地球的密度为
B．地球的质量为
C．月球运动的加速度为
D．月球的质量为
19．（2023高三上·唐山期末）海王星质量约为地球质量的16倍，第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2倍。忽略行星自传，关于海王星的说法正确的是（ ）
A．半径约是地球半径的4倍
B．表面的重力加速度约等于地球表面的重力加速度
C．平均密度与地球的平均密度相同
D．受到太阳的引力约等于地球受太阳的引力
20．（2023高一下·郑州期中）如图是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆形轨道Ⅰ上运动，再次经过点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为、高度为，远地点为、高度为的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B．“嫦娥三号”在距离月面高度为的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期
C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过点时的加速度一定大于经过点时的加速度
D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过点时的速率可能小于经过点时的速率
21．（2023高一下·深圳期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（ ）
A．在相同时间内a转过的弧长最长
B．b的向心加速度近似等于重力加速度g
C．c在6h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是25h
22．（2023高二上·越秀开学考）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星公转半径比地球大，火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的动能之比
B．地球与火星的公转周期之比
C．地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D．地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
23．（2023高一下·昆明期末） 用弹簧测力计分别在地球两极和赤道上测量一个物体的重力，物体的质量为，在两极时弹簧测力计的读数为，在地球赤道上时弹簧测力计的读数为。已知地球半径为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．地球的自转角速度为 D．地球的自转角速度为
三、非选择题
24．（2024高一上·南京期末）如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为M，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300M，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力，，则求：
（1）木星地表的重力加速度为多大？
（2）木星冲日平均多少年出现一次？
25．（2023高三上·胶州期中）万有引力定律清楚地向人们揭示，复杂运动隐藏着简洁的科学规律；它明确地向人们宣告，天上和地上的物体都遵循着完全相同的科学法则；它可以计算两个质点间的万有引力，或球体之间的万有引力。已知地球的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。
（1）不考虑地球的自转，求地球表面附近的重力加速度大小。
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。求深度为d的矿井底部的重力加速度大小。
（3）电影《流浪地球》中的人们住在“地下城”。假设“地下城”建在半径为r的巨大空腔中，空腔与地球表面相切，如图所示。O和O′分别为地球和空腔的球心，地球表面上空某处P离地球表面的距离为H，空腔内另一处Q与球心O′的距离为L，P、Q、O′和O在同一直线上。对于质量为m的人，求
①在P处受到地球的万有引力大小；
②在Q处受到地球的万有引力大小。
26．（2023高三上·通州月考）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题：
（1）某质量为的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比；
（2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为，请根据开普勒第三定律及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力与的平方成反比
（3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为，自转周期为，万有引力常量为。将地球视为半径为、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。
27．（2023高一下·深圳期中）在距离地球4.22光年以外的比邻星系，存在着一颗“超级地球”——比邻星b，环境与地球类似。已知比邻星b的半径R1是地球半径R2的2倍，比邻星b的质量M1为地球质量M2的倍。假定多年之后，科学家已经实现了星际航行，人类的足迹可以到达比邻星b。若在比邻星b上的科学家在比邻星b表面利用如图所示的装置研究小球的运动，光滑水平面OA与竖直面内的粗糙半圆形导轨在A点相接，半圆形导轨半径r=8m。一质量为m=1kg小球（可视为质点）将弹簧压缩至O点处由静止开始释放，在弹力的作用下，小球获得某一向右的速度后脱离弹簧，从轨道最低点A进入半圆形轨道，测得小球在A点对轨道的压力为重力的7倍，且小球恰好能够通过最高点B点，随后从最高点B脱离轨道后做平抛运动，最终与一斜面相碰于C点，C点与B点之间高度差h=5m。已知地球表面重力加速度g=10m/s2，忽略星球自转影响，不计空气阻力。求：
（1）比邻星b表面的重力加速度g1；
（2）小球从A点运动至B点过程中阻力做的功Wf；
（3）小球从B点运动至C点所需的时间t及小球在C点处的动能Ek。
28．（2023高一下·郑州期末） 地球绕太阳公转的轨道近似看成圆形轨道，已知轨道半径为，公转周期为年约。地球半径为，地面重力加速度. 取。已知万有引力常量。请根据上述数据，估算：
（1）太阳的质量结果保留两位有效数字；
（2）地球的质量结果保留两位有效数字。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】超重与失重；牛顿定律与图象；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由题图乙可知，小球的位移为x0时，小球的加速度为0，小球的合力为0，弹簧的拉力与小球的重力等大方向，小球既不是失重状态也不是超重状态，故A错误；
B、小球的加速度a与位移x的关系图像与坐标轴围成的面积表示速度平方的一半，当小球的加速度为零时，小球的加速度最大，设小球的最大速度为v，则有
得小球的最大速度
故B正确；
C、设地球表面的重力加速度为g，小球的质量为m，当小球向下运动的位移为x，弹簧的伸长量也为x，设小球的加速度为a，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得
整理可得
结合图乙可得
，
故C错误；
D、设地球的质量为M，由
又有
月球的密度为
联立得
故D错误。
故答案为：B。
【分析】加速为零时，物体处于平衡状态。加速度a与位移x的关系图像与坐标轴围成的面积表示速度平方的一半，当小球的速度最大时，加速度为零。根据小球的受力情况结合牛顿第二定律确定图像的函数表达式，再根据图像确定小球的质量。地球表面的物体重力等于万有引力。
2．【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供做宇航员随飞船做匀速圆周运动的向心力，A不符合题意；
B.设空间站的质量为m，其所受万有引力提供向心力，有
又
联立解得实验舱绕地球运动的线速度大小为
B符合题意；
C.由牛顿第二定律可得
又
解得实验舱绕地球运动的向心加速度大小为
C不符合题意；
D.由
，
可得地球的平均密度约为
D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】处于完全失重状态的宇航员受到的万有引力充当其做圆周运动的向心力；根据所受万有引力提供向心力和万有引力与重力的关系，求解实验舱绕地球运动的线速度大小；由牛顿第二定律推导实验舱绕地球运动的向心加速度；由密度公式计算地球的平均密度。
3．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设点与月球中心距离为r，则地、月中心间的距离为6r，设地球质量为M，月球质量为m，拉格朗日点处的卫星质量为，月球绕地球运动的周期为T，则根据万有引力充当向心力，对月球有
对卫星有
联立解得地球与月球质量的比值为
C符合题意，ABD不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据万有引力充当向心力，分别对月球和卫星绕地球的圆周运动列式，求出方程组即可。
4．【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、在轨道Ⅱ上A点，万有引力小于向心力，做离心运动，该点的速度会大于第一宇宙速度，故A错误。
B、同步卫星的周期与地球自转的周期相等，可知同步轨道上卫星的角速度与北京“鸟巢”的角速度相同，故B正确。
C、虽然在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，但是发射场并不是必须建在赤道上的，如我国酒泉卫星发射中心不在赤道上，故C错误。
D、根据得，，，轨道I的半径小于轨道Ⅲ的半径，则卫星在轨道I上的向心加速度大于轨道Ⅲ上的向心加速度，卫星在轨道I上的周期小于轨道Ⅲ上的周期，故D错误。
故选：B。
【分析】根据变轨的原理判断轨道Ⅱ上A点的速度大小；同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等；在赤道上顺着地球自转方向发射卫星可节省能量，但是发射场并不是必须建在赤道上；根据万有引力提供向心力得出周期、向心加速度与轨道半径的关系，从而比较大小
5．【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】解：A、“悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故A错误；
B、“悟空”经过时间t（t小于“悟空”的周期），它运动的弧长为L，它与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），
则“悟空”的角速度为：ω= ，周期T= ，故B正确；
C、“悟空”在低于地球的同步轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：G ，得 v= ，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；
D、由G 得：加速度a= ，由于“悟空”做圆周运动的半径较小，所以“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故D错误．
故选：B
【分析】已知“悟空”经过时间t（t小于“悟空”的周期），它运动的弧长为L，它与地球中心连线扫过的角度为θ（弧度），根据线速度和角速度定义可求得“悟空”的线速度和角速度，根据万有引力提供向心力求得地球的质量，不能求解“悟空”质量．
6．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设太阳的半径为R，地球到太阳的距离为d，则根据相似三角形对应边成比例可得
地球绕太阳做圆周运动
太阳的密度
解得
故答案为：C。
【分析】根据几何知识用题中物理量表示出地球到太阳距离即地球做圆周运动半径，结合万有引力定律求解。
7．【答案】D
【知识点】线速度、角速度和周期、转速；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.已知飞船围绕月球转动的的周期和半径，可以求出中心月球的质量，不能求飞船质量，A错误；
B.绕地球转动的月球只知道其环绕周期，不知环绕半径，无法求得中心地球的质量，B错误；
CD.再次共线过程满足方程
求得
D正确，C错误。
故正确答案为：D。
【分析】用环绕公式只能求中心天体的质量；再次共线时飞船绕月球转动角度大于半个圆周，多出来的角度恰好是月球绕地球转过的角度。
8．【答案】B
【知识点】匀变速直线运动的位移与时间的关系；牛顿第二定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】月球车从滑梯上的运动过程，根据位移时间公式有
根据牛顿第二定律得
设月球的第一宇宙速度为v， 则有
联立得 ，ACD不符合题意，B符合题意。
故答案为：B。
【分析】利用位移公式结合牛顿第二定律和引力提供向心力可以求出第一宇宙速度的大小。
9．【答案】A
【知识点】惯性与质量；超重与失重；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、在地面附近也可以获得微重力环境，如自由落体的过程，故A正确；
B、在微重力环境下，水球的质量不变，惯性不变，故B错误；
C、水球悬浮是由于完全失重的原因，故C错误；
D、物体在空间站中的轨道半径与地球半径相差不大，根据万有引力公式可知物体在空间站中受地球引力比在地面并非小很多，故D错误；
故答案为：A。
【分析】质量不变，惯性不变。悬浮是由于完全失重的原因。物体在空间站中的轨道半径与地球半径相差不大，根据万有引力公式分析引力的大小情况。
10．【答案】D
【知识点】自由落体运动；万有引力定律的应用
【解析】【解答】由自由落体运动的位移公式可得
根据万有引力等于重力可得
联立可得
故
D符合题意，ABC不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力等于重力和自由落体运动的位移公式综合推导。
11．【答案】A
【知识点】重力加速度；平抛运动；万有引力定律的应用
【解析】【解答】解：设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R．
已知 =81， =4，
根据万有引力等于重力得： =mg
则有：g=
因此 = …①
由题意从同样高度抛出，
h= gt2= g′t′2…②，
①、②联立，解得t′= t，
在地球上的水平位移s=v0t，
在月球上的s′=v0t′；
因此s月：s地约为9：4，故A正确，BCD错误；
故选：A．
【分析】根据万有引力等于重力，求出月球表面重力加速度和地球表面重力加速度关系，运用平抛运动规律求出两星球上水平抛出的射程之比．
12．【答案】C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由题中信息，因为受到月球潮汐的影响，自转在持续减速，使地球自转的角速度变小，故A错误；
B、根据
可知
若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变大，故B错误；
C、根据
若仅考虑A处的冰川融化，质心下降，则转动半径r减小，则角速度ω变大，则会使地球自转周期变小，故C正确；
D、根据
若仅考虑B处板块向赤道漂移，则转动半径变大，则角速度ω减小，则会使地球自转周期变大，故D错误。
故答案为：C。
【分析】本题为信息处理题。确定赤道处物体跟随地球自转的向心力来源，结合牛顿第二定律进行分析。根据题意分析不同情况下，转动半径的变化情况，再根据题中结论进行分析。
13．【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】根据题意可知，由于卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为
时有
卫星的引力势能为
轨道半径为 时有
卫星的引力势能为 设卫星喷气做的功为W，根据能量守恒定律得
联立可得 。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力提供向心力，从而得出卫星的引力势能和卫星的引力势能，结合能量守恒定律得出卫星喷气做的功 。
14．【答案】B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】AC、 如果1、2、3长在地球赤道上的这棵豆秧上有与赤道共面且随地球一起自转的三颗果实，说明三者的角速度相同，则三者的运动周期相同，由
知道，1的转动半径最大，则1的向心加速度最大，AC错误；
B、题意“ 果实2在地球同步轨道上 ”， 果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行，B正确；
D、对于果实1还没成熟时，由万有引力和豆秧的拉力提供向心力，所以当 果实1成熟自然脱离豆秧后 ，只有万有引力提供向心力了，可果实1需要的向心力不变，所以果实1受到的万有引力不足以提供果实1所需要的向心力时，果实1将做离心运动，D错误。
故答案为：B。
【分析】本题考查圆周运动的应用，根据三颗果实随地球一起自转判断三颗果实的角速度相同，根据判断三者的向心加速度关系，比较物体受到的指向圆心的合力和物体做圆周运动所需要的向心力的大小关系来判断物体做离心运动还是近心运动，还是圆周运动。
15．【答案】B
【知识点】万有引力定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A． 已知天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，其轨道距离地面高度为h ，根据牛顿第二定律有
可得天和核心舱在轨运行时的向心加速度大小为
故A错误；
B．根据
可得天和核心舱匀速圆周运动的周期为
故B正确；
C． 返回舱脱离空间站，开始返回时，需要点火减速，则应向前喷出灸热气体从而提供反向推力，故C错误；
D． 返回舱进入大气层返回地球表面的过程中，空气阻力一直做负功，但由于万有引力先大于阻力，后小于阻力，即合力先做正功，后做负功，所以返回舱的动能应该是先增大然后再逐渐减小 ，故D错误。
故选B。
【分析】根据万有引力提供向心力求向心加速度即周期；返回舱要减速，则需要向运动的前方喷气，从而获得反向推力；根据返回舱受到的合力先做正功后做负功，从而判断出动能先增大后减小。
16．【答案】B
【知识点】牛顿第二定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】AB、开始运动时，星球A对探测器的引力大于星球B对探测器的引力，探测器做减速运动。当探测器的加速度为零，即所受合力为零。设此时探测器距A星球距离为r，则有
因为
则
即此后B星球对探测器的引力将大于A星球对探测器的引力，探测器开始做加速运动，故探测器的速度先减小后增大，故A错误，B正确；
CD、探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B的过程中，万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的速度，故CD错误。
故答案为：B。
【分析】当加速度为零时，探测器的速度达到最大，此时受到的合外力为零。根据平衡条件即可得知探测器此时所处位置。此位置也为探测器所受合外力方向变换的点。再根据功的定义判断整个运动过程，万有引力的做功情况。万有引力做正功，动能增加。
17．【答案】C,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.由于太空电梯要与同步轨道的空间站进行连接，而同步卫星的轨道与赤道共面，所以太空电梯应该建立在同步卫星轨道所在的平面内，即赤道上，不可能建在广州市，A不符合题意；
B.太空电梯的设定实际为建于地球之上，由大型基座、牵引钢缆等组建连接于同步轨道的垂直电梯，实际是地表建筑物，跟随地球自转且具有相同的角速度，故其自转的角速度、线速度明显小于第一宇宙速度，故除静止轨道外的部分断裂皆因其受到的万有引力大于向心力才会掉落，电影内也有这一情节，B不符合题意；
C.距离地表18000km的高空处，距离地心距离约为18000km+6400km，约为地球半径的3.8倍，根据万有引力与重力的关系可得
得
其重力加速度约为地球表面的
C符合题意；
D.静止轨道距地球表面高36000km处，该处到地心距离为42400km，约为地球半径的6.6倍，根据万有引力公式
可得，登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力约为地球表面的
D符合题意。
故答案为：CD。
【分析】根据同步卫星的轨道与赤道共面的特点，分析太空电梯基座建设的位置；根据电梯部件的受力分析断裂在太空里的电梯部件能否掉落地球上；根据重力与万有引力的关系，推导18000km处重力加速度与地表处重力加速度的数值关系；根据万有引力定律公式，计算登上静止轨道空间站的宇航员受到的万有引力与其在地球表面受到的万有引力的数值关系。
18．【答案】A,C
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】当月球绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力有：可以求出地球的质量为：，所以B错；再根据密度公式有：，且可以解得地球的密度为：，所以A对；根据向心加速度与周期的关系可以求出月球的加速度为：，所以C对；根据引力提供向心力时月球的质量在等式中被消去所以不能求出月球的质量，所以D错；正确答案为AC
【分析】利用引力提供向心力可以求出地球的质量和月球的向心加速度，结合密度公式可以求出地球的密度；月球的质量不能求解。
19．【答案】A,B
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、由第一宇宙速度的表达式，可知， 海王星质量约为地球质量的16倍，第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的2倍 则海王星的半径约为地球半径的4倍，A正确。
B、星球表面万有引力等于重力，则有，可知， 海王星质量约为地球质量的16倍 ，海王星的半径约为地球半径的4倍，则两者表面的重力加速度相等，B正确。
C、星球的体积为，则，海王星质量约为地球质量的16倍，海王星的半径约为地球半径的4倍，则海王星的密度为地球密度的，C错误。
D、海王星和地球与太阳之间的距离未知，无法比较两者所受太阳万有引力的大小，D错误。
故答案为：AB
【分析】第一宇宙速度为最小的发射速度和最大的环绕速度，即，忽略星球自转，物体在星球表面的万有引力等于物体所受的重力，即。
20．【答案】B,C
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、根据卫星做匀速圆周运动的引力提供向心力，则有：，由于卫星在轨道I的半径不变所以线速度的大小保持不变，所以A错；
B、根据开普勒第三定律：，由于卫星在轨道I的半径大于在轨道II的半径所以卫星在轨道I的周期比较大，所以B对；
根据牛顿第二定律有：，所以卫星在Q点的加速度大于在P点加速度的大小，所以C对；
根据开普勒第二定律，卫星经过近月点Q的速度大于经过远月点P的速度大小，所以D错；
正确答案为BC
【分析】利用引力提供向心力可以判别加速度和线速度的大小；利用开普勒第三定律可以比较周期的大小。
21．【答案】B,C,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、根据引力提供向心力有：则线速度的大小有：，且由于c为同步卫星，所以，且rc>ra，则四颗卫星中b线速度最大，相同时间内转过的弧长也最长，则A错；
B、根据，所以b的向心加速度有：，则B对；
由于c一个周期运动时间为24h，所以在6h转过的圆心角等于，则C对；
根据，所以d的运行周期大于c的运行周期，所以d的周期可能为25h，则D对；
正确答案为BCD
【分析】利用引力提供向心力可以比较线速度、向心加速度和周期的大小；利用同步卫星运动的时间结合周期可以求出转过的圆心角大小。
22．【答案】B,D
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【解答】A.设地球和火星的公转周期分别为、，轨道半径分别为、，由开普勒第三定律可得
可求得地球与火星的轨道半径之比，由万有引力提供向心力可得，得，地球与火星的线速度之比，但由于地球与火星的质量关系未知，因此不能求得地球与火星的动能之比，A不符合题意；
B.地球和火星的角速度分别为，，由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径， 则，由以上可解得，则地球与火星绕太阳的公转周期之比，B符合题意；
C.由万有引力等于重力可得，解得，由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，可知两星球表面重力加速度的关系不可求，C不符合题意；
D.由牛顿第二定律可得，可得行星的向心加速度大小为，由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度之比可以求得，D符合题意。
故答案为：BD。
【分析】根据开普勒第三定律和万有引力提供向心力推导行星的线速度表达式，由行星的追及相遇原理推导行星周期的表达式，根据重力等于万有引力推导重力加速度的表达式，由牛顿第二定律推导向心加速度的表达式，根据各物理量的表达式，结合已知条件分析各物理量之间的比值能否求解。
23．【答案】A,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】 在两极时，，在赤道，，联立可得：，，AD正确；BC错误；
故答案为：AD。
【分析】 在两极时，地球对物体的万有引力等于物体重力，在赤道，地球对物体的万有引力等于物体重力和向心力的和，列式求解。
24．【答案】（1）解：行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时受到的重力，有
解得
已知地球质量为M，半径为R，而木星质量是300M，半径是10R，则木星表面的重力加速度为
（2）解：根据开普勒第三定律有
可得
设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则
解得
【知识点】开普勒定律；万有引力定律；万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）利用万有引力等于重力，结合地球与木星的质量和半径特点，可求出木星表面的重力加速度；（2）根据开普勒第三定律，结合地球与木星的半径，可求出周期，进而利用追及相遇的特点，可求出时间。
25．【答案】（1）解：不考虑地球的自转，在地球表面附近
解得
（2）解：设地球平均密度为ρ，则
在矿井底部
而
深度为d的矿井底部的重力加速度大小
（3）解：①质量为m的人在P处受到地球的万有引力大小
其中
解得
②质量为m的人在Q处受到地球的万有引力大小
其中
解得
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）地球表面的物体受到万有引力的距离等于地球的半径，不考虑自转，万有引力等于重力，根据万有引力定律进行解答即可；
（2）根据题意可知，半径为R的地球对深度为d的矿井底部的万有引力与半径为R-d的球体对其表面的物体的万有引力大小相等。由于质量均匀分布，故需要根据体积之比，计算得出R-d的球体的质量与地球质量的关系，再根据万有引力与重力的关系进行求解；
（3）本小问采用割补法进行求解，P点受到的万有引力可看出是地球以及半径与空腔球体相等的球体对p点万有引力之差。由于质量分布均匀，根据体积之比，求出半径等于空腔球体的球体与地球总质量的关系。再根据万有引力定律进行求解。Q点P点受到的万有引力可看出是半径等于R-r+L的球体以及半径等于L的球体对Q点万有引力之差。由于质量分布均匀，根据体积之比，求出各球体与地球总质量的关系。再根据万有引力定律进行求解。
26．【答案】（1）解：根据万有引力定律可得：
，
解得
答：行星在近日点和远日点的加速度大小之比为；
（2）解：行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有
又由于，
解得
可知，太阳对行星的作用力与的平方成反比。
（3）解：在赤道地面附近
在北极地面附近有
解得
答：比值的表达式为。
【知识点】开普勒定律；万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）行星在运动的过程中，近日点和远日点均由太阳对其万有引力提供向心加速度，故根据万有引力与加速度的关系进行解答，即可求出加速度之比；
（2）行星绕太阳做匀速圆周运动，则由万有引力提供向心力，求出万有引力与线速度的关系，再根据线速度与周期的关系，结合开普勒第三定律即可得出万有引力与半径平方的关系；
（3）在赤道上，由于物体随地球自转，故地球对物体的万有引力等于物体在该点的受到重力与物体做圆周运动的向心力之和。而两极位于地球的自转轴上，无自转，故此处地球对物体的万有引力等于物体在该点受到的重力。根据万有引力定律与重力及向心力的关系，即可求出赤道与两极物体的加速度，继而得出比值大小。
27．【答案】（1）解：由
得 ，
故
解得
（2）解：小球在A点时，根据牛顿第二定律有，
解得
而小球恰好能通过B点
故
解得
从A至B，由动能定理可得
（3）解：由
可得t=4s
小球从B运动至C，由机械能守恒可得
解得
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）在星球表面万有引力等于重力，根据重力加速度与半径的关系分析求解。
（2）对小球在A点受力分析，根据牛顿第二定理计算A点的速度，再由重力提供向心力计算B点速度，最后根据动能定理计算求解。
（3）小球从B运动到C的过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律分析求解。
28．【答案】（1）解： 根据万有引力提供向心力有
阳的质量为
答：太阳的质量为；
（2）解：根据万有引力与重力的关系有
地球的质量为
答：地球的质量为。
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【分析】（1）太阳对地球的引力提供向心力，利用牛顿第二定律结合万有引力定律可以求出太阳质量的大小；
（2）由于地球对表面物体的引力产生重力，利用牛顿第二定律结合万有引力定律可以求出地球质量的大小。
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