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第8章 二元一次方程组 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．根据等式性质，下列变形正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．已知是二元一次方程的一组解，则的值是
A． B． C． D．
4．关于、的二元一次方程组，用代入法消去后所得到的方程，正确的是
A． B． C． D．
5．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．
6．《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍间，小圈舍间，则与的方程可列为
A． B． C． D．
7．若二元一次方程组的解同时也是方程的解，那么的值为
A． B． C．3 D．4
8．若关于，的方程组有正整数解，则正整数的值为
A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2
9．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是
A． B． C． D．
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．已知是关于，的二元一次方程，则 ．
12．观察所给的4个方程组：
①；
②；
③；
④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 （写出所有正确的序号）
13．若，则 ．
14．方程组的解为，则被遮盖的■表示的数为 ．
15．对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 ．
16．我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．对有理数、，定义新运算，其中，为常数，已知，．
（1）求，的值；
（2）如果，，求的值．
19．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：由①，得 ③第一步 ③②，得．第二步 将代入①，解得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误，具体错误是 ．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
20．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求的值．
21．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．
22．（1）解方程组．
（2）阅读材料：善思考的小华在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把 代入①得，，所以方程组的解为，
请你模仿小华的“整体代入”法解方程组．
23．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
24．阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
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第8章 二元一次方程组 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：．，未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
．，含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
．是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
2．根据等式性质，下列变形正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】
【解答】解：．，
，
，故本选项符合题意；
．，
除以3，得，故本选项不符合题意；
．，
方程两边都除以，得，故本选项不符合题意；
．，
减1得：，故本选项不符合题意．
故选：．
3．已知是二元一次方程的一组解，则的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，
解得，
故选：．
4．关于、的二元一次方程组，用代入法消去后所得到的方程，正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：，
把①代入②得：，
整理得：，
故选：．
5．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】
【解答】解：，
①②得：，即，
，
．
故选：．
6．《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要大圈舍间，小圈舍间，则与的方程可列为
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由题意可得，
，即．
故选：．
7．若二元一次方程组的解同时也是方程的解，那么的值为
A． B． C．3 D．4
【答案】
【解答】解：两式相加得：，
解得：，，
所以，
，
故选：．
8．若关于，的方程组有正整数解，则正整数的值为
A．1，2，5 B．1，5 C．5 D．2
【答案】
【解答】解：对于，
①②得：，
，
方程组的解为正整数，且为正整数，
，2，3，6，
由，解得：，不合题意，舍去；
由，解得：，
由，解得：，
由，解得：，
当时，，此时，不合题意，舍去；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不合题意，舍去．
综上所述：当该方程组有正整数解时，的值为2．
故选：．
9．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：设桌子的高度是 ，长方体木块的长是 ，宽是 ，
由题意得，
解得：，
桌子的高度是，
故选：．
10．已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值，，的值不可能互为相反数；
④，都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解答】解：将代入原方程组得，
解得，
将代入方程左右两边，
左边，右边，
当时，方程组的解也是的解，故①正确；
方程组①②得，
若，则，解得，故②正确；
，，
两方程相加得，
，
无论取何值，，的值不可能互为相反数，故③正确；
，
，都为自然数的解有共5对，
故④正确．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．已知是关于，的二元一次方程，则 2 ．
【答案】2．
【解答】解：是关于，的二元一次方程，
，
解得．
故答案为：2．
12．观察所给的4个方程组：
①；
②；
③；
④．
其中，符合二元一次方程组定义的是 ①②④ （写出所有正确的序号）
【答案】①②④．
【解答】解：①，符合二元一次方程组定义；
②，符合二元一次方程组定义；
③，未知数的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；
④，符合二元一次方程组定义；
所以符合二元一次方程组定义的是①②④．
故答案为：①②④．
13．若，则 ．
【答案】．
【解答】解：，
，
解得：，
则，
故答案为：．
14．方程组的解为，则被遮盖的■表示的数为 ．
【答案】．
【解答】解：把代入方程□中，，
解得，
把，代入方程■中，
■，
故答案为：．
15．对于解二元一次方程组①；②．下面是四位同学的解法，甲：①②均用代入法；乙：①②均用加减法；丙：①用代入法，②用加减法；丁：①用加减法，②用代入法．其中所用的解法比较简便的是 丙 ．
【答案】丙．
【解答】解：①利用代入消元法解方程组较为简便；
②利用加减消元法解方程组较为简便；
综上，丙所说的方法比较简便；
故答案为：丙．
16．我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 36 ．
【答案】36．
【解答】解：，
“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等．
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：36．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①得，③，
③②得，，
解得，
把代入①得，，
所以方程组的解是；
（2），
方程组可化为，
①得，③，
②③得，，
解得，
把代入①得，，
所以方程组的解是．
18．对有理数、，定义新运算，其中，为常数，已知，．
（1）求，的值；
（2）如果，，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，
解得；
（2）由（1）知，，，
，
，
，
，
，
，
解得．
19．下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：由①，得 ③第一步 ③②，得．第二步 将代入①，解得．第三步 所以，原方程组的解为．第四步
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 加减消元 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误，具体错误是 ．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】（1）加减消元；等式的基本性质；
（2）一，等式右边没有乘3；
（3）．
【解答】解：（1）观察已知条件中的解方程的步骤可知：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）观察解方程的过程可知，从第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3，
故答案为：一，等式右边没有乘3；
（3）解：由①，得③
③②，得，
把代入①得：，
原方程组的解为：．
20．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
（1）求这两个方程组的相同解；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）1．
【解答】解：（1）由题意，得，
①②，得，解得．
把代入①，得，解得．
这两个方程组的相同解为
（2）把代入得：
解此方程组，
得，，
．
21．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解．
【答案】．
【解答】解：涵涵把方程①抄错，求得解为，
满足方程②，
即；
又轩轩把方程②抄错，求得的解为，
满足方程①，
即；
因此有，
解得，
所以原方程组可变为，
即，
①②得，
，
解得，
把代入①得，，
解得，
原方程组的正确的解为．
22．（1）解方程组．
（2）阅读材料：善思考的小华在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，所以；
把 代入①得，，所以方程组的解为，
请你模仿小华的“整体代入”法解方程组．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①②得：，
把代入①得：，
方程组的解为：；
（2），
将方程②变形：，即③；
把方程①代入③，得：，
，
，
，
把代入①得：
解得：，
方程组的解为：．
23．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【答案】（1）种飞船模型每件进价25元，种飞船模型每件进价15元；
（2）购买方案：①购进7件型飞船模型和5件型飞船模型；②购进4件型飞船模型和10件型飞船模型；③购进1件型飞船模型和15件型飞船模型．
【解答】解：（1）设种飞船模型每件进价元，种飞船模型每件进价元，
根据题意，得，
解得，
答：种飞船模型每件进价25元，种飞船模型每件进价15元；
（2）设购进件型飞船模型和件型飞船模型，
根据题意，得，
，
，均为正整数，
当时，；当时，；当时，，
所有购买方案如下：
①购进7件型飞船模型和5件型飞船模型；
②购进4件型飞船模型和10件型飞船模型；
③购进1件型飞船模型和15件型飞船模型．
24．阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 10 ， ；
（2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】（1）10，8；
（2）购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）5．
【解答】解：（1），
由①②得：，
①②得：，
故答案为：10，8；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
①②得：，
答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元；
（3）由题意得：，
①②得：，
．
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