数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
8.3简单几何体的表面积和体积
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
回顾与引入
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小．
在小学和初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗
矩形
正方形
三角形
┐
┐
┐
平行四边形
正六边形
知识探究(一)
思考1: 由以上你能得出对于于一个多面体, 它的表面积应如何计算吗 从而进一步得出棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法吗
由于多面体是由若干个平面多边形的面围成的几何体，因此，它的表面积应该是各个多边形的面积之和.
棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法
棱柱、棱锥、棱台的表面积等于围成它们的各个面的面积之和
思考2: 具体地讲，棱柱、棱锥、棱台的各个面是怎样的，它的表面积应如何计算？
棱柱
多边形
平行四边形
侧面积等于侧面的各个平行四边形的面积和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
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棱锥
多边形
梯形
侧面积等于侧面的各个三角形的面积和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
多边形
侧面积等于侧面的各个梯形的面积和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
三角形
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例析
例1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
B
C
A
P
∴ 其面积为
∵△PBC 是边长为a 的正三角形
∴ 四面体P-ABC 的表面积为
思考1: 围成这个四面体的各个面是什么样的图形？
4个全等的正三角形
思考2: 边长为a 正三角形的面积等于多少？
解：
知识探究(二)
思考1：我们以前已经学习了正方体、长方体的体积公式，它们分别是怎样的
思考2：正方体、长方体都是一种特殊的棱柱，从棱柱的底和高的角度来看，以上体积公式可以怎样写，由此你能猜想出一般棱柱的体积公式吗
棱柱的体积公式
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积
说明：
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.
(2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高.
棱锥、棱台的体积公式
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积为
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
一般地，如果棱台的上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，那么这个棱台的体积为
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思考3：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
棱柱、棱锥、棱台的体积公式间的关系
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例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？(精确到0.01m3)
思考: 你能画出这个几何体的直观图吗？其容体该如何求呢？
由于这个几何体由一个长方体和一个四棱锥组合而成，因此其容积为长方体和四棱锥的体积之和.
解：
由题意得
即这个漏斗的容积约为0.67m3.
例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13. 求：(1)四棱台表面积;
(2)四棱台的体积.
思考1: 一般地，正棱锥、正棱台侧面的高称为它们斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱台的一条斜高吗？
∵侧面BCC1B1 是等腰梯形
∴ 取BC中点E，B1C1 是中点E1，则EE1为梯形BCC1B1 的高，即棱台的斜高.
解：
注: 空间几何体中的辅助线，看得见的画成实线，被遮住的画成虚线。
例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13. 求：(1)四棱台表面积;
(2)四棱台的体积.
思考2: 你能作出此正四棱台的一条高吗？如何计算？
∴ 取分别上底和下底的中心O1和O，则OO1此棱台 的高
解：
在直角梯形OEE1O1中
练习
1. 正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
解：
如图，棱台ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′为正六棱台，且
AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.
过A′作A′H AB于H，则
∴此棱台的表面积为
2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当
分割成棱长为1cm的小立方体.
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？
(2) 三面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(3) 两面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(4) 一面是红色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多少
(5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个 它们的表面积之和是多
少 它们占有多少立方厘米的空间
解：
(1) 共有64个
(2) 有8个,
它们的表面积之和是48cm2.
(3) 有24个,
它们的表面积之和是144cm2.
(4) 有24个,
它们的表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个,
它们的表面积之和是32cm2，
它们占有的空间是8cm3.
3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截
去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，
那么石凳的体积是多少m3？
解：
如图所示，正方体ABCD-A′B′B′C′D′的棱长AB=50cm=0.5m, 则
AE=AF=AG=0.25m
∴ 这个石凳的体积为
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面
的面积.
解：
如图示，直三棱柱ABC-A′B′C′中，设底面ABC 的三边分别为a,b,c，棱柱的高为h，则有
A
C
B
A′
C′
B′
a
h
c
b
∴直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
课堂小结
1．多面体的表面积如何计算，棱柱、棱锥、棱台的表面积呢？
2．棱柱、棱锥、棱台的体积公式是怎样的？
它们之间的体积公式有何关系？
3．对于组合体，我们在计算它的表面积和体积要注意什么问题？
(1)首要弄清组合体是则哪几种基本几何体组合而成的，是怎样组合的(是拼接，截割还是挖去)
(2)组合体的表面积是外表面的面积，不是简单地把各基本几何体的表面积相加；
(3)组合体的体积，一般是各基本几何体的体积之和(拼接时)体积之差(截割还是挖去时).
作业
1.教材P119~120习题8.3
第1，2，3，6题