五河一中2023－2024学年度高一第二学期3月月巩固
数学试题答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值.
2．A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
3．D
【分析】根据三角函数的图象变换得到，再结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】把函数的图象向右平移个单位，
所得的图象对应的函数解析式为，
再根据所得函数的图象正好关于轴对称，可得，
即，所以的最小正值为.
故选：D．
4．D
【详解】因为，，所以，，且，所以，，所以,
故选D.
5．A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
6．A
【分析】由已知得函数的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.
【详解】由题意知函数的最小正周期，则，得，.
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
要使该图象关于原点对称，则，，所以，，
又，所以当时，取得最大值，最大值为．
故选：A
【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.
7．C
【分析】先阅读理解题意，可得，再作出函数在一个周期内的图象，再由图像观察值域即可.
【详解】解：根据题设中的新定义，得，作出函数在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数的值域为，
故选:.
【点睛】本题考查了阅读能力，重点考查了分段函数的图像及其值域，属中档题.
8．C
【分析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，．
如果，且，结合，可得，
，，
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．AC
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
10．AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
11．BCD
【分析】由图象可得，进而求得函数解析式，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】由图可知，，且，
，
，，
则，
，，
则，．
又 ，∴，
∴
取，得．
．
对A，当时，，不适合题意，错误；
对B，的最小正周期为，B正确；
对C，当时，，适合题意，C正确；
对D，当时，， 为单调递减函数，D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查由的部分图象求函数解析式，考查型函数的性质．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
【分析】根据题意求得，由时，得到，
结合正弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意知，函数的图象过点，所以，
解得，
因为，所以，所以，
当时，可得，
因为在内有5个零点，结合正弦函数的性质可得，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
13．4
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】由函数在区间上单调递增，
可得 ，求得，故的最大值为，
故答案为：4
14．
【分析】先作出函数的图像，再观察图像可得：当时，方程恰有三个根，再由函数图像的对称性可得解.
【详解】解：由，得，画出函数的大致图象，如图所示，
由图，可得当时，方程恰有三个根，由，得；由，得，由图可知，点与点关于直线对称；点和点关于直线对称，所以，，所以，
故答案为.
【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系将正余弦齐次式化为正切，再代入计算；
（2）根据平方关系，将变形为，再弦化切计算可得；
（3）将式子看作分母为的分数，将变形为，再弦化切计算可得；
（4）利用完全平方公式拆开，结合（3）即可计算.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
（4）原式.
【点睛】本题考查齐次式的计算，同角三角函数的应用，属于基础题.
16．（1）；
（2）递增区间为；递减区间为.
【分析】（1）由，得到，得出，根据，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，得到，由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）由，所以，则，
所以，所以，
又因为，可得，解得.
（2）由（1）得，
则，
又由，可得，
所以，即，
所以，
当时，解得，
此时函数单调递增，即的递增区间为
当时，解得，
此时函数单调递减，即的递减区间为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．（1）；（2），其中；（3）.
【分析】（1）根据弧长的计算公式可求的长度.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求关于时间的函数解析式.
（3）利用（2）中所得的解析式并令，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度.
【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
故.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意知，，所以，
又由，所以，
当时，可得，所以，
故关于时间的函数解析式为，其中.
（3）令，即，
令，解得，
因为甲乙两人相差，
又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.
【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略：
1、已知函数模型求解数学问题；
2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；
3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
18．（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
【分析】（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高点坐标代入可得，从而得解析式；
（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整数解即得．
【详解】解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝.
又，∴，
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).
（2）令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴，k∈Z，
可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
【点睛】本题考查三角函数的应用，解题关键是根据正弦函数的性质确定函数解析式．
19．（1）；（2）
【分析】（1）由题意可知函数的周期，且，再结合函数图像的平移变换后图像关于原点对称，可得，结合，运算可得函数解析式；
（2）由（1）可得，令，当在上有两个不同的解，则，又，即可得实数的范围.
【详解】（1）由题意可知函数的周期，且，所以，故.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为，因为函数的图象关于原点对称，所以，即.
又，所以，故.
（2）由（1）得函数，其周期为，
又，所以.令，因为，所以，
若在上有两个不同的解，则，
所以当时，方程在上恰有两个不同的解，即实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及函数图像的平移变换，重点考查了解三角方程，属中档题.五河一中2023－2024学年度高一第二学期3月月巩固
数学试题
（ 试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
考生注意：
答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并
将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。
填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔
书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书
写无效。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B． C． D．
2．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．把函数的图象向右平移个单位，所得的图象正好关于轴对称，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．定义运算，例如，，则函数的值域为
A． B． C． D．
8．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
10．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数说法正确的有（ ）
A．图象关于点对称 B．最小正周期为
C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递减
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的图象过点，若在内有5个零点，则的取值范围为 .
13．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是 .
14．设函数，若方程恰好有三个根，分别为，，，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知，计算（1）；（2）； （3）； （4）.
16．（15分）
已知，函数，当时，.
（1）求常数的值；
（2）设且，求的单调区间.
17．（15分）
如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).
（1）求劣弧的弧长(单位：)；
（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
18．（17分）
据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B ，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求此商品的价格超过8万元的月份.
19．（17分）
已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
