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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第六章：平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较大的内角是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
3．如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
5．在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
6．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
7．“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线.中线.高线互相重合
B．三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．任意多边形的外角和是
9．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．等腰三角形的高.中线.角平分线，三线合一
C．斜边相等的两个直角三角形全等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
10．如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，在正五边形中，于点，则的度数为 ．
12．一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，则它是正 边形．
13．如图，在中，，，，且，若（为常数且），设，，则y关于x的函数解析式为 （用含有k的代数式表示）．
14．如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
15．如图，在中，点分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是 ．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
17．（8分）如图，已知是的一条对角线，于点，于点．求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．
18．（8分）如图，...在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接.，求证四边形为平行四边形．
19．（8分）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长.，分别交于点H，交于点G，若，．
求证：四边形为平行四边形；
20．（8分）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
21．（8分）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
22．（9分）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，，
(1)当点E在的延长线上，证明；
(2)当为直角三角形，求的长
(3)直接写出的最小值_____________．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第六章：平行四边形
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较大的内角是（ ）
A． B． C． D．
解：由已知可设这两个角的度数分别为和，
依题意得：，
解得．
所以，较大的角是．
故选：D．
2．如图，点是的对角线交点，为中点，交于点，若，则的值为( )
A．2 B．4 C． D．8
解：点是 的对角线交点，
，
为中点，
∴
，
．
故选：A．
3．如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是( )
A． B．
C． D．
解：A.，一边平行，另一边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故此条件不能判断四边形是平行四边形，符合题意；
B.，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
C.，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
D.，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此条件能判断四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
5．在如图所示的中，点D，E在边AB上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
解：∵平分，且，
∴，，，
∴，
∴，，
同理可证，，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
6．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
解：如图，垂直平分，交于，交于点，
则：，为的中点，
由题意，得：为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
故选C．
7．“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
解：正五边形的内角和为：，
故选：C．
8．下列说法正确的是（ ）
A．等腰三角形的角平分线.中线.高线互相重合
B．三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等
C．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．任意多边形的外角和是
解：A． 等腰三角形的底边上的高线.顶角的角平分线.底边上的中线互相重合，故原说法错误，不符合题意；
B． 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故原说法错误，不符合题意；
C． 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故原说法错误，不符合题意；
D． 任意多边形的外角和是，说法正确，符合题意．
故选：D．
9．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．等腰三角形的高.中线.角平分线，三线合一
C．斜边相等的两个直角三角形全等
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
B．等腰三角形的底边上的高.底边上的中线.顶角的角平分线，三线合一，故B选项不符合题意；
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故C选项不符合题意；
D．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故D选项符合题意；
故选：D．
10．如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解：∵四边形是梯形，
∴，
即，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵E是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴图中与阴影部分面积相等的三角形共有共6个，
故选：A．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．如图，在正五边形中，于点，则的度数为 ．
解：如图，连接，，
正五边形中，
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：
12．一个正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，则它是正 边形．
解：∵正多边形的外角与它相邻的内角的度数之比是，
∴这个正多边形的每个外角为，
∴这个正多边形的边数为，
即它是正十二边形．
故答案为：十二
13．如图，在中，，，，且，若（为常数且），设，，则y关于x的函数解析式为 （用含有k的代数式表示）．
解：如图，过E作，截取，连接．
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵
∴
∴为等边三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理，
即，
∵，，，
∴带入化简得：，
故答案为：．
14．如图，在中，，，点D，E分别是，边上的动点，连结，F，M分别是，的中点，则的最小值为 ．
解：如图所示，过点B作于G，连接，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F，M分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当时，最小，即此时最小，
∵当时，，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：．
15．如图，在中，点分别是线段的中点，下列结论：①为等边三角形．②．③．④．其中正确的是 ．
解：F为中点，D为中点，
设，则，
，，
∵为中点，
在中，.为和的中点，且，
故是中位线，
为的中点，
是等边三角形，①正确；
，故②正确；
，
∴，故③正确；
∵，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上所述，①②③④都正确；
故答案为：①②③④．
三.解答题：（共55分）
16．（6分）如图，在中，，延长到点E，使过点E作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，直接写出的长．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
17．（8分）如图，已知是的一条对角线，于点，于点．求证：
(1)；
(2)四边形为平行四边形．
证明：（1）四边形是平行四边形，
，，．
，，．
在和中，
．
（2）如图，连接交于点．
，．
四边形是平行四边形，
，，
，即，
四边形是平行四边形．
18．（8分）如图，...在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接.，求证四边形为平行四边形．
解（1），
，
，
，
，
，
，
（2）如图：
由（1）知，
，，
，
四边形为平行四边形．
19．（8分）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为E，F，延长.，分别交于点H，交于点G，若，．
求证：四边形为平行四边形；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
20．（8分）如图，AO是的角平分线，，交AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．
证明：如图，延长AC，BD，两者相交于点．
是的角平分线，．
，．
又，，
，．
又是BC的中点，是的中位线，
．
21．（8分）如图，四边形中，，为上一点，与交于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．
（1）证明：
在和中，
又
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，则，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
22．（9分）如图，和都是等腰直角三角形，，点E，F分别在射线，上，，点M为的中点，点P在上，，，
(1)当点E在的延长线上，证明；
(2)当为直角三角形，求的长
(3)直接写出的最小值_____________．
解（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）当为直角三角形，且时，如图，
∵，
∴，
∵点M为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
当为直角三角形，且时，连接，，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵点M为的中点，
∴，，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴.共线，
∴垂直平分，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
即此时，，
综上：为直角三角形，为或者；
（3）当点E在线段上时，
设.交于点G，过E点作，交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点G为中点，
∵点M为的中点，，
∴点G与点M重合，
∴点M在线段上，
同理可证：当点E在线段的延长线上时，点M在线段上，
根据垂线段最短可知：当时，有最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴有最小值为．
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