浙江省温州市苍南县苍南中学2023-2024学年九年级上学期数学自主招生试卷
一、选择题(本大题共7小题，每小题6分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
2．（2023九上·苍南模拟）设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
3．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
4．（2023九上·苍南模拟）设直线nx+(n+1)y=(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(n=1，2，3，..，2023).则++…+的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023九上·苍南模拟）若实数x，y满足|x|+4|y|=1，则m=y-4x的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023九上·苍南模拟）已知n(n≥8)个正实数，，···，满足=，其中q是不为1的正数.则+，与+的大小关系为（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
7．（2023九上·苍南模拟）已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（ ）
A．141 B．153 C．160 D．174
二、填空题(本题有7个小题,每小题6分，共42分)
8．（2023九上·苍南模拟）已知x为实数，且满足-12=0，那么-x+1的值为 .
9．（2023九上·苍南模拟）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元。如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.则今年三月份甲种电脑每台售价为 元.
10．（2023九上·苍南模拟）函数y=--的最大值为 .
11．（2023九上·苍南模拟）如图，已知AB=8，点C、D在线段AB上且AC=1，DB=3，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 .
12．（2023九上·苍南模拟）二次函数y=-2ax+a在0≤x≤2上有最小值-6，则a的值为 .
13．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b= .
14．（2023九上·苍南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是 .
三、解答题(本大题共3题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（2023九上·苍南模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5，5)，射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B.若∠APB=45°，则△AOB的周长是否会发生变化 若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由.
16．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
17．（2023九上·苍南模拟）我们把自变量为x的函数记作f(x)，f(x。)表示自变量x=x。时，函数f(x)的值.已知函数f(x)=-4x+6.
（1）当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数g(x)=x+b，若对任意1≤≤4，存在5≤≤8，使得g()=f()，求实数b的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-12)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-12）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个实数根，可得 =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0，求出k≥2，由韦达定理a+b=2k，ab=4，转化成（a-1）+（b-1）=2k-2，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k，故(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7，令y=4(k-)2-7，函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大，故当k=2时，y有最小值2，即 + 的最小值为2
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
4．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵nx+(n+1)y=
∴与坐标轴的交点为（0，2n+1），(2n，0)
∴Sn=12×2n+1×2n=1nn+1=1n-1n+1 ∴S1+S2+S3+……+Sn=
当n=2023时，原式=
故答案为：C.
【分析】先通过已知函数解析式，求出函数与坐标轴的交点坐标，可知围成的直角三角形的直角边长，求得Sn=12×2n+1×2n=1nn+1=1n-1n+1，此处关键是裂项；将n=1，2，3，..，2023代入得：S1+S2+S3+……+Sn=1-12+12-13+13-14+……+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1 = 20232024 .
5．【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD为满足|x|+4|y|=1的点围成的图形
将m=y-4x，转化成y=4x+m；求m得最大值，可以看成直线y=4x+m与y轴交点纵坐标的最大值；
若满足|x|+4|y|=1，则直线直线y=4x+m与菱形ABCD有交点；当y=4x+m的图像经过点C（-1，0）时，0=-4+m，m的最大值为4.
故答案为：D.
【分析】本题的难点是利用数形结合的方法，将|x|+4|y|=1在坐标轴中画图表示的图像为菱形ABCD，具体的作法是分x>0，y>0；x>0，y<0；x<0，y>0；x<0，y<0；四种情况画出图像.将m=y-4x，转化成y=4x+m；求m得最大值，可以看成直线y=4x+m与y轴交点纵坐标的最大值；直线y=4x+m可以利用直线y=4x进行平移，通过观察，当y=4x+m的图像经过点C（-1，0）时，m的最大值为4.
6．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵ =
∴a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4
∴a1+a9-(a4+a5)=a1+a1q7-(a1q3+a1q4)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1+q3q4-q3-q4)
=a1(q3-1)(q4-1)
∵a1为正实数
当q>1时，q3>1，q4>1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
当q<1时，q3<1，q4<1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
∴a1+a9>a4+a5
故答案为：A.
【分析】根据=，得a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4；作差法是比较大小常用的方法，要比较a1+a9与a4+a5的大小，可观察两者差的符号，结果为正则前者大，结果为负则后者大；过程中的1+q3q4-q3-q4=(q3-1)(q4-1)，采用了分组分解因式的方法；涉及到q3-1、q4-1的符号问题，需要对q的值进行分类讨论，当q>1或q<1时，作差的结果均大于零，故a1+a9>a4+a5.
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由 2a=b+270，a+7c=6b 可得，a=
∵a，c均为正整数
∴取c=9时，a有最小值为
故答案为：B.
【分析】此题两个等式中含有3个字母，用代入消元法将a用含b或c一个字母的代数式表示，再结合a、b、c均为正整数，用尝试代入求值的方法就可以求出a的最小值.
8．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：令x2-x+1=y，则方程转化为y2-y-12=0，
所以(y-4)(y+3)=0，解得y=4或y=-3，
当y=-3时，x2-x+1=-3，即x2-x+4=0，
此时，Δ=（-1）2-4×1×4=-15＜0，方程无解，
所以，y=4，即x2-x+1=4
故答案为：4.
【分析】整体换元思想是初中阶段需要掌握的数学思想，本题令x2-x+1=y，则方程转化为y2-y-12=0，解得y=4或y=-3，但当y=-3时，x2-x+1=-3，其根的判别式Δ=（-1）2-4×1×4=-15＜0，方程无解，故y=4，即x2-x+1=4.对于求得y的解后，需要验根，是本题的易错点.
9．【答案】4000
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设今年 三月份甲种电脑每台售价为 x元，则
解得：x=4000
经检验：x=4000是方程的解且符合题意
故答案为：4000.
【分析】解应用题的关键是找到等量关系；此题的等量关系是：去年三月份的电脑销量=今年三月份的电脑销量.设今年 三月份甲种电脑每台售价为 x元，则，解分式方程应用题还要注意检验是否为曾根且符合题意.
10．【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件；函数值
【解析】【解答】解：由 y=-- 可知，y是关于x的减函数
∵3-2x≥0，5x+15≥0
∴
∴当x=-3时，y有最大值为5
故答案为：5.
【分析】将函数右边的代数式分成三个部分：， - ， - ，每部分都随x的增大而减小，故y是关于x的减函数；根据二次根式定义，被开方式大于等于0，即3-2x≥0，5x+15≥0，所以-3≤x≤32，当取最小值-3时，y有最大值为5.
11．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别过点E、G、F作AB的垂线，垂足依次为M、H、N
∵G是EF的中点，
∴GH是梯形EMNF的中位线，H是MN的中点
∵△APE与△BPF均为等边三角形
∴MP=AP，NP=BP，且EM=3AM=32AP，FN=3BN=32BP
∴MN=AP+BP=(AP+BP)=AB=4
GH=(EM+FN)=(32AP+32BP)=AB=
∴MH=MN=2，且点G在水平线上运动，与点H运动的路径长度相等
当点P与点C重合时，AH=AM+MN=AC+MN=+2=
当点P与点D重合时，AH=AM+MN=AD+MN=+2=
∴H的移动路径长为-=2，即G的移动路径长为2.
故答案为：2.
【分析】利用等边三角形的特性，可以得出EM+FN=AB，而GH为梯形中位线，可知GH=(EM+FN)=AB=，说明点G在移动时始终保持高度不变作水平运动，与点H的路径一样长，计算出点P从点C到点D移动的过程中点H移动的路径长即可.
12．【答案】-6或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-2ax+a =（x-a）2+a-a2
∴函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，顶点为（a，a-a2）
∵0≤x≤2
若a≥2，则x=2时，函数值最小，即22-2a×2+a=-6，a=；
若0＜a＜2，则x=a时，函数值最小，即a-a2=-6，a=3或-2，均不符合假设，舍去；
若a≤0，则x=0时，函数值最小，即a=-6；
故答案为：-6或.
【分析】当函数图象开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；本题0≤x≤2，需要考虑对应抛物上的部分在对称轴左侧，或包含顶点，或在对称轴右侧三种情况.
13．【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点M为DF的中点
∴当F与A重合时，点M落在AD中点M1处；当F与E重合时，点M落在DE中点M2处；
∴连接M1M2，则M1M2是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动
∴当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=AD=2
∴AB=AM1，∠AM1B=45°
∵AE为∠BAD的平分线，M1M2//AE
∴∠BAE=∠DAE=M2M1D=45°
∴∠BM1M2=90°，即点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=
故答案为：.
【分析】由题目已知，点M为DF中点，取AD、DE中点M1、M2，可知M1M2 是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动，当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小.根据已知数据，易得∠BM1M2 =90°，点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=.
15．【答案】解：作PC垂直x轴于点C，PD⊥y轴于点D，在x轴上截取CE=BD，
∵点P的坐标为 (5，5)
∴四边形OCPD为正方形，
∴OC=OD=PC=PD=5，
∴∠APB=45°，∠APE=45°，
在△APB和△APE中，PB=PE
∠APB=∠APE，PA=PA
∴△APB≌△APE(SAS)，∴AB=AE，
∴△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE
=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值
【知识点】全等三角形的应用；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】如图，点P的坐标为 (5，5) ，向两条坐标轴引垂线后，形成正方形PDOC，已知∠BPA=45°，常见的解题方法是将△DPB逆时针旋转90°（或将△PAC顺时针旋转90°），得△APB≌△APE(SAS)，于是AB=AE，△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值.
16．【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
17．【答案】（1）解：当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，即当-1≤x≤1时，-6x-2m+5≥0恒成立，函数y=-6x-2m+5的对称轴x=3，开口向上，所以只需要1-6-2m+5≥0，得m≤0.
（2）解：f(x)在5≤x≤8上的取值范围是11≤f(x)≤38，g(x)在l≤x≤4上的取值范围是1+b≤g(x)≤4+b，对任意1≤≤4，存在5≤≤8，使得g()=f().所以满足，11≤1+b且38≥4+b，解得10≤b≤34.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1) 当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立 ，即当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，x2-6x-2m+5≥0恒成立，令y=x2-6x-2m+5，函数y=x2-6x-2m+5的对称轴x=3，开口向上， -1≤x≤1时 ，函数分布在对称轴左侧，y 随x的增大而减小，故x=1时，y最小，所以只需要1-6-2m+5≥0，得m≤0.
（2） 函数f(x)=-4x+6 ，在5≤x≤8上的取值范围是11≤f(x)≤38； 函数g(x)=x+b ，在1≤x≤4上的取值范围是1+b≤g(x)≤4+b， 若对任意1≤x1≤4，存在5≤x2≤8，使得g(x1)=f(x2) ，故11≤1+b且38≥4+b，解得10≤b≤34.
1 / 1浙江省温州市苍南县苍南中学2023-2024学年九年级上学期数学自主招生试卷
一、选择题(本大题共7小题，每小题6分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023九上·苍南模拟）已知实数a满足+=a，那么a-的值是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵+ =a
∵a-2024≥0
∴a≥2024，2023-a＜0
∴a-2023+a-2024=a ∴ a-2024=2023
∴a-2024=20232
∴a=20232+2024，a-20242=2024+20232-20242
∴a-20242=2024+(2023+2024)(2023-2024）
∴a-20242=2024-(2023+2024)=-2023
故答案为：B.
【分析】二次根式具有双重非负性，被开方数大于等于0，故a-2024≥0，可推得2023-a＜0，负数绝对值是其相反数，故=a-2023，所以原式变为a-2023+a-2024=a，a-2024=2023
，两边平方为a-2024=20232，根据题目要求的结果可化为a-20242=2024+20232-20242，利用平方差公式可得a-20242=-2023.
2．（2023九上·苍南模拟）设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-12)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-12）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
【分析】根据方程有两个实数根，可得 =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0，求出k≥2，由韦达定理a+b=2k，ab=4，转化成（a-1）+（b-1）=2k-2，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k，故(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7，令y=4(k-)2-7，函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大，故当k=2时，y有最小值2，即 + 的最小值为2
3．（2023九上·苍南模拟）如图，在三角形ABC中，AB=11，AC=15，点M是BC的中点，AD是∠BAC的角平分线，MF∥AD，则FC=（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H.
∵点M是BC的中点
易证△ABM≌△ECM
∴CE=AB=11，A=ME
∵AD是∠BAC的角平分线，MF//AD，且AB//CH
∴∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF
∴AC=CH=15
∴EH=CH-CE=15-11=4
在△AEH中，MG//AH，AM=ME
∴HG=GE=HE=2
∴CF=CG=CE+EG=11+2=13
故答案为：B.
【分析】本题已知点M是BC的中点，AM是△ABC的中线，将中线倍长是常见的解题方法；通过过点C作AB的平行线，延长AM、FM、AD交平行线于点E、G、H，实现中线倍长构造△ABM≌△ECM（SAS），同时因为AD是∠BAC的角平分线且MF//AD，AB//CH，由平行线的性质可得多个角相等，∠BAD=∠CAD=∠CFG=∠H=∠CGF，于是CE=AB=11，AC=CH=15，EH=CH-CE=15-11=4；由全等所得AM=ME，可知MG为△AEH的中位线，故HG=GE=HE=2，所以CF=CG=CE+EG=11+2=13.
4．（2023九上·苍南模拟）设直线nx+(n+1)y=(n为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为(n=1，2，3，..，2023).则++…+的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵nx+(n+1)y=
∴与坐标轴的交点为（0，2n+1），(2n，0)
∴Sn=12×2n+1×2n=1nn+1=1n-1n+1 ∴S1+S2+S3+……+Sn=
当n=2023时，原式=
故答案为：C.
【分析】先通过已知函数解析式，求出函数与坐标轴的交点坐标，可知围成的直角三角形的直角边长，求得Sn=12×2n+1×2n=1nn+1=1n-1n+1，此处关键是裂项；将n=1，2，3，..，2023代入得：S1+S2+S3+……+Sn=1-12+12-13+13-14+……+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1 = 20232024 .
5．（2023九上·苍南模拟）若实数x，y满足|x|+4|y|=1，则m=y-4x的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：如图，菱形ABCD为满足|x|+4|y|=1的点围成的图形
将m=y-4x，转化成y=4x+m；求m得最大值，可以看成直线y=4x+m与y轴交点纵坐标的最大值；
若满足|x|+4|y|=1，则直线直线y=4x+m与菱形ABCD有交点；当y=4x+m的图像经过点C（-1，0）时，0=-4+m，m的最大值为4.
故答案为：D.
【分析】本题的难点是利用数形结合的方法，将|x|+4|y|=1在坐标轴中画图表示的图像为菱形ABCD，具体的作法是分x>0，y>0；x>0，y<0；x<0，y>0；x<0，y<0；四种情况画出图像.将m=y-4x，转化成y=4x+m；求m得最大值，可以看成直线y=4x+m与y轴交点纵坐标的最大值；直线y=4x+m可以利用直线y=4x进行平移，通过观察，当y=4x+m的图像经过点C（-1，0）时，m的最大值为4.
6．（2023九上·苍南模拟）已知n(n≥8)个正实数，，···，满足=，其中q是不为1的正数.则+，与+的大小关系为（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣分组分解法
【解析】【解答】解：∵ =
∴a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4
∴a1+a9-(a4+a5)=a1+a1q7-(a1q3+a1q4)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1+q3q4-q3-q4)
=a1(q3-1)(q4-1)
∵a1为正实数
当q>1时，q3>1，q4>1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
当q<1时，q3<1，q4<1，a1+a9-(a4+a5)=a1(q3-1)(q4-1)>0；
∴a1+a9>a4+a5
故答案为：A.
【分析】根据=，得a8=a1q7，a4=a1q3，a5=a1q4；作差法是比较大小常用的方法，要比较a1+a9与a4+a5的大小，可观察两者差的符号，结果为正则前者大，结果为负则后者大；过程中的1+q3q4-q3-q4=(q3-1)(q4-1)，采用了分组分解因式的方法；涉及到q3-1、q4-1的符号问题，需要对q的值进行分类讨论，当q>1或q<1时，作差的结果均大于零，故a1+a9>a4+a5.
7．（2023九上·苍南模拟）已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（ ）
A．141 B．153 C．160 D．174
【答案】B
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：由 2a=b+270，a+7c=6b 可得，a=
∵a，c均为正整数
∴取c=9时，a有最小值为
故答案为：B.
【分析】此题两个等式中含有3个字母，用代入消元法将a用含b或c一个字母的代数式表示，再结合a、b、c均为正整数，用尝试代入求值的方法就可以求出a的最小值.
二、填空题(本题有7个小题,每小题6分，共42分)
8．（2023九上·苍南模拟）已知x为实数，且满足-12=0，那么-x+1的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；换元法解一元二次方程；数学思想
【解析】【解答】解：令x2-x+1=y，则方程转化为y2-y-12=0，
所以(y-4)(y+3)=0，解得y=4或y=-3，
当y=-3时，x2-x+1=-3，即x2-x+4=0，
此时，Δ=（-1）2-4×1×4=-15＜0，方程无解，
所以，y=4，即x2-x+1=4
故答案为：4.
【分析】整体换元思想是初中阶段需要掌握的数学思想，本题令x2-x+1=y，则方程转化为y2-y-12=0，解得y=4或y=-3，但当y=-3时，x2-x+1=-3，其根的判别式Δ=（-1）2-4×1×4=-15＜0，方程无解，故y=4，即x2-x+1=4.对于求得y的解后，需要验根，是本题的易错点.
9．（2023九上·苍南模拟）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元。如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.则今年三月份甲种电脑每台售价为 元.
【答案】4000
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设今年 三月份甲种电脑每台售价为 x元，则
解得：x=4000
经检验：x=4000是方程的解且符合题意
故答案为：4000.
【分析】解应用题的关键是找到等量关系；此题的等量关系是：去年三月份的电脑销量=今年三月份的电脑销量.设今年 三月份甲种电脑每台售价为 x元，则，解分式方程应用题还要注意检验是否为曾根且符合题意.
10．（2023九上·苍南模拟）函数y=--的最大值为 .
【答案】5
【知识点】二次根式有意义的条件；函数值
【解析】【解答】解：由 y=-- 可知，y是关于x的减函数
∵3-2x≥0，5x+15≥0
∴
∴当x=-3时，y有最大值为5
故答案为：5.
【分析】将函数右边的代数式分成三个部分：， - ， - ，每部分都随x的增大而减小，故y是关于x的减函数；根据二次根式定义，被开方式大于等于0，即3-2x≥0，5x+15≥0，所以-3≤x≤32，当取最小值-3时，y有最大值为5.
11．（2023九上·苍南模拟）如图，已知AB=8，点C、D在线段AB上且AC=1，DB=3，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别过点E、G、F作AB的垂线，垂足依次为M、H、N
∵G是EF的中点，
∴GH是梯形EMNF的中位线，H是MN的中点
∵△APE与△BPF均为等边三角形
∴MP=AP，NP=BP，且EM=3AM=32AP，FN=3BN=32BP
∴MN=AP+BP=(AP+BP)=AB=4
GH=(EM+FN)=(32AP+32BP)=AB=
∴MH=MN=2，且点G在水平线上运动，与点H运动的路径长度相等
当点P与点C重合时，AH=AM+MN=AC+MN=+2=
当点P与点D重合时，AH=AM+MN=AD+MN=+2=
∴H的移动路径长为-=2，即G的移动路径长为2.
故答案为：2.
【分析】利用等边三角形的特性，可以得出EM+FN=AB，而GH为梯形中位线，可知GH=(EM+FN)=AB=，说明点G在移动时始终保持高度不变作水平运动，与点H的路径一样长，计算出点P从点C到点D移动的过程中点H移动的路径长即可.
12．（2023九上·苍南模拟）二次函数y=-2ax+a在0≤x≤2上有最小值-6，则a的值为 .
【答案】-6或
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-2ax+a =（x-a）2+a-a2
∴函数图象开口向上，对称轴为直线x=a，顶点为（a，a-a2）
∵0≤x≤2
若a≥2，则x=2时，函数值最小，即22-2a×2+a=-6，a=；
若0＜a＜2，则x=a时，函数值最小，即a-a2=-6，a=3或-2，均不符合假设，舍去；
若a≤0，则x=0时，函数值最小，即a=-6；
故答案为：-6或.
【分析】当函数图象开口向上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大；本题0≤x≤2，需要考虑对应抛物上的部分在对称轴左侧，或包含顶点，或在对称轴右侧三种情况.
13．（2023九上·苍南模拟）若实数a.b满足+=1，+=1，则a+b= .
【答案】286
【知识点】二元一次方程组的解；解分式方程
【解析】【解答】解：由 a24+43+b24+53=1得，（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①.
由a34+43+b34+53=1得，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②.
②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，
所以，（34-24）a+（34-24）b=（34+24）·（34-24）+（34-24）(43+53)，
得，a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
故答案为：286.
【分析】本题尝试先去分母，观察等式中相同部分，如（24+53）a+（24+43）b=28+24(43+53)+4353①，（34+53）a+（34+43）b=38+34(43+53)+4353②，②-①得，（34-24）a+（34-24）b=38-28+（34-24）(43+53)，再利用平方差公式将38-28分解成（34+24）·（34-24），等式两边都除以（34-24），可得a+b=34+24+43+53=81+16+64+125=286.
14．（2023九上·苍南模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，AE为∠BAD的平分线，F为AE上一动点，点M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是 .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵点M为DF的中点
∴当F与A重合时，点M落在AD中点M1处；当F与E重合时，点M落在DE中点M2处；
∴连接M1M2，则M1M2是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动
∴当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=AD=2
∴AB=AM1，∠AM1B=45°
∵AE为∠BAD的平分线，M1M2//AE
∴∠BAE=∠DAE=M2M1D=45°
∴∠BM1M2=90°，即点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=
故答案为：.
【分析】由题目已知，点M为DF中点，取AD、DE中点M1、M2，可知M1M2 是△ADE的中位线，M1M2 //AE，点M在M1M2 上运动，当BM⊥M1M2 上时， BM的值最小.根据已知数据，易得∠BM1M2 =90°，点M在M1处时BM⊥M1M2，BM最小=.
三、解答题(本大题共3题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（2023九上·苍南模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为(5，5)，射线PA与x轴正半轴交于点A、射线PB与y轴正半轴交于点B.若∠APB=45°，则△AOB的周长是否会发生变化 若不变，求出△AOB的周长；若变化，请说明理由.
【答案】解：作PC垂直x轴于点C，PD⊥y轴于点D，在x轴上截取CE=BD，
∵点P的坐标为 (5，5)
∴四边形OCPD为正方形，
∴OC=OD=PC=PD=5，
∴∠APB=45°，∠APE=45°，
在△APB和△APE中，PB=PE
∠APB=∠APE，PA=PA
∴△APB≌△APE(SAS)，∴AB=AE，
∴△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE
=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值
【知识点】全等三角形的应用；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】如图，点P的坐标为 (5，5) ，向两条坐标轴引垂线后，形成正方形PDOC，已知∠BPA=45°，常见的解题方法是将△DPB逆时针旋转90°（或将△PAC顺时针旋转90°），得△APB≌△APE(SAS)，于是AB=AE，△AOB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AE=OA+OB+AC+CE=OA+AC+OB+BD=OC+OD=10为定值.
16．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
17．（2023九上·苍南模拟）我们把自变量为x的函数记作f(x)，f(x。)表示自变量x=x。时，函数f(x)的值.已知函数f(x)=-4x+6.
（1）当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数g(x)=x+b，若对任意1≤≤4，存在5≤≤8，使得g()=f()，求实数b的取值范围。
【答案】（1）解：当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，即当-1≤x≤1时，-6x-2m+5≥0恒成立，函数y=-6x-2m+5的对称轴x=3，开口向上，所以只需要1-6-2m+5≥0，得m≤0.
（2）解：f(x)在5≤x≤8上的取值范围是11≤f(x)≤38，g(x)在l≤x≤4上的取值范围是1+b≤g(x)≤4+b，对任意1≤≤4，存在5≤≤8，使得g()=f().所以满足，11≤1+b且38≥4+b，解得10≤b≤34.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1) 当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立 ，即当-1≤x≤1时，不等式f(x)≥2x+2m+1恒成立，x2-6x-2m+5≥0恒成立，令y=x2-6x-2m+5，函数y=x2-6x-2m+5的对称轴x=3，开口向上， -1≤x≤1时 ，函数分布在对称轴左侧，y 随x的增大而减小，故x=1时，y最小，所以只需要1-6-2m+5≥0，得m≤0.
（2） 函数f(x)=-4x+6 ，在5≤x≤8上的取值范围是11≤f(x)≤38； 函数g(x)=x+b ，在1≤x≤4上的取值范围是1+b≤g(x)≤4+b， 若对任意1≤x1≤4，存在5≤x2≤8，使得g(x1)=f(x2) ，故11≤1+b且38≥4+b，解得10≤b≤34.
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