厦门市杏南中学 2023-2024 学年下学期第一次阶段测试卷
高一数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔书写
在答题卡相应位置上，超出答题区域的答案无效．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.能旋转形成如右图所示的几何体的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
（5 1+ i3）
2.计算 z = =（ ）
（2+ i）(2 i)
A. -1 B. 1 C. 1 i D. 1+ i
3.已知平面向量 a与b 为单位向量，它们的夹角为 ，则 2a b =（ ）
3
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
4.如图，在 ABC中，点D是线段 AB上靠近A的三等分点，点E是线段CD的中
点，则（ ）
1 1 1 1
A. AE = AB + AC B. AE = AB + AC
3 2 6 2
1
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
1 1 1 1
C. AE = AB AC D. AE = AB AC
6 2 3 2
π
5.已知向量 a,b的夹角为 且 | a |= 2，b = (1,1)，则 a 在b 上投影向量的坐标为（ ）
3
A． ( )
1 1 2 2
2, 2 B． , C． , (1,1)
2 2 2 2
D．
6．在 ABC中，角 A, B,C所对的边分别为a,b,c，向量m = (cos A, cos B),n = (a, 2c b)，若
ur r
m//n，则角 A 的大小为（ ）
π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
7. 位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20nmile 的 B 处有一艘渔船
遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30 ，
且与甲船相距 10nmile的 C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则 sin ACB
＝（ ）
21 7 3 7
A. B. C. D.
7 7 7 3
8.已知 ABC的三个角 A, B,C 的对边分别为a,b,c,b = 6,c = 8，且bcosC + ccosB =10, P 是
AB边上的动点，则PA (PB + PC )的取值范围是（ ）
A.[ 32,64] B. [ 4,128] C. [ 8,32] D. [ 8,64]
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项
中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0分．
9.下列命题为真命题的是（ ）
A. 复数 2 i的虚部为 i
B. 若 z 1，则在复平面内 z 对应的点 Z 的集合确定的图形面积为 π
2
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
4n
1+ i
C. 若 i为虚数单位，n 为正整数，则 =1
1 i
D. 在复平面内，复数 2+ i的共轭复数对应的点在第四象限
10.已知向量a = (4,3 m)，b = (1,m) ，则下列说法正确的是（ ）
3 r r
A. 若m = ，则a//b
5
B. 若 a ⊥ b，则m = 1
C. a + 2b 的最小值为 6
D. 若 a与b 的夹角为锐角，则 1 m 4
11. 在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
AB AC
A. 若 + BC = 0，则 ABC为等腰三角形
AB AC
B. 若b = 3，a = 4，B = 45 ，则此三角形有两解
C. 若a cos A= b cos B，则 ABC为等腰三角形
3 2 2
D.若a + b = c (cos A+ cos B)，且c =1，则该三角形内切圆面积的最大值是 π
4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知1+ i是关于 x的方程 x2 + px + 2 = 0的一个根，则实数 p =________
13.在 ABC中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，已知acos B = bsin A.则
角 B= ；若 a = 2， c = 3，则 b 的值为 （第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）
14.在 ABC中，若cos2 A+ cos2 B cos2 C =1+ sin Asin B ，且 AB 边上的中线长为 2，
则 ABC面积的最大值为______
四、解答题：共 5 题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（5+8=13 分）已知复数 z = m2 +m 2+ (m 1)i(m R)
（1）若 z 为纯虚数，求实数 m 的值;
3
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
1
（2）若 z 在复平面内对应的点在直线 y = x，求 z ．
2
r
16.（7+8=15 分）已知 a,b为平面向量，且a = (1,2)．
（1）若b = (1,1)，且 ka b与 a垂直，求实数 k 的值；
（2）若a / /b，且 b = 2 5 ，求向量b 的坐标．
17（. 5+10=15分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2a sin C = 3c．
（1）求角 A 的大小；
（2）若b = 2， a = 7 ，求△ABC 的面积．
18（. 5+6+6=17 分）如图，在平行四边形 ABCD中，AB = BC = AC = 2，E,F 分别是边BC,CD
的中点，AE 与 BF 交于点 P，设 AB=a ，AD = b ．
(1)用 a，b 表示 AE，BF ；
(2)求 AE BF的值；
(3)求 EPF 的余弦值．
19.（5+5+7=17 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量
→ → → →
= ( + ， + )， = ( ， )，且 ⊥ ．
(1)求角 C 的大小；
(2)若 = √3， (i)求△ABC 面积的最大值;
（ii）求 2a+b 的取值范围．
4
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}厦门市杏南中学 2023-2024 学年下学期
第一次阶段测试卷参考答案
高一数学
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（ A ）
A． B． C． D．
（5 1+ i3）
2.（2023 年全国甲卷文科 T2） z = =（ C ）
（2+ i）(2 i)
A. -1 B. 1 C. 1 i D. 1+ i
3.已知平面向量 a 与b 为单位向量，它们 夹角为 ，则 2a b =（B）
3
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
4.如图，在 ABC中，点D是线段 AB上靠近A的三等分点，点E是
线段.CD的中点，则（ B ） 1 1 1 1A AE = AB + AC B. AE = AB + A的C 3 2 6 21 1 1 1C. AE = AB AC D. AE = AB AC
6 2 3 2
1
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
π
5.已知向量 a,b的夹角为 且 | a |= 2，b = (1,1)，则 a在b 上投影向量的坐标为（ C ）
3
( ) 1 1
2 2
A． 2, 2 B． , C． , D． (1,1) .
2 2 2 2
ur r
6．在 ABC中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c，向量m = (cos A, cos B),n = (a, 2c b)，若m//n ，
则角 A 的大小为（ C ）
π π π
A． B． C． C．
6 4 3 2
7. 位于某海域 A 处的甲船获悉，在其正东方向相距 20nmile 的 B 处有一艘渔船遇险后抛锚
等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30 ，且与甲船相距
10nmile 的 C 处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则sin ACB＝（ A ）
21 7 3 7
A. B. C. D.
7 7 7 3
8.已知 ABC的三个角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,b = 6,c = 8，且bcosC + ccosB =10, P 是 AB
边上的动点，则 PA (PB + PC )的取值范围是（ D ）
A. [ 32,64] B. [ 4,128] C. [ 8,32] D. [ 8,64]
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选
项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
有选错的得 0分．
9.下列命题为真命题的是（ BC ）
A. 复数 2 i的虚部为 i
B. 若 z 1，则在复平面内 z 对应的点 Z 的集合确定的图形面积为 π
4n
1+ i
C. 若 i为虚数单位，n 为正整数，则 =1
1 i
D. 在复平面内，复数 2+ i的共轭复数对应的点在第四象限
10.已知向量 a = (4,3 m)，b = (1,m) ，则下列说法正确的是（AC ）
2
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
3 r r
A. 若m = ，则 a//b
5
B. 若 a ⊥ b，则m = 1
C. a + 2b 的最小值为 6
D. 若 a 与b 的夹角为锐角，则 1 m 4
11. 在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下列命题正确的是（ ABD ）
AB AC
A. 若 + BC = 0，则 ABC为等腰三角形
AB AC
B. 若b = 3，a = 4，B = 45 ，则此三角形有两解
C. 若 a cos A= b cosB，则 ABC为等腰三角形
D.若 a + b = c (cos A+ cos B) 3 2 2，且c =1，则该三角形内切圆面积的最大值是 π
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.已知1+ i是关于 x的方程 x
2 + px + 2 = 0的一个根，则实数 p = ________
【答案】 2
【分析】由题意可知方程两根分别为1+ i，1 i，从而利用韦达定理即可得解.
【详解】因为1+ i是关于 x的方程 x
2 + px + 2 = 0的一个根，
所以 也是方程 x21 i + px + 2 = 0的根，
所以 (1+ i) + (1 i) = p ，则 p = 2
13. 在 ABC中，内角 A，B，C 对应的.边分别为 a，b，c，已知acosB = bsin A.则角 B= ；
若 a = 2 ，c = 3，则 b 的值为 （第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）
【答案】(1) B = ； (2) b = 5 .
4
【详解】（1）在 ABC中，由正弦定理得 sin Acos B = sin Bsin A，
3
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
因为0 A ，所以sin A 0，所以 tan B =1,又因为0 B ，所以B = .
4
（2）在 ABC中，由余弦定理得b2 = a2 + c2 2accos B ，
2
代入数据解得b2 = 2+9 2 2 3 = 5 ,所以b = 5 ．
2
14.在 ABC中，若 cos2 A+ cos2 B cos2 C =1+ sin Asin B ，且 AB 边上的中线长为 2，则
ABC面积的最大值为______
【答案】 4 3
【详解】因 sin2 x + cos2 x =1，则 cos2 A+ cos2 B cos2 C =1+ sin Asin B
1 sin2 A+1 sin2 B (1 sin2 C ) =1+ sin Asin B ，
即 sin2 A+ sin2 B sin2 C = sin Asin B a2 +b2 c2 = ab .
a2 +b2 c2 1 2π
所以 cosC = = ，又0 C π，所以C = .设 AB 边上的中线为 CD，
2ab 2 3
1 2 1 2 1 2 2
则CD = (CA+CB)，则 CD = (CA+CB) = (a +b ab) = 4，
2 4 4
所以16 = a2 + b2 ab 2ab ab = ab，当且仅当 a＝b 时等号成立，
1
所以 (S△ABC ) = (ab) sinC = 4 3 max max2
故答案为： 4 3
四、解答题：共 5 题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15.（5+8=13）已知复数 z = m2 +m 2+ (m 1)i(m R)
（1）若 z 为纯虚数，求实数 m 的值：
1
（2）若 z 在复平面内对应的点在直线 y = x，求 z ．
2
【小问 1 详解】
4
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
m2 +m 2 = 0
若 z 为纯虚数，则 ， ...........3 分
m 1 0
解得m = 2 . ...........5 分
【小问 2 详解】
1 2
由题意可得m 1= (m +m 2)， ...........7 分
2
解得m = 0或m =1， ...........9 分
2 2
当m = 0时， z = 2 i，所以 z = ( 2) + ( 1) = 5 ； ...........11 分
当m =1时， z = 0，所以 z = 0 . ...........13 分
r
16.（6+7=13） 已知a,b为平面向量，且 a = (1,2)．
（1）若b = (1,1)，且 ka b 与 a 垂直，求实数 k 的值；
（2）若 a / /b，且 b = 2 5 ，求向量b 的坐标．
【小问 1 详解】
r r
因为 a = (1,2) ,b = (1,1)，则 ka b = (k 1,2k 1)， ...........1 分
因为 ka b 与 a 垂直，于是 (ka b) a = 0， ...........3 分
即 k 1+ (2k 1) 2 = 0， ...........5 分
3
解得 k = . ...........6 分
5
【小问 2 详解】
r r
由 a / /b，设b = a = ( , 2 )， ...........8 分
而 b = 2 5 ，则 2 + 4 2 = 2 5 ， ...........9 分
解得 = 2， ...........11 分
所以b = (2,4)或b = ( 2, 4)． ...........13 分
5
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
17.（5+10=15）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知2a sinC = 3c ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若b = 2， a = 7 ，求△ABC 的面积．
【小问 1 详解】
由已知及正弦定理知： 2sin Asin C = 3 sin C ． ...........2 分
3
因为 C 为三角形内角，则sinC 0，所以 sin A = ． ...........3 分
2
2
因为 A 为三角形内角，则 A = 或 ...........5 分（漏写 1 解扣 1 分）
3 3
【小问 2 详解】
1）若 A = ，由余弦定理得，b2 + c2 2bc cos A = a2． ...........6 分
3
c2
则 + 4 4ccos = 7 ，即 c2 2c 3 = 0 ...........7 分
3
即 (c 3)(c +1) = 0，因为c 0，则c = 3 ...........8 分
1 1 3 3
所以△ABC 的面积 S = bcsin A = 3 2sin = ．..........10 分（面积公式写对给 1 分）
2 2 3 2
2
若 A = ，则 c2 + 2c 3 = 0， ...........12 分
3
即 (c + 3)(c 1) = 0，因为 c 0，则c =1 ...........13 分
所以△ABC 的面积 √
= = × × = ． ....15 分（面积公式写对给 1 分）
18.（5+6+6）如图，在平行四边形 ABCD中， AB = BC = AC = 2， E,F 分别是边BC,CD的中点，
设 AB=a， AD = b．
6
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
(1)用 a，b 表示 AE ， BF ；（2）求 AE BF的值；
(3)若向量 AE 与 BF 的夹角为 θ，求cos ．
1 1 1
【详解】（1）根据题意， AE = AB + BE = AB + BC = AB + AD = a + b， . ...........2 分
2 2 2
1 1
同理： BF = BC +CF = AD AB = a +b ． . ...........5 分
2 2
1 1
（2）根据题意，由（1）的结论， AE = a + b，BF = a +b ，
2 2
在平行四边形 ABCD中， AB = BC = AC = 2，
π 2π 2π
可知 ABC = , DAB = ，即 a b = ， . ...........7 分
3 3 3
1 1 1 1 3
则 AE BF = (a + b) ( a +b) = a
2 + b 2 + a b . ...........9 分
2 2 2 2 4
1
22
1 2 3 2π 3
＝ + 2 + 2 2 cos = ． . ...........12 分
2 2 4 3 2
(3)
1 1 1 1
| AE |=| a + b |= (a + b)2 = a2 + b 2 + a b = 4+1 2 2 = 3，. ...........14 分
2 2 4 2
1 1 1 1
同理 | BE |=| a +b |= a2 +b 2 a b = 4+ 4+ 2 2 = 7 ， . ...........16 分
2 4 4 2
3
故 AE BFcos = = 2
21
= ...........(夹角公式写对 1 分，结果对 1 分）17 分
| AE | | BF | 3 7 14
→
19.（5+5+7=17）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 = ( +
→ → →
， + )， = ( ， )，且 ⊥ ．
（1）求角 C 的大小；
（2）若 = √ ， (i)求△ABC 面积的最大值; （ii）求 2a+b 的取值范围．
→ → → →
【分析】（1）根据 ⊥ 即可得出 = ，进行数量积的坐标运算即可得出 sin2B﹣
sin2C+sin2A+sinAsinB＝0，由正弦定理即可得出 a2+b2﹣c2＝﹣ab，根据余弦定理即可求出
= ，从而求得 = ；
7
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
（2）根据 = ， = √ 即可求出△ABC 的外接圆直径为 2，根据正弦定理即可得出 2a+b
＝4sinA+2sinB= √ ( + )，而 ∈ ( ， )，从而得出 + ∈ ( ， )，从而求出
√ ( + )的范围，即得出 2a+b 的范围．
→ → → →
【解答】解：（1）∵ ⊥ ；∴ = ； ............1 分
∴sin2B﹣sin2C+（sinA+sinB）sinA＝0； ............2 分
∴由正弦定理得，b2﹣c2+a2+ab＝0； . ...........3 分
∴a2+b2﹣c2＝﹣ab；
+
∴ = = ，且 C∈（0，π）； . ...........4 分
∴ = ； ............5 分
解法 1：
1 3
S = absinC = ab . ...........6 分 ABC
2 4
根据余弦定理得： c2 = a2 + b2 2abcosC
即3 = a2 + b2 + ab . ...........7 分
3 ab = a2 + b2 2ab . ...........8 分
3ab 3，ab 1
当且仅当a = b时，等号成立 . ...........9 分
3 3 3
所以 S = ab ，即△ABC 面积的最大值为 . ...........10 分 ABC
4 4 4
解法 2：
（3）∵ = ， = √ ；
∴△ABC 外接圆直径 2R＝2； 半径 R=1 . ...........11 分
∴2a+b＝4sinA+2sinB . ...........12 分
8
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
= 4 + 2 ( ) = 4 + √3 . ...........13 分
3
= + √ = √ ( + )； . ...........14 分
∵ ∈ ( ， )，∴ + ∈ ( ， )； . ...........15 分
∴ ( + ) ∈ ( ， )， . ...........16 分
∴2a+b 的取值范围是(√ ， √ )． . ...........17 分
9
{#{QQABDQCAggioQIAAARhCUQWwCAGQkAAACIoOwAAIMAIAiAFABAA=}#}
