2023~2024-2高二年级3月学情检测
数学试卷
(试卷满分150分，考试时间120分钟)
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1,将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2
个小球，则不同放法的种数为()
A.3
B.6
C.10
D.15
2.从集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为()
A
c.
1
D:2
3.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个
格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为()
A.462
B.630
C.672
D.882
4.为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人.某学校准备组建书法、音乐、美术、
体育4个不同的社团，现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培
训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学
不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有()
A.192种
B.216种
C.240种
D.432种
5,某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有
2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为)，没有思路的题目只好任意猜
一个答案.若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为()
A
c
6.乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国十分普及，深受国人喜爱，在民间经常开
展各种乒乓球比赛，现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录
高二数学（第1页，共4页）
只
0000000
统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为三，
若比赛为“五局三胜制，
各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的
概率为()
4.27
B.81
256
256
c.3
7
D.D
7.我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造算筹一般为小圆棍
算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横
式，以此类推；遇零则置空纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10
记为“一”，62记为“⊥现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数
字为质数的概率为(
数字
2
纵式
横式
3
3
A.
5
D.
10
8.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式
第0行
第1行
系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为
第2行
1
2
第3行
1331
1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，.，则此数
第4行
14641
第5行
15101051
列的前45项的和为()
第6行
1615201561
A.2026
B.2025C.2024D.2023
二、
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错
的得0分)
9.已知A,B为随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的有()
A.若A,B为互斥事件，则P(A+B)=0.9
B.若A,B为互斥事件，则PA+B=0.1
C.若A,B相互独立，则P(A+B)=0.7
D.若若P(B|A)=0.3,则P(B1=0.5
高二数学（第2页，共4页)
可只
00000002023~2024-2 高二年级 3 月学情检测
数学答案
1．B
【分析】对每个盒子放入 2个球，再看余下 2个球的去向即可得解.
1 2
【详解】依题意，每个盒子放入 2个球，余下 2个球可以放入一个盒子有C3种方法，放入两个盒子有C3 种
方法，
1 2
所以不同放法的种数为C3 C3 6 .
故选：B
2．C
【分析】用列举法写出任取两个不同的数，和为 2的样本点，得出样本点个数后，由概率公式计算概率．
【详解】由题知和为 2的倍数的有(1,3），(1,5），(1,7），(3,5），(3,7），(5,7），(2,4），(2,6），(2,8），(4,6），
(4,8），(6,8）共 12种可能，
P 12 3
C2
8 7
．
故选：C．
3．C
【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
2
若用两种颜色涂色，有C7 2 42种涂色方法；
3
若用三种颜色涂色，有C7 3 2 2 1 630种涂色方法；
所以有 42 630 672种不同的涂色方法.
故选：C.
4．B
【分析】根据题意，先计算出所有的分配方案数，然后去掉甲乙两名同学在同一个社团的方案数，即可得
到结果.
【详解】由题意可得，将 5名同学分配到这 4个社团进行培训每名同学只能分配到 1个社团，
C2 C1 C1 C1 4
每个社团至少分配 1名同学，则不同的分配方案共有 5 3 2 1 A 240种，A3 43
高二数学答案（第 1 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
4
当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有A4 24种，
综上可得，不同的分配方案共有 240 24 216种.
故选：B
5．D
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.
【详解】设事件 A表示“两道题全做对”，
C2 1 2 3
若两个题目都有思路，则 P 31 2 ；C5 2 40
C1C1 1 1 3
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则 P 2 32 2 ；C5 2 4 40
C2 1 2 1
若两个题目都没有思路，则 P1 22 C
；
5 4 160
故 P A P P P 3 3 1 5 1 2 3 .40 40 160 32
故选：D.
6．D
【分析】设甲获得冠军为事件 A，比赛进行了四局为事件 B，求出 P(A)和 P(AB)，根据条件概率的计算公
式，即可求得答案.
【详解】由题意可设甲获得冠军为事件 A，比赛进行了四局为事件 B，
P(A) (3)3 C2则 3 (
3)2 1 3 C2 (34 )
2 (1)2 3 459 ，
4 4 4 4 4 4 4 512
P(AB) C2 (3 3 )
2 1 3 81 ，
4 4 4 256
81
P AB 6
故 P(B | A) 256
P A 459
，
17
512
故选：D
7．A
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有 4根算筹，
当十位 1根，个位 3根，共有 2个两位数 13、17；
当十位 2根，个位 2根，共有 4个两位数 22，26，62，66；
当十位 3根，个位 1根，共有 2个两位数 31，71；
高二数学答案（第 2 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
当十位 4根，个位 0根，共有 2个两位数 40，80；
其中质数有 13、17、31、71，
4 2
所以取到的数字为质数的概率为 ，
2 4 2 2 5
故选：A
8．A
【分析】根据“杨辉三角”的特点可知 n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n 1行，从而得到第
n 1行去掉所有为1的项的各项之和为： 2n 2；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列的特
点可求得至第11行结束，数列共有 45项，则第 45项为C110 10，从而加和可得结果.
【详解】由题意可知， n次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第n 1行
则“杨辉三角”第 n 1行各项之和为： 2n
第 n 1行去掉所有为1的项的各项之和为： 2n 2
从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,
则：1 2 3 4 5 6 7 8 9 45，即至第11行结束，数列共有 45项
第 45 1项为第11行最后1个不为1的数，即为：C10 10
2 1 210
前 45项的和为：21 2 22 2 23 2 210
2 2 10 2026
1 2
故选：A
9．ACD
【分析】
根据互斥事件性质可求得 A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得 C正确，利用对立事件及条件概率
公式可得 D正确.
【详解】对于 A，若 A,B为互斥事件，则 P A B P A P B 0.9，即可得 A正确；
对于 B，由 P A 0.5,P B 0.4可得 P A 0.5,P B 0.6 ，
又 A,B为互斥事件，则P AB 0，又 P A B P A B P AB 1 0 1，即 B错误；
对于 C，若 A,B相互独立，则 P AB P A P B 0.2 ,
所以 P A B P A P B P AB 0.5 0.4 0.2 0.7，即 C正确；
P AB P AB
对于 D，若 P B | A 0.3 ，所以P AB 0.15P A 0.5 ；
高二数学答案（第 3 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
可得 P AB P B P AB 0.25，
P AB P AB P B A 0.25所以 | 0.5 ，即 D正确.P A 1 P A 1 0.5
故选：ACD
10．ABC
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通
过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算.
【详解】A：6门中选 2 C 2门共有 6 15种选法，故 A正确；
B 2 5：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有A2种排法，然后全排列有A 5 120种排
2 5
法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有A2A5 240种，故 B正确；
C 3：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有A3 6种排法，然后利用插空法排课程
“ 3 3 3御”“书”“数”有A4 24种排法，根据分步乘法计数原理，得共有A3A4 144种排法，故 C正确；
D 2 5：分 种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有A5种排法，若先把“礼”不排在最后一周，
“ ” C1C1A4 A5 C1C1 4再排 数 ，有 4 4 4种排法，所以，共有 5 4 4A4 504种排法，故 D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】根据组合数原理可判断 A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断 B；根据分步乘法计数原
理、组合数原理和古典概型概率公式可判断 C、D.
【详解】对于 A，甲从 M到 N的最短路程，只能向上或者向右走，
2
需要走 6步，2步向上，4步向右，共有C6 15种，故 A正确；
对于 B 1，第一步，甲从 M到 A3，有C3 3种走法，
1
第二步，从 A3到 N，有C3 3种走法，所以共有3 3 9种走法，故 B错误；
对于 C，由 B可知甲、乙经过 A3的走法都有 9种，所以在 A3处相遇共有9 9 81种走法，
2 2 81
而甲、乙两人的总走法有C6C6 15 15 225种，所以两人在 A3处相遇的概率为 ，故 C正确；225
对于 D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等，故两人只能在 A3处相遇，
由 C可知 D对．
故选：ACD.
高二数学答案（第 4 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
【点睛】关键点点睛:本题 C中主要利用分步乘法计数原理和组合数原理进行求解，再结合古典概率从而
可求解.
12． 210
【分析】
借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
10 1 10 k k 1 1k 5
5
k
【详解】对 x ，有T C x2 x 3 C
k
3 x k 1 10
6
10x ，
5 5令 k 0，则 k 6 6 5 5 6，则有T C x C 210 .
6 7 10 10
故答案为： 210 .
13． 4 a 10
【分析】
首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点 P 3,a 关于直线 x y a 0的对称点为 x, y ，
y a
1 x 3 x 0
则 3 x a y ，得 ， a 0 y a 3
2 2
2 2
又题意可知， 0 2 a 3 4 13，解得： 4 a 10 .
故答案为： 4 a 10
14． 4
【分析】
由已知可得 x ex1 e lnx
2
2
1 ln x
2
2 4
x 2
，构造函数 f x xe ，通过导数研究单调性，得 x1 ln x2 ，结合对数的运
2
算规则求 x1x2 的值.
【详解】
x 4 x
由 e 1 x ，可得 x
1
1e 4，故 x1 0 ,
1
由 ln x
2
2 2 2
2 2
x2 ，可得 x2 ln x2 4，可得 e
ln x2 ln x22 4，故 ln x2 0 ,
2
f x xex x令 ， f x x 1 e ，由 f x 0，解得 x 1，由 f x 0，得解 x 1，
所以函数 f x 在区间 , 1 上单调递减，在区间 1, 上单调递增.
由 f x1 f ln x22 4 2 2，则有 x1 ln x2 ，所以 ex1 e lnx2 x22 ，
高二数学答案（第 5 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
x ex因为 11 4
2
，所以 x1x2 4 .
故答案为： 4
2
【点睛】思路点睛：由已知可得 x ex1 e lnx2 21 ln x2 4 ，找到共同特征，通过构造函数 f x xex，利用导数
2
研究函数性质，即可得到 x1 ln x2 ，从而求出 x1x
2
2 的值.
4
15．（1）4；（2）a2 a4 a6 a8 3280 3 T
495
；（ ） 9 x316
【分析】（1）先把 415写成 4(15 1)7，再利用二项式定理展开，从而得到答案.
（2）根据题意，分别代入 x 1, x 1, x 0列方程组，计算即可得到所求和；
t t
（3）设 k 1 t k 1 k项的系数 k 1最大，则通过解不等式组 t 得到答案. k 1 tk 2
7
【详解】（1） 415 4 414 4 42 4 167 4(15 1)7
4 C07 157 C1 156 C67 7 151 C77 150
4 15 C0 156 C1 1557 7 C67 4，
415除以 15的余数为 4.
2 8（ ）由已知得 2x 1 1 a 2 7 80 a1x a2x a7x a8x ，
令 x 1，得a0 a1 a2 a7 a8 0，①
令 x= 1，得a0 a1 a2 a7 a8 6560，②
联立①②得， a0 a2 a4 a6 a8 3280 .
令 x 0，得 a0 0，所以a2 a4 a6 a8 3280.
12
x 1 x 12 k 1 k 1 12 k 4
（3） 的展开式通项为T Ck k
12 k
C x 3k 1 12 12 k 0,1,2 , ,123 ， 2 3 x 2 x 2
12 k
则 k 1项的系数 t 1k 1 C
k k 0,1,2, ,1212 .
2
t t
设 k 1项的系数 t k 1 kk 1最大，则由不等式组 t ， k 1 tk 2
高二数学答案（第 6 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
12 k 13 k 13 k 13 k
Ck
1 Ck 1 1
2 13 k
Ck 1 1 1 12 12
k 1
2 2 k 12
C
2 12 2
即 12 k 11 k ，化简 12 k 12 k ，
2 12 k Ck 1 Ck 1 1 Ck 1 Ck 1 12 2 12 12 12 2 2 k 1 2
2 13 k
1 k 23 26
即 ，解得 k .
2 12 k 3 3
1
k 1
24
因为 k N ，所以 k = = 8 .
3
1 4 4 495 4
因此，展开式中系数最大的项为T 89 C12 x 3 x 3 .
2 16
3 2 3
16．(1) (2) 9 (3)10 10
P A 3【详解】（1）设事件 A “取出饺子是肉馅”， ，
10
（2）设事件 B “甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件C “取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
3 2
P BC
P C B 10 9 2
P B 3 9
10
（3）设事件D = “从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件 A1， A2， A3分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
P D P A1 P D A1 P A2 P D A2 P A3 P D A3
3 4 2 3 5 3 3
10 11 10 11 10 11 10
17．(1)答案见解析
25
(2)
37
【分析】（1）根据题意，得到 X 可能取值为0,1,2,3，分别求得相应的概率，即可列出分布列；
（2）设甲在参加三场比赛后积分之和为 5分为事件A，三场比赛甲得分都不同为事件 B，结合甲的三场
比赛积分分别为 1，1，3或者 0，2，3或者 1，2，2，结合相互独立的事件的乘法公式和条件概率的计算，
即可求解.
【详解】（1）解：由题意得，随机变量 X 可能取值为0,1,2,3，
高二数学答案（第 7 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
当 X 0时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
3 2
则 P X 0 1 1 C1 1 1 1 5 3 1 1 ；
2 2 2 2 16
当 X 1时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
2
P X 1 C2 1 1 1
2 1 3
则 4
2 2
1 ；
2 16
当 X 2时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
2 2
则 P X 2 C2 1 1 1 34 1 ；
2 2 2 16
当 X 3时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
1 3 2P X 3 C2 1 1 1 1 5则 ，
2 3 2 2 2 16
所以 X 的概率分布列如下：
X 0 1 2 3
5 3 3 5
P
16 16 16 16
（2）解：设甲在参加三场比赛后积分之和为 5分为事件A，设这三场比赛甲得分都不同为事件 B，
则甲的三场比赛积分分别为 1，1，3或者 0，2，3或者 1，2，2，
P A 3 3 3 5 A3 5 3 5 3 3 3 333所以 3 ，
16 16 16 3 16 16 16 16 16 16 2048
P(AB) A3 5 3 5 225且 3 ， P(B | A)
P(AB) 25
，
16 16 16 2048 P(A) 37
25
故甲在参加三场比赛后，积分之和为 5分的概率分别为 .
37
1 1
18．(1) f x 在 0, 单调递增，在 , 单调递减
2 2
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）当 a 1时，求出导函数，解不等式求 f x 的单调区间即可；
（2）分 a 0、 a<0情况讨论 f x 与 0的大小关系可得结论；
1 1
（3 ）利用函数的单调性把所证不等式转化成 ln 1 0，构造函数 g x lnx x 1，利用导数
2a 2a
高二数学答案（第 8 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
求函数最值即可证明.
2
【详解】（1）当 a 1时， f x lnx x x， f x 的定义域为 0, ，
2
则 f x 1 x 1 2x 12x 1 2 x x 1 ，
x x x
x 故当 0,
1
时， f x 0；当 x 1 , 时， f x 0 .
2 2
故 f x 在 0,
1 1
单调递增，在 , 单调递减；
2 2
（2） f x 1 x 1 2ax 1 的定义域为 0, ， f x 2ax 2a 1 ．
x x
若 a 0，则当 x 0, 时， f x 0，故 f x 在 0, 单调递增，
1 1
若 a<0，则当 x 0, 时， f x 0；当 x , 时， f x 0 .
2a 2a
f x 1 1故 在 0,
单调递增，在 , 单调递减；
2a 2a
1 1 1
（3）由（1）知，当 a<0时， f x 在 x 1 取得最大值，最大值为 f
ln
2a 2a 2a
1 ，
4a
所以 f x 3 2 ln 1 1 1 3 1 1等价于 2 ln
，即 1 0，4a 2a 4a 4a 2a 2a
设 g x lnx x 1，则 g x 1 1，当 x 0,1 时， g x 0，当 x 1, 时， g x 0.
x
所以 g x 在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减，
故当 x 1时， g x 取得最大值，最大值为 g 1 0，所以当 x 0时， g x 0，
1 1 3
从而当 a<0时， ln 1 0，即 f x 2 .
2a 2a 4a
19 3 1 1 n 119．(1) P ， n
42 7 7 6
(2)第二次，证明见解析
【分析】（1）根据全概率公式即可求解 P2，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，
n 1
（2 3 1 1 ）根据P ，即可对 nn 分奇偶性求解.7 7 6
* 2
【详解】（1）记该顾客第 i i N 次摸球抽中奖品为事件 A，依题意， P1 ，7
P2 P A2 P A1 P A2 | A1 P A P A | A 2 1 2 1 191 2 1 1 ．7 3 7 2 42
1 1
因为 P An | An 1 ， P An | An 1 ， Pn P An ，3 2
高二数学答案（第 9 页 共 10 页）
{#{QQABbQIAogCoQJIAABgCUQHgCAOQkBGACKoOgBAAIAAAiRFABAA=}#}
所以 P An P An 1 P An | An 1 P An 1 P An | An 1 ，
P 1 P 1所以 n n 1 1 P
1 P 1 ，
3 2 n 1 6 n 1 2
P 3 1 3所以 n
P
7 6 n 1
，
7
P 2 3 1又因为 1 ，则 P1 0，7 7 7
3 1 1
所以数列 Pn 是首项为 ，公比为 的等比数列，
7 7 6
P 3 1 1
n 1
故 n ．7 7 6
3 1 3 19
（2）证明：当 n为奇数时，Pn ，7 7 6n 1 7 42
3 1
当 n为偶数时， Pn n 1 ，则 P n随着 n的增大而减小，7 7 6
P P 19所以， n 2 ．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．42
高二数学答案（第 10 页 共 10 页）
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