2023-2024 初三第六次联考测试
数 学 试 卷
（时间：120 分钟 总分：150 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1．2024的倒数是（ ▲ ）
A．﹣2024 B．2024 C 1． D 1．
2024 2024
2．下列运算正确的是（ ▲ ）
A．m2+m3＝m5 B．（m2）3＝m5 C．m5﹣m3＝m2 D．m2 m3＝m5
3．抛物线 y＝﹣x2+1先向左平移 2个单位，再向下平移 1个单位长度，所得新抛物线的解
析式为（ ▲ ）
A．y＝﹣（x+2）2+2 B．y＝﹣（x﹣2）2
C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x﹣2）2+2
4．若 a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ▲ ）
A a b．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C． ＞ D．a2＜b2
3 3
a b 25．化简 ( a ) 的结果是（ ▲ ）
a b a
A．a+b B 1． C．a﹣b D 1．
a b a b
6．如图，由边长为 1的小正方形构成的网格中，点 A、B、C都在格点上，以 AB为直径的
圆经过点 C、D，则 sin∠ADC的值为（ ▲ ）
A． B． C． D．
第 6题图 第 7题图 第 8题图
7．如图，在△ABC中，D在 AC边上，AD：DC＝1：2，O是 BD的中点，连接 AO并延长
交 BC于点 E，若 BE＝1，则 EC的长为（ ▲ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线 l1、l2、l3所对应的函数表达式分别为 y1＝x+2、
y2＝x﹣3、y3＝kx﹣2k+4（k≠0且 k≠1），若 l1与 x轴相交于点 A，l3与 l1、l2分别相交于
初三数学 第 1页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
点 P、Q，则△APQ的面积为（ ▲ ）
A．等于 8 B．等于 10 C．等于 12 D．随着 k的取值变化而变化
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，本大题共 30 分．不需要写出解答过程，只
需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．因式分解：4x2﹣1＝ ▲ ．
10．地球上海洋总面积约为 360000000km2，将 360000000用科学记数法表示是 ▲ ．
11．若式子 2 x 1 在实数范围内有意义，则 x的最小值为 ▲ ．
12．△ABC与△A1B1C1的位似比为 2：1，原点 O为它们的位似中心．若点 A的坐标为（6，
4），则对应点 A1的坐标可以为 ▲ ．
3 x y 4
13．如果实数 x，y 满足方程组 ，则 x+y＝ ▲ ．
x y 2
14．若 x＝3是关于 x的方程 ax2﹣bx＝6的解，则 2024﹣6a+2b的值为 ▲ ．
15．如图，菱形 ABCD的顶点 A、D都在⊙O上，且∠OAD＝12°，设 AC与⊙O交于点 E，
则∠AEB的度数是 ．
第 15题图 第 16题图 第 17题图
16．如图，正方形 ABCD的边长为 4,以 C为圆心，BC长为半径画弧，交 AC于点 F，若再
以C为圆心，AC长为半径画弧，交CB的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ▲ ．
17．如图，在 Rt△ABO中，∠ABO＝90°，反比例函数 y＝ （k＜0）的图象与斜边 OA相
交于点 C，与边 AB相交于点 D．已知OC＝2AC，且△AOD的面积为 1，则 k的值为 ▲ ．
18．二次函数 y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠ ），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，
2）；②当 m＝1时，函数图象与 x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在 y轴的右侧；
④当 1＜m＜ 时，点 P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣ ＜
x2＜0，则 y1＞y2．其中，正确结论的序号为 ▲ ．
三、 解答题（本大题共有 10 小题，共 96 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
19．（8分）解方程： x2﹣4x﹣32＝0．
初三数学 第 2页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
20．（8分）计算：（﹣2）2﹣（π﹣ ）0+| ﹣2|+2sin60°．
21．（8分）某校举办国学知识竞赛，设定满分 10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、
乙两组（每组 10人）学生成绩如下：甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．乙组：5，
6，6，6，7，7，7，7，9，10．经初步整理得如表数据：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 c S 2乙
（1）填空：a＝ ▲ ，b＝ ▲ ，c＝ ▲ ；
（2）求乙组 S 2乙 的值；
（3）若从甲、乙两组中选择一组成绩较好的小组参加决赛，应选 ▲ 组．
22．（8分）为了促进“足球进校园”活动的开展，沭阳县教育局组织了中学生足球比赛活动，
打算从 A、B、C三支获胜足球队中随机抽取球队到其他地区学校进行交流．
（1）如果随机抽取一支球队参与交流，则抽取 A球队的概率为 ▲ ；
（2）如果随机抽取两支球队参与交流，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽取 A、B两
支球队的概率．
23．（10 k分）如图，反比例函数 y 的图象与一次函数 y＝mx+n的图象相交于 A（a，
x
﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线 AB交 y轴于点 C，点 N（t，0）是 x轴正半轴上的一个动点，过点 N作
NM x k⊥ 轴交反比例函数 y 的图象于点 M，连接 CN，OM．若 S 四边形 COMN＞3，求 t
x
的取值范围．
初三数学 第 3页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
24．（10分）如图，在东西方向的旅游线路上设有两个公交站点 A，B，它们相距 4.9千米，
景点 C在 B的南偏东 23°方向，且 BC＝6.5千米；景点 D在 A的正南方向，且在 C的北
偏东 67°方向，求景点 D到线路 AB 的距离．（参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，
tan67°≈ ）
25．（10分）如图，在△ABC中，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，点 E是⊙O上一点，
∠CAD＝∠E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2 3）若 sinE= ，BD＝4，求线段 AC的长．
5
26．（10分）如图 1 是一架菱形风筝，它的骨架由如图 2 的 4 条竹棒 AC，BD，EF，GH
组成，其中 E，F，G，H分别是菱形 ABCD四边的中点，现有一根长为 80cm的竹棒，
正好锯成风筝的四条骨架，设 AC＝x cm，菱形 ABCD的面积为 y cm2．
（1）写出 y关于 x的函数关系式；
初三数学 第 4页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求 25cm≤AC≤ BD，那么当骨架 AC的长为
多少时，这风筝即菱形 ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？
27．（12分）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段 AB和直线 l，在直线 l上
找点 P，使得∠APB＝30°，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点 P．
【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点 A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在 AB上方交于点 O；
第二步：连接 OA、OB；
第三步：以 O为圆心，OA长为半径作⊙O，交 l于点 P1和 P2．
则图中 P1、P2即为所求的点．
请在图②中，连接 P1A、P1B、P2A、P2B，并求证：∠AP1B＝∠AP2B＝30°．
【方法迁移】
如图③，在矩形 ABCD的边上找点 P，使得∠BPC＝45°，请用无刻度的直尺和圆规在
图③矩形 ABCD的边上作出所有的点 P．（不写作法，保留作图痕迹）
初三数学 第 5页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
【深入探究】
（2）已知矩形 ABCD，BC＝4，AB＝m，P为矩形 ABCD边上的点，若满足∠BPC＝45°
的点 P恰有两个，则 m的取值范围为 ▲ ．
（3）已知矩形 ABCD，AB＝6 ，BC＝2 ，P为矩形 ABCD内一点，且∠BPC＝135°，
则 AP的最小值为 ▲ ．
28．（12分）如图，直线 y＝x+3与 x轴、y轴分别交于点 A、C，经过 A、C两点的抛物线
y＝ax2+bx+c与 x轴的负半轴上另一交点为 B，且 tan∠CBO＝3．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点 M，使得△ADM的面积与△ABC的面积相等，求 M
点的坐标；
（3）若点 P是射线 BD上一点，且以点 P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点
P的坐标．
备用图
初三数学 第 6页 （共 6 页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}数学试卷参考答案与评分标准
一、选择题（每小题 3分，共 24分．）
1--8：C D C D A A C B
二、填空题（每小题 3分，共 30分．）
9． (2x 1)(2x 1) 10．3.6 1 108 11． 12．(3,2)或(-3,-2) 13．1 14．2020
2
8
15．78 16．2π 17． 18．①②④
5
三、解答题
19． x1 8, x2 4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
21．原式=5┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
21．（1） a 6,b 7,c 7 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
（2）s2 乙＝2┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（3）乙 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
1
22．（1） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
3
（2）树状图（或列表）略
1
P(抽取到 A、B两队)＝ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
3
3
23．（1） y ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
x
y x 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
3
（2） t ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
2
24．过点 C作 CE⊥AB于点 E，过 B点作 AD的平行线，过点 C作 CF⊥BF于点 F，过
点 D作 DG⊥CE于点 G．
则∠FBC＝23°，∠ECD＝67°，BC＝6.5千米，AB＝4.9千米，CF＝BE，BF＝CE，AE
第 1页（共 4页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
＝DG，EG＝AD．
在 Rt△BCF中，∠BCF＝90°﹣23°＝67°，
sin67°＝ ≈ ，
cos67°＝ ≈ ，
解得 BF＝6，CF＝2.5，
∴CE＝6千米，BE＝2.5千米，AE＝DG＝4.9﹣2.5＝2.4（千米），
在 Rt△CDG中，
tan∠GCD＝tan67°＝ ≈ ，
解得 CG＝1，
∴EG＝AD＝EC﹣CG＝6﹣1＝5（千米）．
∴景点 D到线路 AB的距离为 5千米．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
25．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠E，∠CAD＝∠E，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠BAC＝∠CAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且 AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
（2）解：∵∠B＝∠E，
∴ ＝sinB＝sinE＝ ，
设 AD＝3m，则 AB＝5m，
∴BD＝ ＝ ＝4m，
∵BD＝4，
∴4m＝4，解得 m＝1，
∴AD＝3，AB＝5，
∵ ＝ ＝tanB＝ ，
∴AC＝ AB＝ ×5＝ ，
第 2页（共 4页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
∴线段 AC的长是 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
26．解：（1）∵E、F为 AB、AD中点，
∴EF＝ BD．
同理：GH＝ BD，
∵EF+BD+GH+AC＝80，
∴BD＝40﹣ x，
∵四边形 ABCD是菱形，
∴y＝ （40﹣ x）x＝﹣ x2+20x．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（2）∵AC≤ BD，
∴x≤ （40﹣ x），
∴x≤32，
∴25≤x≤32，
∴y＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣40）2+400．
又∵﹣ ＜0，
∴当 x＝32即 AC为 32cm时面积最大，此时最大面积为 384cm2．┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
27．【探索发现】
（1）证明：∵OA＝OB＝AB，
∴∠AOB＝60°，
∵ ＝ ，
∴∠AP1B＝∠AP2B＝ ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
【方法迁移】
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（2） m 4或 m 2 2 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
第 3页（共 4页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
（3）8┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
28．（1） y x2 4x 3┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
（2）M（-2，5）或 M（-2，﹣7）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
5 2
（3）M（-4，-3）或 M（ ， ）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
3 3
第 4页（共 4页）
{#{QQABBQAEogigQJJAARgCQQHwCAKQkAEAAKoOBAAIIAIAyQFABAA=}#}
