人教版七年级下册第8章《二元一次方程组》单元测试卷 含解析

人教版七年级下册第8章《二元一次方程组》单元测试卷
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x，y的二元一次方程有一组解为，则k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．用代入消元法解方程组时，把②变形后代入①，代入正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果是二元一次方程组的解，那么a，b是（　　）
A． B． C． D．
6．已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是（　　）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
7．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，由七个完全一样的小长方形组成大长方形，，大长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是三元一次方程组的解，那么的值为（ ）
A． B．6 C．9 D．18
10．已知关于，的方程组的解是．则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．已知，用含的代数式表示，则 ．
12．下列方程组中是二元一次方程组的是 ．（填写序号）
①②③④
13．已知，则 ．
14．对于，定义一种新运算（，是非零常数）．例如．若，，则 ， ．
15．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲每分钟跑 圈．
16．已知关于x，y的方程组．以下结论：①时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数的值始终不变；④若，则，其中正确的序号是 ．
三、解答题（共66分）
17．（8分）解方程组：
(1)（用代入消元法解）； (2)（用适当的方法解）；
18．（6分）已知是方程组的解，那么的值为多少？
19．（6分）解方程组：．
20．（8分）已知：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得．
(1)求的算术平方根；
(2)求原方程组的解．
21．（8分）若方程组和方程组有相同的解．
(1)求方程组正确的解．
(2)求a，b的值．
22．（8分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一批铜芯电线，将其截成两种型号的导线用于实验操作，已知截取根型导线和根型导线共需电线cm，截取根型导线和根型导线共需电线cm，求截取的两种型号的导线的长度．
23．（10分）为了弘扬爱国主义精神，某中学组织八年级学生到郑州市二七纪念塔展览，现有两种车型可供选择．已知2辆型车和1辆型车可以载学生100名；1辆型车和2辆型车可以载学生110人，该学校八年级共有320名学生，根据题目提供的信息，解决下列问题：
(1)型车每辆可分别载学生多少人？
(2)若租一辆型车需要1000元，租一辆型车需要1200元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最少．
24．（12分）已知关于，的方程组（是常数）．
(1)当时，则方程组可化为．
①请直接写出方程的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程，求的值．
(2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值．
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【详解】解：A、本方程不是整式方程，故本选项错误；
B、本方程是一元一次方程；故本选项错误；
C、本方程符合二元一次方程的定义；故本选项正确；
D、本方程是二元二次方程；故本选项错误．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，正确理解定义是关键．根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可．
【详解】解：A、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误；
B、把满足中的两个方程，故是方程组的解，故选项正确；
C、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误；
D、把代入方程，左边，故不是方程组的解，故选项错误．
故选B．
3．A
【分析】
本题考查的是二元一次方程的解，解题的关键是将方程解代入方程，即可求出的值．已知二元一次方程的解，代入等式必成立，由此求出的值．
【详解】
解：将代入方程，则：
，
解得：，
故选：A．
4．C
【分析】
本题考查了用代入消元法解二元一次方程组．先将②变形为，再将其代入①即可．
【详解】解：由②可得：，
把代入①得：，
故选：C．
5．B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组的方法，把方程组的解代入方程组，解关于的方程组，即可求出的值．
【详解】解：根据题意可得，
即，
两个方程相减得到,
把代入可得,
故选：．
6．B
【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组的方法，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．加减消元法即将其中一个未知数的系数化为相同（或相反）时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程．针对具体的方程组，要善于观察，从而选择恰当的方法．
【详解】
解：已知二元一次方程组：①；②；③；④，解以上方程组比较适合选择的方法是：①③用代入法，②④用加减法．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，
故选：．
8．B
【分析】此题考查二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键． 由图可看出本题的等量关系：小长方形的长小长方形的宽；小长方形的长+宽，据此可以列出方程组求解．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y．
由图可知，
解得．
所以长方形的长为10，宽为7，
∴长方形的周长为，
故选B．
9．A
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可．
【详解】∵知是三元一次方程组的解，
∴，
三式相加，得，
解得，
故选A．
10．D
【分析】
本题考查解二元一次方程组，利用换元法，得到的解为，进一步求解即可．
【详解】解：可化为：，
∵关于，的方程组的解是，
∴的解为：；
解得：．
故选D．
11．
【分析】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将其中一个当做已知数求出另一个未知数．
把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：
12．④
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④．
故答案为：④．
13．12
【分析】本题考查绝对值的非负性，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴
②①得：，
故答案为：12．
14．
【分析】
本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，正确理解新定义是解题的关键．
根据定义，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵，，
∴ ，
解得： ．
故答案为：，．
15．
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．设甲的速度为x，乙的速度为y，环形路的长度为单位1，由题意得，计算求解即可．
【详解】
解：设甲的速度为x，乙的速度为y，环形路的长度为单位1，
由题意得，
解得，
∴甲每分跑圈．
故答案为：．
16．①②③
【分析】
本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组得到，据此可得，，，据此逐一判断即可．
【详解】解：
得：，解得，
把带入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∴，
∴不论k取什么实数的值始终不变，当时，方程组的解也是方程的解，故①③正确；
，
∴当时，，故②正确；
，解得，故④错误，
故答案为：①②③．
17．(1)；
(2)．
【分析】
（1）本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法步骤，即可解题．
（2）本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程的方法（代入消元法和加减消元法）步骤，即可解题．
【详解】（1）解：
由①得：③，
将③代入②中得：，
，
，
，
将代入中有，
综上所述，方程组的解为；
（2）解：，
由得，，
解得，
将代入②中，有，
解得，
综上所述，方程组的解为．
18．1
【分析】本题考查方程组的解，根据方程组的解满足方程代入得到新方程组，求出a、b的值，再代入所求代数式即可得到答案．
【详解】解：将代入原方程组得，
，
即：，
由得：，∴;
将代入②得：，
解得：，
∴
∴．
19．．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键．
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案．
【详解】解：根据题意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程组的解为．
20．(1)的算术平方根等于4
(2)
【分析】（1）把代入②求出，把代入①求出，最后求出的算术平方根即可；
（2）把，代入原方程组得，再解方程组即可．
【详解】（1）解：把代入②得，
∴，
把代入①得，
∴
∴的算术平方根为．
（2）解：把，代入原方程组得，
解得．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，求出，．
21．(1)
(2)a的值是，b的值是
【分析】
本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系．
（1）由题意得，解方程组即可解答．
（2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一共关于a、b的方程组求解即可．
【详解】（1）∵方程组和方程组有相同的解，
∴，
①+②得，解得，
将代入①得，
∴方程组的解为．
（2）∵方程组和方程组有相同的解，
∴可得新方程组，
解得：，
把，代入，得，
解得．
故a的值是，b的值是．
22．截取的种型号的导线长度为cm，截取的种型号的导线长度为cm
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设截取的种型号的导线长度为cm，截取的种型号的导线长度为cm，根据“截取根型导线和根型导线共需电线cm，截取根型导线和根型导线共需电线cm”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设截取的种型号的导线长度为cm，截取的种型号的导线长度为cm，
根据题意得
解得
答：截取的种型号的导线长度为cm，截取的种型号的导线长度为cm．
23．(1)每辆型车可载学生30人，每辆型车可载学生40人
(2)不租型车、租8辆型车
【分析】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设每辆A型车可载学生x人，每辆B型车可载学生y人，根据“2辆A型车和1辆B型车可以载学生100人；1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租A型车m辆，租B型车n辆，根据总人数租用A型车的数量租用B型车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各租车方案，利用总钱数每辆车的租车费用租车数量可得出函数解析式，用函数的性质得出结论．
【详解】（1）解：设每辆型车可载学生人，每辆型车可载学生人，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆型车可载学生30人，每辆型车可载学生40人；
（2）解：设租型车辆，租型车辆，
依题意，得：，
解得：．
均为非负整数，
或或，
当时，租车费用为（元）；
当时，租车费用为（元）；
当时，租车费用为（元）．
，
不租型车、8辆型车．
24．(1)①，②
(2)或0
【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案；
（2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
②∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（2）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组由整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键．