五河一中2023-2024学年度高一第二学期段考检测卷
数学试题答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
2．D
【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解.
【详解】由点是角终边上一点，即点，
可得，所以.
故选：D.
3．A
【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．
【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；
∴b＜c＜a．
故选A．
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．
4．A
【解析】利用二次函数的性质求出的范围，再根据指数函数的单调性即可求出函数值域.
【详解】，
，
故的值域为.
故选：A.
【点睛】本题考查指数型函数值域的求法，属于基础题.
5．A
【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得.
【详解】的定义域为R，
因为
，所以为偶函数，故CD错误；
又因为，，所以，故B错误.
故选：A
6．B
【解析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
7．D
【分析】根据底数是，在上恒为正数，故在上恒成立，进而解不等式就可以了．
【详解】解：由于底数是，从而在上恒为正数，
故在上恒成立，
即
由于，当且仅当即时取等号；
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且
所以．
故选：．
【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．
8．A
【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得.
故选：A.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABCD
【分析】结合中位数定义 全称量词命题的否定 幂函数等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，由题可得一共有8个数据，78，79，81，82，84，88，92，95，则该组数据的75%分位数在第6位和第7位之间，为，故A错误；
对于B，命题“，”的否定为“，”，故B错误；
对于C，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故C错误；
对于D，幂函数经过点
，即，
，故D错误.
故选：ABCD.
10．BD
【分析】根据图象求出周期，再根据图象所经过的点，求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性、最值进行逐一判断即可.
【详解】由已知，，，因此，
∴，
所以，过点，
因此，，又，
所以，∴，
对A，图象关于原点对称，故A错误；
对B，当时，，故B正确；
对C，因为，，
所以有，或，
当时，
，，
则有，，
，
因为，所以当时，，
当时，
，，
则有，，
，
因为，所以当时，，，故C不正确；
对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.
故选：BD
11．ABD
【分析】对A：根据函数的定义域的定义运算求解；对B：先证为奇函数，分类讨论，结合奇函数的对称性、正弦函数的有界性以及三角函数的定义分析运算；对C：根据分段函数的单调性分析运算；对D：构建，先证为奇函数，结合奇函数的性质分析运算.
【详解】对A：令，即，
注意到在定义域内单调递增，则，
故的定义域是，A正确；
对B：∵，
∴为奇函数，
当时，则，
故在内无零点；
当时，令，则，
如图所示：点为任意角与标准单位圆的交点，点，则为的长，，
由图可得，即，当且仅当时，等号成立，
故，的零点为0；
综上所述：函数在内有且只有1个零点0，
结合奇函数的对称性可得：函数有且只有1个零点0，B正确；
对C：若在R上是增函数，且，
则，解得，
故实数a的取值范围是，C错误；
对D：令，
∵
，
∴为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的性质可得在上的最小值为，
∵，可得，
故，D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据性质解决问题．
第Ⅱ卷
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
【分析】先找出符合条件的角，再写成终边相同的角即可
【详解】与关于轴对称，
与角同终边的所有角构成集合为，
故答案为：
13．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点所处位置的坐标．
【详解】解：由题意可得图：
每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为；
点的初始位置坐标为，若角的始边为轴的非负半轴，此时角终边所在直线为，则
运动到3分钟时，形成的角度为，
所以
动点所处位置的坐标是．
故答案为：．
14．
【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数在区间，上单调递减，建立不等式，即可求取值范围．
【详解】解：令，则，
函数在区间，上单调递减，
所以，解得，
又因，所以，即，
所以，可得的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解，
（2）根据指数幂的运算即可求解.
【详解】（1）
；
（2）因为，，所以，
由于，所以；
所以.
16．（1）； （2）
【分析】（1）根据三角函数的定义，得到，且，结合三角函数的诱导公式，代入即可求解；
（2）根据题意，得到韦达定理得到，结合三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，即可求解.
【详解】解：（1）由点的坐标为，
根据三角函数的定义，可得，且，
则 .
（2）由，是方程的两根，
可得，即，解得或.
又因为，可得，所以，解得，
当时.满足，所以.
17．(1)
(2)387
(3)方案①，利润77400元；方案②，利润85200元；选择方案②获利更多
【分析】（1）根据分层抽样原理，列出比例式计算即得；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即得；
（3）按照方案①分别列出不同质量的香瓜个数，计算出香瓜的总质量，乘以单价即得利润，按照方案②分别统计质量低于350克和高于或等于质量低于350克的香瓜数目，按不同价格计算即得利润，最后比较结果即可.
【详解】（1）按分层抽样，，所以；
（2）由频率分布直方图知，各区间频率依次为0.17，0.20，0.30，0.25，0.08，
这组数据的平均数为：
；
（3）按照方案①：由题意可知20000个香瓜中：
200克的有个，300克的有：个，
400克的有：个，500克的有：个，
600克的有：个，则以5元/500克收购获得利润为：
元；
按照方案②：质量低于350克的香瓜有个，
质量高于或等于350克的香瓜有个，
则对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购获得的利润为：
元，因，
故该种植园选择方案②获利更多.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数复合函数的单调性即可求解，
（2）根据对数函数的单调性，将问题转化为在上恒成立，即可构造函数，利用函数单调性求解最值即可.
【详解】（1）依题意，
在上单调递减，
令，则在上单调递增，且对恒成立.
∴且，∴.
故的取值范围为.
（2）依题意有，且，∴.
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，∴在上恒成立，
当时不等式成立，所以在上恒成立，∴，
令，，，
而在上单调递增，
∴，∴.
综上：的取值范围为.
19．(1)不存在，理由见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解；
（2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明；
（3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）不存在，理由如下：
对于，则，整理得，
∵，则该方程无解，
∴函数不存在“飘移点”.
（2）对于，则，整理得，
∵在内连续不断，且，
∴在内存在零点，则方程在内存在实根，
故函数在上有“飘移点”.
（3）对于，则，即，
∵，则，
令，则，
∴，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
则，，
∴，即，
故实数a的取值范围为.五河一中2023-2024学年度高一第二学期段考检测卷
数学试题
（ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
考生注意：
答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。
填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
2．已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知那么a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9 B．10 C．11 D．12
7．函数在上恒为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题是假命题的有（ ）
A．若一组数据为82，81，79，78，95，88，92，84，则该组数据的75%分位数是88
B．命题“，”的否定为“，”
C．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品
D．若幂函数经过点，则
10．下图是函数 （其中的部分图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称
B．函数的图象关于点对称
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上的所有实根之和为
11．下列几个说法，其中正确的有（ ）
A．已知函数的定义域是，则的定义域是
B．函数有且只有1个零点
C．若在R上是增函数，则实数a的取值范围是
D．若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则
第Ⅱ卷
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若角与角的终边关于x轴对称，则与角同终边的所有角构成集合________．
13．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点初始位置坐标为，则运动到3分钟时，动点所处位置坐标是 .
14．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）计算：的值；
（2）已知，，且，求的值.
16．（15分）
（1）P是角的终边上一点，已知点P的坐标为，求和的值；
（2）若，是方程的两根，求m的值．
17．（15分）
五河县大新镇的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实在大新镇还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉.大新某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：
在样本中，按分层抽样从质量在中的香瓜中随机抽
取了个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求的值；
(2)估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）；
(3)某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？
18．（17分）
已知函数，函数图象与的图象关于对称.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19．（17分）
若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”．
(1)函数是否有“飘移点”？请说明理由；
(2)证明函数在上有“飘移点”；
(3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
