中小学教育资源及组卷应用平台
第18章 平行四边形 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形
【答案】
【解析】、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以是等腰梯形，故本选项错误；
、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故本选项正确；
、一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；
、一组对边平行，一组邻角互补的四边形有可能是梯形或平行四边形，故本选项错误；
故选．
2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是
A．①对角相等 B．③有一组邻边相等
C．②对角线互相垂直 D．①有一个角是直角
【答案】
【解析】、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故符合题意；
、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故不符合题意；
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故不符合题意；
、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意．
故选．
3．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为
A．12 B．20 C．24 D．22
【答案】
【解析】是中点，
，交于点，
是的中位线，
，
，
菱形的周长是．
故选．
4．如图，在平行四边形中，，于点，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故选．
5．如图，已知，，于点，于点，则下列说法中错误的是
A．
B．
C．、两点间距离就是线段的长度
D．与两平行线间的距离就是线段的长度
【答案】
【解析】、，，
四边形是平行四边形，
，故本选项正确；
、，于点，于点，
四边形是平行四边形，
，故本选项正确；
、是线段，
、两点间距离就是线段的长度，故本选项正确；
、于点，
与两平行线间的距离就是线段的长度，故本选项错误．
故选．
6．如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】
【解析】如图：连接、，
，
是的中点，，，
，
是的中点，
，，
在中，，
故选．
7．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线．下列说法错误的是
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当平分时，四边形是矩形
【答案】
【解析】四边形是平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
当，不能得到，故不能判定四边形是菱形，此选项符合题意；
当时，
，
四边形是菱形，故选项不符合题意；
当时，，
，
四边形是矩形，故选项不符合题意；
当平分时，如图，延长，交于点，
平分，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，故选项不符合题意，
故选．
8．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列结论：
①四边形的周长不变；
②四边形的面积有变化；
③；
④；
其中一定正确的是
A．②④ B．②③ C．①② D．①③
【答案】
【解析】由题意可知：，，
四边形为平行四边形，到的距离不会变化，
，
随着纸条的转动，线段的长度发生变化，
四边形的面积有变化，四边形的周长有变化．
故选．
9．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是
A．4 B． C． D．
【答案】
【解析】连接，，如图：
四边形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
当最大时，最大，
四边形是正方形，，
，
，
当，，共线时，取最大值，此时最大，
如图，过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故选．
10．如图，平行四边形中，与交于点，点是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②的周长是20；③的边上的高是4.8；④是菱形；⑤的面积是48，其中正确的是
A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
【答案】
【解析】平行四边形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，，平行四边形，
，，
，
是直角三角形，
，
是菱形，④正确，
，
①错误，
的周长是，②正确，
的面积，⑤错误
的面积边的高，
边的高，③正确；
故②③④正确，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 300 米．
【答案】300．
【解析】点、、分别为、、的中点，
、、都是的中位线，
，，，
的周长为600米，
米，
米，
水渠的总长为300米，
故答案为：300．
12．如图，在中，，，是的中点，则 36 ．
【答案】36．
【解析】，，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：36．
13．在四边形中，，．要使四边形是平行四边形，则的长为 8 ．
【答案】8．
【解析】，，
当时，四边形是平行四边形，
，
故答案为：8．
14．如图，在四边形中，，，连接，，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 此题答案不唯一，或或或或等 （填一个即可）．
【答案】或或或或等．
【解析】在四边形中，，，
四边形是平行四边形，
当或或或或时，四边形是矩形．
故答案为：此题答案不唯一，如或或或或等．
15．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 60 ．
【答案】60．
【解析】菱形是中心对称图形，
由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半，
菱形的两条对角线的长分别为10和24，
菱形的面积为，
阴影部分的面积为60，
故答案为：60．
16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点，反向延长交于点，则长方形的面积为 49 ．
【答案】49．
【解析】，，，
，
作于点，则，，
，
四边形和四边形都是长方形，
，
，
，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
同理，
，
，
，，
四边形是长方形，
，
，
故答案为：49．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在中，、分别在、的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
18．如图，在中，、分别是、边上的高线，是的中点，连结、、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：、分别是、边上的高线，
，
是的中点，
，，
；
（2）解：，
，
，，
，，
，
，
，
．
19．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 平行 于第三边，并且 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，是的中位线．
求证： ．
证明：
【解析】（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
（2）已知：中，点、分别是、的中点，
求证：，，
证明：如图，延长到，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
且．
故答案为：平行；等于第三边的一半；，．
20．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【解析】（1）当四边形是矩形时，，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形；
（2）设秒后，四边形是菱形
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
（3）当时，，则周长为：，
面积为：．
21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若四边形面积为，请直接写出图中，面积为的所有三角形．
【答案】（1）见解析过程；
（2）面积为的三角形有，，．
【解析】（1）证明：如图，，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
；
．
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
面积为的三角形有，，．
22．如图，已知菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的周长．
【解析】（1）证明：
，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：
四边形为菱形，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
四边形的周长．
23．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
【答案】（1）（2）证明过程见解答；
（3）．
【解析】（1）证明：矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，
四边形是正方形；
（2）证明：平分，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
平分，
，，
四边形是正方形；
，
，
，
，，
，
，
，
．
．
24．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点． ，分别为，的中点，．（依据 ．，． 四边形是瓦里尼翁平行四边形，，即． ，即， 四边形是平行四边形．（依据． ，．同理，
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指： 三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） ．
依据2是指： ．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）；
（2）答案不唯一，见解析；
（3）平行四边形的周长等于对角线与长度的和，见解析．
【解析】（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求
（3）瓦里尼翁平行四边形的周长等于四边形的两条对角线与长度的和，
证明如下：点，，，分别是边，，，的中点，
．
．
同理．
四边形的周长．
即瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度的和．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第18章 平行四边形 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形
2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是
A．①对角相等 B．③有一组邻边相等
C．②对角线互相垂直 D．①有一个角是直角
3．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为
A．12 B．20 C．24 D．22
4．如图，在平行四边形中，，于点，若，则
A． B． C． D．
5．如图，已知，，于点，于点，则下列说法中错误的是
A．
B．
C．、两点间距离就是线段的长度
D．与两平行线间的距离就是线段的长度
6．如图，在中，，且，分别是，上的高，，分别是，的中点，若，则的长为
A．10 B．12 C．13 D．14
7．如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线．下列说法错误的是
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当平分时，四边形是矩形
8．如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，转动一张纸条的过程中，下列结论：
①四边形的周长不变；
②四边形的面积有变化；
③；
④；
其中一定正确的是
A．②④ B．②③ C．①② D．①③
9．如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是
A．4 B． C． D．
10．如图，平行四边形中，与交于点，点是边上的中点，连接，，，．有下列结论：①是等边三角形；②的周长是20；③的边上的高是4.8；④是菱形；⑤的面积是48，其中正确的是
A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤
二．填空题（共6小题）
11．在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 米．
12．如图，在中，，，是的中点，则 ．
13．在四边形中，，．要使四边形是平行四边形，则的长为 ．
14．如图，在四边形中，，，连接，，相交于点．请增加一个条件，使得四边形是矩形，增加的条件为 （填一个即可）．
15．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 ．
16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于点，反向延长交于点，则长方形的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
17．如图，在中，、分别在、的延长线上，且．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
18．如图，在中，、分别是、边上的高线，是的中点，连结、、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：
三角形的中位线 于第三边，并且 ；
（2）证明：三角形中位线定理．
已知：如图，是的中位线．
求证： ．
证明：
20．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
21．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若四边形面积为，请直接写出图中，面积为的所有三角形．
22．如图，已知菱形中，对角线相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，求四边形的周长．
23．如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，已知，求的长．
24．阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． ①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，分别交，于点，，过点作于点，交于点． ，分别为，的中点，．（依据 ．，． 四边形是瓦里尼翁平行四边形，，即． ，即， 四边形是平行四边形．（依据． ，．同理，
任务：
（1）填空：材料中的依据1是指： ．
依据2是指： ．
（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）
（3）在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
